江苏省宿迁市沭阳县2024_2025学年高二数学上学期11月期中试题含解析

这是一份江苏省宿迁市沭阳县2024_2025学年高二数学上学期11月期中试题含解析，共15页。试卷主要包含了 方程表示的曲线为， 如果，那么直线通过等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填涂在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.本卷满分150分，考试时长120分钟，考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线的斜率求直线的倾斜角.
【详解】由直线得其斜率为，
设直线的倾斜角为（），则，
所以，所以直线的倾斜角为，
故选：D
2. 椭圆的焦点的坐标为
A. ， B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
求出的值，结合椭圆的焦点位置可得结果.
【详解】在椭圆中，，，则，
易知该椭圆的焦点在轴上，因此，椭圆的焦点的坐标为，.
故选：D.
3. 圆：与圆：的位置关系是（ ）
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切
【答案】C
【解析】
【分析】将两圆方程写成标准式，计算出两圆圆心距，利用几何法可判断出两圆的位置关系.
【详解】圆：的标准方程为，圆心为，半径为，
圆：的标准方程为，圆心为，半径为，
所以两圆圆心距为，所以，
因此两圆的位置关系为相交.
故选：C.
4. 方程表示的曲线为（ ）
A. 圆B. 椭圆C. 线段D. 不表示任何图形
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴方程可表示平面内点到点与点的距离之和为的图形，
此时，
∴方程表示的轨迹是线段，
故选：C．
5. 如果方程所表示的曲线关于对称，则必有（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析可知圆心在直线上，即可得结果.
【详解】方程表示圆心为的圆，
由题意可知：圆心在直线上，
则，即.
故选：A.
6. 设为实数，若矩形的边所在的直线方程分别为，，则的值为（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可知两直线平行，列式求解，并代入检验.
【详解】由题意可知：直线与平行，
则，解得或，
若，两直线分别为、，两直线平行，符合题意；
若，两直线分别为、，两直线平行，符合题意；
综上所述：的值为或.
故选：C.
7. 过点引直线与圆相交于两点，为坐标原点，则当面积取最大值时，的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，求出圆心到直线的距离，再由几何法求出弦长，表示出三角形面积，再令，结合二次函数的性质求出即可；
【详解】
由题意可得，直线的斜率存在，设为，
则，
点到直线的距离为，
弦长，
所以，
令，则，
所以，
当时取等号，此时，
故选：A.
8. 已知双曲线的左顶点为，左，右焦点分别为，，且关于它的一条渐近线的对称点为，若以为圆心，为半径的圆过原点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知，根据渐近线和中位线可知，即可得离心率.
【详解】由题意可知：，
设与渐近线的交点为，则为的中点，且，
则点到直线的距离，
可得，
又因为分别为的中点，则，
即，所以双曲线的离心率为.
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如果，那么直线通过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据直线的斜率以及 轴截距判断即可；
【详解】因为，,所以
所以，
令
所以直线经过一三四象限.
故选：ACD.
10. 已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（ ）
A. 周长为12B. 的最小值为3
C. 存在点，使得D. 的最大值为16
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A：根据椭圆定义即可判断；对于B：根据椭圆性质即可判断；对于C：可知点在以为直径的圆上，分析椭圆与圆的交点情况即可；对于D：根据椭圆定义结合基本不等式分析判断.
【详解】由椭圆方程可知：，
则.

对于选项A：的周长为，故A正确；
对于选项B：的最小值为，故B错误；
对于选项C：存在点，使得，可知点在以为直径的圆上，
但，可知圆与椭圆没有交点，
所以不存在点，使得，故C错误；
对于选项D：因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为16，故D正确；
故选：AD.
11. 已知圆：，则下列结论正确的是（ ）
A. ，圆经过点
B. ，直线与圆相切
C. ，存在定直线与圆相切
D. ，存在定圆与圆外切
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，将点代入圆，可求出进行判断；对于B，利用圆心到直线的距离验证；对于C，数形结合验证；对于D，当圆为时，利用圆与圆的位置关系验证.
【详解】对于A，将点代入圆，得，
整理得，此时，故A正确；
对于B，圆的圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为：
，故B正确；
对于C，因为圆的圆心为，且，
所以圆的圆心在以原点为圆心，半径为2的圆上，如图所示：

又圆半径为，，
当圆圆心在圆上运动时，显然没有定直线与圆相切，故C错误；
对于D，当圆为时，圆心为，半径为1，
所以圆与圆的圆心距为：
而圆与圆的半径和为，
故存在定圆：与圆外切，故D正确.
故答案为：ABD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 抛物线 的焦点到准线的距离为________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据抛物线的定义知，焦点到准线的距离为p.
【详解】由抛物线方程知，，，
所以焦点到准线的距离为2.
【点睛】本题主要考查了抛物线的方程，几何性质，属于容易题.
13. 函数的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据两点距离公式的几何意义可得表示到点距离之和，作点关于轴的对称点，根据对称的性质结合不等式分析可得，运算求解
【详解】，
根据两点距离公式的几何意义得，函数表示到点距离之和，
如图所示，作出点关于轴的对称点，
连接，交轴于点，连接，
可得，
又由，
当且仅当点与重合时，等号成立，
所以，即函数的最小值为
故答案：
14. 设为正实数，若集合，且，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】画出集合表示的区域，通过直线与圆相切即可求解.
【详解】画出表示的区域，如图正方形及其内部，
，可知当与图中正方形相切时，取得最大值，
易知坐标原点到正方形边的距离为，所以，
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知点，直线.
（1）求过点且与直线平行的直线的方程；
（2）若点在直线上，且，求点的坐标.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出所求直线的方程；
（2）根据题意，设点，根据，可得出，求出的值，即可得出点的坐标.
【小问1详解】
设所求直线方程为，
将点的坐标代入得，所以，
所以所求直线方程为.
【小问2详解】
因为点在直线上，设点，
因为，且直线的斜率为，故，解得，
所以点的坐标为.
16. 设为实数，已知方程表示椭圆.
（1）求的取值范围；
（2）若，过椭圆的焦点作长轴的垂线，交椭圆于两点，求的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆方程的特征直接构造不等式组即可求得结果；
（2）由椭圆方程可得焦点坐标，将焦点横坐标代入椭圆方程可求得纵坐标，由此可得结果
【小问1详解】
表示椭圆，，解得：或，
即实数的取值范围为.
【小问2详解】
当时，椭圆方程为：，焦点坐标为，
将代入椭圆方程可得：，即，.
17. 已知圆的一条对称轴方程为，并且与轴交于两点.
（1）求圆的方程；
（2）经过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）通过已知条件先确定圆心坐标，再求得半径即可；
（2）通过确定圆心到直线的距离，再结合斜率存在与不存在两种情况讨论即可.
【小问1详解】
设圆的方程为，
由圆过得两点，得圆心在直线上，
由，解得，
所以
所以圆的方程为，即；
【小问2详解】
由，可得：为等腰直角三角形，
，,
所以圆心到直线的距离，
①若直线存在斜率，可设方程为，即，
由已知圆心到直线的距离，解得，
此时，直线的方程为，即；
②若直线斜率不存在，则的方程为，符合题意，
综上所述，直线的方程为或.
18. 双曲线的光学性质如下：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左，右焦点，且，从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后分别经过点（在同一直线上，在第一象限）.当轴时，的斜率为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由轴时，求出点坐标，结合的斜率为，列式求出得解；
（2）设，由，可得，结合，求出点坐标，得解.
【小问1详解】
由光学性质知，三点共线，
因为，所以，
当轴时，在双曲方程中令，解得，则，
所以，即，
又因为，解得，
所以双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
设，因为，
所以，即，可得，
又，所以，，所以
所以方程为，即：.
19. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且，直线与抛物线交于另一点，点在抛物线的准线上，且轴.
（1）求抛物线的方程；
（2）若线段中点的纵坐标为，求直线的方程；
（3）求证：直线经过原点.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据抛物线定义求出得解；
（2）设出直线方程，与抛物线联立，利用根与系数的关系及中点坐标得解；
（3）由根与系数的关系及直线的两点式方程，化简可得出直线在轴截距为0得证.
【小问1详解】
由抛物线的定义知：，
所以，解得，
所以抛物线的方程为；
【小问2详解】
由（1）知，F1,0，
因为的斜率不为，设方程为，，
由，化简，
所以Δ=16m2+1>0 ， y1+y2=4m ， y1y2=-4，
又由，得，
所以方程为，即；
【小问3详解】
由（2）知：，
因为，所以方程为，
即：，
又因为，
所以，，
所以直线经过原点.