2025-2026学年湖南省长沙市名校九年级上学期期末考试数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年湖南省长沙市名校九年级上学期期末考试数学试卷（学生版），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1.下列实数中是无理数的是（ ）
B.C.D.
2.某种芯片每个探针单元的面积为，0.00000164用科学记数法可表示为（ ）
A.B.
C.D.
3.下列运算正确的是（ ）
A.（﹣2a3）2＝4a6B.a2•a3＝a6
C.3a+a2＝3a3D.（a﹣b）2＝a2﹣b2
4.下图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A.圆锥B.圆柱C.三棱锥D.长方体
5.在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（ ）
A.，B.，
C.，D.，
6.如图，直线，将一块含角（）的直角三角尺按图中方式放置，其中和两点分别落在直线和上．若，则的度数为（ ）
A.B.C.D.
7.如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（ ）
A.24B.30C.36D.42
8.如图，是的直径，点，在上，，交于点．若．则的度数为（ ）
A.B.C.D.
9.一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元设两次降价的百分率都为x，则x满足（ ）
A.B.
C.D.
10.已知在同一直角坐标系中二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）

A. B.
C. D.
二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11.分解因式：__________．
12.若，则_____．
13.若关于x的一元二次方程有一个解为，则______．
14.已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为_____cm．
15.如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC＝，则tan∠BOC＝_____．
16.如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF．若，，则的度数为__________．

三、解答题：（第17、18、19题，每题6分，第20、21题，每题8分，第22、23题，每题9分，第24、25题，每题10分，共72分）
17.计算：．
18.解方程：．
19.已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．
20.如图，平行四边形的对角线，交于点，于点，点在延长线上，且，
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，，求的长．
21.学校为调查学生对环保知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数直方图和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题：
（1）补全频数直方图；
（2）在扇形统计图中，“”这组的百分比_____；
（3）抽取的名学生测试成绩的中位数是_____分，其中“”这组的数据如下：
81，83，84，85，85，85，86，86：86，97，88，88，89．
（4）若从测试成绩最好的甲、乙、丙、丁四位同学中挑选两位去参加环保知识竞赛，求甲被选中的概率．
22.某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克14元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克16元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要360元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要176元，求的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1020元又不多于1028元，设购买甲种蔬菜x千克（x为正整数），求有哪几种购买方案？哪种方案可让超市获得最大利润，最大利润是多少？
23.如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，与交于点，与的另一个交点为，过作，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）若的直径为5，，求的长．
24.在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“差距离”，给出如下定义：若，则点与点的“差距离”为；若，则点与点的“差距离”为．例如：点，点，因为，所以点与点的“差距离”为．当时，我们将称为点与点的“完美距离”（“完美距离”是“差距离”的特殊情况）．
（1）已知点，为轴上的一个动点．判断下列说法正确与否：（填“√”，或“×”）
①若点与点的“差距离”为1，则点的坐标为或_____；
②点与点的“差距离”的最大值为3_____，
③已知是直线上的一个动点，点，当点与点的“差距离”是“完美距离”时，这样的点只有一个_____，
（2）已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点为线段上一动点，点是以点为圆心，1为半径的圆上的一个动点；求点与点的“完美距离”的取值范围．
（3）已知二次函数的图象与轴最左侧的交点为点，与轴交于点．点，点分别在线段和直线下方的抛物线上，均不与、点重合，且，求点与点的“差距离”的最大值．
25.如图，已知是的直径，弦于点，点是线段延长线上一点，连接交于点，连接交于点，连接交于点，连接、、．
（1）求证：
（2）若，求的值；
（3）若，记，求的最大值．