广东省 佛山市南海区桂城街道龙湾实验学校九年级上学期12月月考数学试题-A4

这是一份广东省 佛山市南海区桂城街道龙湾实验学校九年级上学期12月月考数学试题-A4，共24页。
1．（3分）如图所示几何体的左视图正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列性质中，菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．四条边相等
C．对角线互相垂直D．对角线互相平分
3．（3分）若x＝3是关于x的方程x2+ax＝6的解，则a的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
4．（3分）如图，在△ACB中，∠C＝90°，sinB＝，若AC＝6，则BC的长为（ ）
A．8B．12C．D．
5．（3分）任意掷一枚质地均匀的骰子，偶数点朝上的可能性是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）已知a＜0＜b，则函数y＝ax﹣3和y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是边BC上3等分点，AE交BD于点F．则△BEF与△DAF的面积比为（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是反比例函数图象上的三点，且x1＞x2＞0＞x3，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y1＜y2＜y3
9．（3分）如图，一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上，P是AB的中点，在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中，OP长度的变化情况是（ ）
A．不断增大B．不断减小
C．先减小后增大D．不变
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E，F分别在AD，BC上，且EF∥AB，矩形ABCD与矩形BFEA相似，则矩形BFEA的面积为（ ）
A．16B．C．D．
二.填空题（共5小题，每题3分共15分）
11．（3分）如图，在小孔成像问题中，小孔O到物体AB的距离是60cm，小孔O到像CD的距离是20cm，若物体AB的长为18cm，则像CD的长是 cm．
12．（3分）已知x1、x2是方程x2﹣x﹣3＝0的两根，则＝ ．
13．（3分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线相交于点A（﹣2，3）和点B（6，﹣1），则不等式的解集为 ．
14．（3分）如图，两张宽度均为2cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为30°，则重叠部分构成的四边形ABCD的周长为 cm．
15．（3分）如图，在网格中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是 ．
三、解答题（一）（每小题7分，共3题，共21分）
16．（7分）（1）解方程：x2﹣5x+6＝0；
（2）计算：．
17．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，M是AC的中点，AE∥BC，交DM的延长线于点E，连接CE．求证：四边形ADCE是矩形．
18．（7分）在一个不透明的口袋中装有1个白球，1个红球和n个黄球（它们除了颜色以外都一样）．将袋子中的小球摇匀后，从中摸出一个小球，记下颜色后放回，在多次重复以上实验后，得到了如下的数据．
（1）袋子中一共有小球 个；
（2）求进行两次这样的实验后摸出的都是黄球的概率．
四、解答题（二）（每小题9分，共3题，共27分）
19．（9分）社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝52m，AB＝28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为880m2．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时；可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10105元，同时尽可能让利居民？
20．（9分）项目化学习
项目主题：了解悬空寺距离地面的高度．
项目背景：悬空寺位于恒山金龙峡西侧翠屏峰的峭壁间，是北岳恒山十八景中最独特的一景，号称恒山第一胜景．某校综合与实践小组为了解悬空寺距离地面的高度，开展了项目学习．
测量工具：测角仪、皮尺等．
测量方案及示意图：
测量数据：∠ACG＝40°，∠AEG＝31°，DF＝25米．
参考数据：sin40°≈0.64，cs40°＝0.77，tan40°＝0.84，sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60．
问题解决：请你根据测量数据计算悬空寺底部点A距离地面的高度AB．（结果保留整数）
21．（9分）为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？
五、解答题（三）（共2题，共27分）
22．（13分）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍？
（1）边长为2的正方形，是否存在一个新正方形，其周长和面积都是它的2倍？ （填“存在”或“不存在”）．
（2）继续探究，若该矩形长为3，宽为2，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为该矩形的2倍？针对此问题，呈现了两种求解思路：
小明同学的思路：设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝10，xy＝12，联立得x2﹣10x+12＝0，再探究根的情况；
小慧同学的思路：也可用反比例函数与一次函数图象证明，如图：l1：y＝﹣x+10，l2：y＝.通过观察图象在第一象限的交点解决问题．
请你任选一种思路探究是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为这个长为3，宽为2的矩形的倍？若存在，求出新矩形的长和宽；若不存在说明理由．
（3）是否存在一个新矩形，使其周长和面积为长为3，宽为2的矩形的k倍？请写出当结论成立时k的取值范围．
23．（14分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
（1）如图1，在正方形ABCD中，DE⊥CF，则的值为 ；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，且CE⊥BD，则的值为 ；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，且AD＝2，DE＝3，CF＝4，求AB的长．
2024-2025学年广东省佛山市南海区龙湾实验学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每题3分共30分）
1．（3分）如图所示几何体的左视图正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从几何体的左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从几何体的左面看所得到的图形是：
故选：A．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握左视图所看的位置．
2．（3分）下列性质中，菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．四条边相等
C．对角线互相垂直D．对角线互相平分
【分析】根据菱形的性质可得出答案．
【解答】解：菱形的性质有：四条边相等，对角线互相垂直且互相平分，
故选：A．
【点评】此题重点考查菱形的性质，熟练掌握和运用菱形的性质定理是解题的关键．
3．（3分）若x＝3是关于x的方程x2+ax＝6的解，则a的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
【分析】把x＝3代入方程把问题转化为关于a的方程求解．
【解答】解：∵x＝3是关于x的方程x2+ax＝6的解，
∴9+3a＝6，
∴a＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程解的定义．
4．（3分）如图，在△ACB中，∠C＝90°，sinB＝，若AC＝6，则BC的长为（ ）
A．8B．12C．D．
【分析】根据锐角三角函数的边角间关系，先求出AB，再利用勾股定理求出BC．
【解答】解：在Rt△ACB中，sinB＝＝＝0.5，
∴AB＝12．
∴BC＝
＝
＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形．掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
5．（3分）任意掷一枚质地均匀的骰子，偶数点朝上的可能性是（ ）
A．B．C．D．
【分析】用偶数点的个数除以所有可能点数的和即可求得答案．
【解答】解：∵骰子共6个面，偶数有2，4，6共3个，
∴任意掷一枚质地均匀的骰子，偶数点朝上的可能性是＝，
故选：A．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．P（必然事件）＝1；P（不可能事件）＝0．
6．（3分）已知a＜0＜b，则函数y＝ax﹣3和y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数和反比例函数的图象与系数的关系即可得出答案．
【解答】解：∵a＜0，﹣3＜0，
∴函数y＝ax﹣3得图象过第二、三、四象限，
∵b＞0，
∴函数y＝图象在第一、三象限，
故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数和反比例函数的图象，熟知一次函数和反比例函数的图象与系数的关系是解题关键．
7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是边BC上3等分点，AE交BD于点F．则△BEF与△DAF的面积比为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用平行四边形的性质以及相似三角形的判定得出△BEF∽△DAF，进而求出答案．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，E是BC上的3等分点，
∴AD∥BE，AD＝BC，BE＝AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴＝（）2＝（）2＝，
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出△BEF∽△DAF是解题关键．
8．（3分）点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是反比例函数图象上的三点，且x1＞x2＞0＞x3，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y1＜y2＜y3
【分析】根据题意画出反比例函数的图象，在函数的图象上确定点A，B，C的大致位置，然后根据函数的图象即可得出答案．
【解答】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，
又∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是反比例函数图象上的三点，且x1＞x2＞0＞x3，
∴点A，B在第四象限函数的图象上，点C在第三象限函数的图象上，如图所示：
∴y2＜y1＜y3，
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象及其性质，熟练掌握反比例函数的图象及其性质是解决问题的关键，难点是理解数形结合思想在解决问题中的应用．
9．（3分）如图，一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上，P是AB的中点，在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中，OP长度的变化情况是（ ）
A．不断增大B．不断减小
C．先减小后增大D．不变
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出答案即可．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，P为AB的中点，
∴OP＝AB，
即OP的长在竹竿AB滑动过程中始终保持不变，
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线和两点之间的距离，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E，F分别在AD，BC上，且EF∥AB，矩形ABCD与矩形BFEA相似，则矩形BFEA的面积为（ ）
A．16B．C．D．
【分析】由相似多边形面积的比等于相似比的平方，即可求解．
【解答】解：∵矩形ABCD与矩形BFEA相似，
∴＝＝，
∵矩形ABCD的面积＝6×4＝24，
∴矩形BFEA的面积＝．
故选：C．
【点评】本题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形面积的比等于相似比的平方．
二.填空题（共5小题，每题3分共15分）
11．（3分）如图，在小孔成像问题中，小孔O到物体AB的距离是60cm，小孔O到像CD的距离是20cm，若物体AB的长为18cm，则像CD的长是 6 cm．
【分析】如图，作OE⊥AB于E，EO的延长线交CD于F．由△COD∽△AOB，推出＝（相似三角形的对应高的比等于相似比），由此即可解决问题．
【解答】解：如图，作OE⊥AB于E，EO的延长线交CD于F．
∵AB∥CD，
∴FO⊥CD，△COD∽△AOB，
∴＝，（相似三角形的对应高的比等于相似比），
由题意得AB＝18cm．OE＝60cm，OF＝20cm，
∴＝
∴CD＝6cm，
故答案为：6．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住相似三角形对应高的比等于相似比，属于中考常考题型．
12．（3分）已知x1、x2是方程x2﹣x﹣3＝0的两根，则＝ 7 ．
【分析】根据x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则有，．利用根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1x2＝﹣3，再利用完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：∵x1、x2是方程x2+x﹣3＝0的两根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣3，
＝1﹣2×（﹣3）
＝1+6
＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系式是解题的关键．
13．（3分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线相交于点A（﹣2，3）和点B（6，﹣1），则不等式的解集为 x＜﹣2或0＜x＜6 ．
【分析】不等式的解集，在图象上即为一次函数的图象在反比例函数图象的上方时的自变量的取值范围．
【解答】解：∵直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线相交于点A（﹣2，3）和点B（6，﹣1），
∴不等式的解集为：x＜﹣2或0＜x＜6．
故答案为：x＜﹣2或0＜x＜6．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．
14．（3分）如图，两张宽度均为2cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为30°，则重叠部分构成的四边形ABCD的周长为 816 cm．
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，易知四边形ABCD为平行四边形，AE＝AF＝2cm，∠ADF＝∠ABE＝30°，可证△ADF≌△ABE（AAS），得到AD＝AB，可证四边形ABCD为菱形．在Rt△ADF中，AD＝4，因此四边形ABCD的周长为：4×4＝16cm．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∵两张纸条宽度均为2cm，
∴四边形ABCD为平行四边形，且AE＝AF＝2cm，
∴∠ADF＝∠ABE＝60°，
∴△ADF≌△ABE（AAS），
∴AD＝AB，
∴四边形ABCD为菱形，
在Rt△ADF中，∠ADF＝30°，AF＝2cm，
∴AD＝4，
四边形ABCD的周长为：4×4＝16（cm）．
故答案为：16．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，解直角三角形等知识．
15．（3分）如图，在网格中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是 ．
【分析】连接AC，先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠CAB＝90°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：连接AC，
由题意得：AC2＝12+12＝2，
AB2＝22+22＝8，
BC2＝12+32＝10，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠CAB＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝，AB＝＝2，
∴tan∠ABC＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
三、解答题（一）（每小题7分，共3题，共21分）
16．（7分）（1）解方程：x2﹣5x+6＝0；
（2）计算：．
【分析】（1）根据因式分解法进行计算即可；
（2）根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
【解答】解：（1）x2﹣5x+6＝0，
（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴（x﹣2）＝0或（x﹣3）＝0，
即x1＝2，x2＝3．
（2）
＝﹣﹣4
＝﹣﹣4
＝﹣﹣4．
【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据计算方法进行计算．
17．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，M是AC的中点，AE∥BC，交DM的延长线于点E，连接CE．求证：四边形ADCE是矩形．
【分析】先证明△AME≌△CMD（AAS），得到AE＝CD，再证明四边形ADCE是平行四边形，再由矩形的判定方法即可证明四边形ADCE是矩形．
【解答】证明：∵AE∥BC，
∴∠MAE＝∠MCD，∠MEA＝∠MDC．
∵M是AC的中点，
∴AM＝CM，
在△AME和△CMD中，
，
∴△AME≌△CMD（AAS），
∴AE＝CD．
∵AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴四边形ADCE是矩形．
【点评】本题主要考查了矩形的判定，全等三角形的性质与判定，三线合一定理，掌握其性质定理是解决此题的关键．
18．（7分）在一个不透明的口袋中装有1个白球，1个红球和n个黄球（它们除了颜色以外都一样）．将袋子中的小球摇匀后，从中摸出一个小球，记下颜色后放回，在多次重复以上实验后，得到了如下的数据．
（1）袋子中一共有小球 4 个；
（2）求进行两次这样的实验后摸出的都是黄球的概率．
【分析】（1）先用频率来估计概率，得出摸到白球的概率大约为0.25，再根据概率公式计算出n的值，进一步即可得出答案．
（2）将2个黄球分别记作“黄1”、“黄2”用列举法求概率即可．
【解答】解：（1）根据多次重复以上实验数据，摸到白球的概率大约为0.25，
即，
解得：n＝2，
∴袋子中一共有小球为：1+1+2＝4个，
故答案为：4；
（2）将2个黄球分别记作“黄1”、“黄2”．从袋中摸出一个小球，记下颜色后放回，摸两次后，可能出现的结果有16种，
即（白，白），（白，红），（白，黄1），（白，黄2），（红，白），（红，红），（红，黄1），（红，黄2），（黄1，白），（黄1，红），（黄1，黄1），（黄1，黄2），（黄2，白），（黄2，红），（黄2，黄1），（黄2，黄2），并且它们出现的可能性相同．
其中2个球都是黄球（记为事件 A）的结果有4种，
即（黄1，黄1），（黄1，黄2），（黄2，黄1），（黄2，黄2），
所以．
【点评】本题考查列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法．
四、解答题（二）（每小题9分，共3题，共27分）
19．（9分）社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝52m，AB＝28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为880m2．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时；可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10105元，同时尽可能让利居民？
【分析】（1）根据题意列出方程（52﹣2x）（28﹣2x）＝880解答即可；
（2）设月租金上涨a元，停车场月租金收入为10105元，列出方程（200+a）（50﹣）＝10105解答即可．
【解答】解；（1）根据道路的宽为x米，根据题意得：
（52﹣2x）（28﹣2x）＝880，
整理得：x2﹣40x+144＝0，
解得：x1＝36（不合题意，舍去），x2＝4，
答：道路的宽为4米；
（2）设月租金上涨a元，停车场月租金收入为10105元，
根据题意得：（200+a）（50﹣）＝10105，
整理得：a2﹣50a+525＝0，
解得a＝15或35，
∵尽可能让利居民，
∴a＝15，
答：每个车位的月租金上涨15元时，停车场的月租金收入为10105元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系列出方程是解答本题的关键．
20．（9分）项目化学习
项目主题：了解悬空寺距离地面的高度．
项目背景：悬空寺位于恒山金龙峡西侧翠屏峰的峭壁间，是北岳恒山十八景中最独特的一景，号称恒山第一胜景．某校综合与实践小组为了解悬空寺距离地面的高度，开展了项目学习．
测量工具：测角仪、皮尺等．
测量方案及示意图：
测量数据：∠ACG＝40°，∠AEG＝31°，DF＝25米．
参考数据：sin40°≈0.64，cs40°＝0.77，tan40°＝0.84，sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60．
问题解决：请你根据测量数据计算悬空寺底部点A距离地面的高度AB．（结果保留整数）
【分析】延长EG交AB于点H，则四边形CDFE，BFEH为矩形，设AH＝x米，故，即米，且，即米，由于CE＝EH﹣CH＝25米，可列，解答x＝52.5，故AB＝AH+BH＝52.5+1.5＝54米．
【解答】解：如图，延长EG交AB于点H．
则四边形CDFE，BFEH为矩形．
∴CE＝DF＝25米，BH＝EF＝1.5米．
设AH＝x米．
在Rt△ACH中，∠AHC＝90°，∠ACH＝40°，
∴，
∴米，
在Rt△AEH中，∠AHE＝90°，∠AEH＝31°，
∴，
∴米，
∵CE＝EH﹣CH＝25米，
∴，
解得x＝52.5，
∴AB＝AH+BH＝52.5+1.5＝54（米）．
答：悬空寺底部点A距离地面的高度AB为54米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣俯角仰角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
21．（9分）为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？
【分析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y＝k1x，把点（8，6）代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式y＝，把点（8，6）代入即可；
（2）把y＝1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；
（3）把y＝3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，＞等于10就有效．
【解答】解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0）代入（8，6）为6＝8k1
∴k1＝
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为（k2＞0）代入（8，6）为6＝
∴k2＝48
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为（x＞8）
（2）结合实际，令中y≤1.6得x≥30
即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室．
（3）把y＝3代入，得：x＝4
把y＝3代入，得：x＝16
∵16﹣4＝12，12＞10，
所以这次消毒是有效的．
【点评】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
五、解答题（三）（共2题，共27分）
22．（13分）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍？
（1）边长为2的正方形，是否存在一个新正方形，其周长和面积都是它的2倍？ 不存在 （填“存在”或“不存在”）．
（2）继续探究，若该矩形长为3，宽为2，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为该矩形的2倍？针对此问题，呈现了两种求解思路：
小明同学的思路：设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝10，xy＝12，联立得x2﹣10x+12＝0，再探究根的情况；
小慧同学的思路：也可用反比例函数与一次函数图象证明，如图：l1：y＝﹣x+10，l2：y＝.通过观察图象在第一象限的交点解决问题．
请你任选一种思路探究是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为这个长为3，宽为2的矩形的倍？若存在，求出新矩形的长和宽；若不存在说明理由．
（3）是否存在一个新矩形，使其周长和面积为长为3，宽为2的矩形的k倍？请写出当结论成立时k的取值范围．
【分析】（1）由题意得到给定正方形的周长为8，面积为4，得到新正方形的周长为16，面积为8，求得对应的边长为4和2，于是得到结论．
（2）设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝2.5，xy＝3，联立方程组得到2x2﹣5x+6＝0，根据Δ＝（﹣5）2﹣4×2×6＝﹣23＜0，得到此方程无解，于是得到不存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的倍．
（3）设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝5k，xy＝6k，联立方程组得到x2﹣5kx+6k＝0，求得Δ＝（﹣5k）2﹣4×1×6k＝25k2﹣24k，设方程的两根为x1，x2，当Δ≥0即25k2﹣24k≥0时，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意得，给定正方形的周长为8，面积为4，
若存在新正方形满足条件，则新正方形的周长为16，面积为8，
对应的边长为：4和2，不符合题意，
∴不存在新正方形的周长和面积是边长为2的正方形的2倍．
故答案为：不存在．
（2）设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝2.5，xy＝3，
联立，得：2x2﹣5x+6＝0，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×6＝﹣23＜0，
∴此方程无解，
∴不存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的倍．
（3）设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝5k，xy＝6k，
联立，得：x2﹣5kx+6k＝0，
∴Δ＝（﹣5k）2﹣4×1×6k＝25k2﹣24k，
设方程的两根为x1，x2，
当Δ≥0即25k2﹣24k≥0时，x1+x2＝5k＞0，x1x2＝6k＞0，
解得：k≥或k≤0（舍），
∴当k≥时，存在新矩形的周长和面积均为原矩形的k倍．
【点评】本题是反比例函数的综合题，以求矩形的周长和面积为背景，考查了学生对二元方程组的解法掌握情况和一次函数与反比例函数图象的关系．在解方程组的时候选用消元法，借助根的判别式Δ的值可以快速得到结果．
23．（14分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
（1）如图1，在正方形ABCD中，DE⊥CF，则的值为 1 ；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，且CE⊥BD，则的值为 ；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，且AD＝2，DE＝3，CF＝4，求AB的长．
【分析】（1）设DE与CF的交点为G，利用SAS证明△AED≌△DFC，得DE＝CF；
（2）利用两个角相等证明△DEC∽△ABD，得＝＝；
（3）过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，可得四边形ABCH为矩形，再证明△DEA∽△CFH，得＝即可．
【解答】解：（1）设DE与CF的交点为G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE+CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
在△AED与△DFC中，
，
∴△AED≌△DFC（AAS），
∴DE＝CF，
∴＝1，
故答案为：1；
（2）如图2，设DB与CE交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠EDC＝90°，AB＝CD＝4，
∵CE⊥BD，
∴∠DGC＝90°，
∴∠CDG+∠ECD＝90°，∠ADB+∠CDG＝90°，
∴∠ECD＝∠ADB，
∵∠CDE＝∠A，
∴△DEC∽△ABD，
∴＝＝，
故答案为：；
（3）证明：如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，
∵CG⊥EG，
∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABCH为矩形，
∴AB＝CH，∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°，
∴∠FCH＝∠FDG＝∠ADE，∠A＝∠H＝90°，
∴△DEA∽△CFH，
∴＝，
∴＝，
∵AD＝2，DE＝3，CF＝4，
∴＝，
∴AB＝．
摸球次数
200
400
600
800
1000
摸到白球的次数
53
98
149
202
250

（1）选取悬空寺底部点A作为测量点；
（2）在水平地面上的点D处用测角仪CD测量点A的仰角∠ACG；
（3）在水平地面上的点F处用测角仪EF测量点A的仰角∠AEG；
（4）测量DF的距离
说明：测角仪的高度CD＝EF＝1.5米．点A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内，点B，D，F在同一条水平直线上，点G，C，E在同一条水平直线上
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
A
C
A
D
D
B
D
C
摸球次数
200
400
600
800
1000
摸到白球的次数
53
98
149
202
250

（1）选取悬空寺底部点A作为测量点；
（2）在水平地面上的点D处用测角仪CD测量点A的仰角∠ACG；
（3）在水平地面上的点F处用测角仪EF测量点A的仰角∠AEG；
（4）测量DF的距离
说明：测角仪的高度CD＝EF＝1.5米．点A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内，点B，D，F在同一条水平直线上，点G，C，E在同一条水平直线上