江苏省南通市如皋市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)

这是一份江苏省南通市如皋市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省南通市如皋市2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（　　）
A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）2
2．如图，在⊙O中，点A是的中点，∠ADC＝24°，则∠AOB的度数是（　　）

A．24° B．26° C．48° D．66°
3．圆锥的底面半径为4，母线长为9，则该圆锥的侧面积为（　　）
A．36π B．48π C．72π D．144π
4．若点A（x1，y1）与B（x2，y2）在函数y＝﹣的图象上，且x1＜0＜x2．则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＜y1＜0
5．甲、乙两地相距100km，则汽车由甲地匀速行驶到乙地所用时间y（h）与行驶速度x（km/h）之间的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
6．某同学将如图所示的三条水平直线m1，m2，m3的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线m4，m5，m6的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（　　）

A．m1，m4 B．m2，m5 C．m3，m6 D．m2，m4
7．在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，⊙A的半径为2，要使点B在⊙A内时，实数b的取值范围是（　　）
A．b＞2 B．b＞6 C．b＜2或b＞6 D．2＜b＜6
8．若三个方程﹣2（x+3）（x﹣2）＝8，﹣3（x+3）（x﹣2）＝8，﹣4（x+3）（x﹣2）＝8的正根分别记为x1，x2，x3，则下列判断正确的是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x3＜x2＜x1 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，BC＝4，D为AC上一点，CD＝．若E为AB边上一动点，连接DE，设BE＝x，DE2＝y，则y关于x的函数图象大致为（　　）

A． B． C． D．
10．矩形ABCD的对角线BD＝4，DE⊥AC于点E，则当∠DBE最大时，BE的长度为（　　）

A． B． C． D．2
二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分.不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）反比例函数y＝的图象在二、四象限，则k的取值范围是　 　．
12．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BAD的度数为 　 　°．

13．（4分）一个正多边形的中心角为40°，则这个正多边形的边数是 　 　．
14．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
x
…
0
1
2
3
…
y
…
﹣3
﹣1
﹣3
﹣9
…
则代数式a﹣b+c的值等于 　 　．
15．（4分）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+．则他将铅球推出的成绩是 　 　m．
16．（4分）直角三角形的外接圆半径是3，内切圆半径是1，则该直角三角形的周长为 　 　．
17．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2x，当a≤x≤b时，其最小值为﹣1，最大值为3，则b﹣a的最大值是 　 　．
18．（4分）如图，四边形ABCD为矩形，AD∥x轴，点A在反比例函数y＝的图象上，点B，D在反比例函数y＝的图象上，BC交y＝的图象于点E，若AD＝4，AB＝3，CE＝2，则m的值等于 　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线．y＝﹣x+4与双曲线y＝（x＞0）交于A，B两点，A点的坐标为（1，m）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）求出点B坐标，并结合图象直接写出﹣x+4＞的解集．

20．（10分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO，垂足为E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，BD＝8，OF＝．
（1）求AB的长；
（2）求OE的长．

21．（10分）如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8．边BC落在x轴上，E是AB的中点，连接DE，反比例函数y＝的图象经过点E，与CD交于点F．
（1）若B（3，0），求F点坐标；
（2）若DF＝DE，求反比例函数的解析式．

22．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，点C是的中点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点H，作CE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：CH⊥AD；
（2）若CD＝5，CE＝4，求HD的长．

23．（12分）已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2m+3（m为常数）．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若A（m+2，y1），B（m﹣1，y2）两点在此抛物线上，比较y1与y2的大小；
（3）已知点P（a﹣5，c），Q（2m+3+a，c）都在该抛物线上，求证：c≥10．
24．（12分）如图，PA，PB是⊙O的切线，切点为A，B，连接OP交AB于点C，交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：OP垂直平分AB；
（2）求证：AD平分∠PAB；
（3）延长AD交PB于点E，若AE⊥PB，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．

25．（13分）某超市拟于春节前50天里销售某品牌灯笼，其进价为18元/个．设第x天的销售价格为y（元/个），销售量为n（个）．该超市根据以往的销售经验得出以下销售规律：
①y与x的关系式为y＝﹣x+55；
②n与x的关系式为n＝5x+50．
（1）求第10天的日销售利润；
（2）当34≤x≤50时，求第几天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？
（3）若超市希望第30天到第40天的日销售利润W（元）的最小值为5460元，需在当天销售价格的基础上涨k元/个（0＜k＜8），求k的值．
26．（13分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离之和小于或等于n（n≥0）的点，叫做这个函数图象的“n阶近距点”．例如，点（，）为函数y＝x图象的“阶近距点”；点（1，﹣1）为函数y＝x2﹣2图象的“2阶近距点”．
（1）在①（1，3）；②（0，1）；③（﹣，）三点中，是一次函数y＝2x+1图象的“1阶近距点”的有 　 　（填序号）；
（2）若y关于x的反比例函数y＝（x＞0）图象的“2阶近距点”不止一个，求k的取值范围；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣x2+2nx﹣n2﹣2n+6图象的“n阶近距点”不存在，请直接写出n的取值范围．

江苏省南通市如皋市2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（　　）
A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）2
【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．
【解答】解：∵抛物线y＝x2向上平移3个单位，
∴平移后的解析式为：y＝x2+3．
故选：A．
【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质，熟练记忆平移规律是解题关键．
2．如图，在⊙O中，点A是的中点，∠ADC＝24°，则∠AOB的度数是（　　）

A．24° B．26° C．48° D．66°
【分析】直接利用圆周角求解．
【解答】解：∵点A是的中点，
∴，
∴∠AOB＝2∠ADC＝2×24°＝48°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．圆锥的底面半径为4，母线长为9，则该圆锥的侧面积为（　　）
A．36π B．48π C．72π D．144π
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×4×9÷2＝36π．
故选：A．
【点评】本题考查圆锥的侧面积的求法．要熟记公式．
4．若点A（x1，y1）与B（x2，y2）在函数y＝﹣的图象上，且x1＜0＜x2．则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＜y1＜0
【分析】由k＜0，双曲线在第二，四象限，根据x1＜0＜x2即可判断A在第二象限，B在第四象限，从而判定y1＞y2．
【解答】解：∵k＝﹣3＜0，
∴双曲线在第二，四象限，
∵x1＜0＜x2，
∴A在第二象限，B在第四象限，
∴y1＞0＞y2；
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数y＝图象和性质是解题的关键，即当k＞0时图象在第一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时图象在第二四象限内，且在每个象限内y随x的增大而增大．
5．甲、乙两地相距100km，则汽车由甲地匀速行驶到乙地所用时间y（h）与行驶速度x（km/h）之间的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【解答】解：根据题意可知时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数关系式为：y＝（x＞0），
所以函数图象大致是D．
故选：D．
【点评】主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式从而判断它的图象类型，要注意自变量x的取值范围，结合自变量的实际范围作图．
6．某同学将如图所示的三条水平直线m1，m2，m3的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线m4，m5，m6的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（　　）

A．m1，m4 B．m2，m5 C．m3，m6 D．m2，m4
【分析】由已知求得顶点坐标为（1，1﹣a），再结合a＜0，即可确定坐标轴的位置．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，
∴顶点坐标为（1，1﹣a），
∵a＜0，
∴抛物线与m5的交点为顶点，
∴m4为y轴，
∵1﹣a＞1，
∴m2为x轴，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，平面直角坐标系中坐标轴与点的位置关系是解题的关键．
7．在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，⊙A的半径为2，要使点B在⊙A内时，实数b的取值范围是（　　）
A．b＞2 B．b＞6 C．b＜2或b＞6 D．2＜b＜6
【分析】首先确定AB的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出a的取值范围，即可得到正确选项．
【解答】解：∵⊙A的半径为2，若点B在⊙A内，
∴AB＜2，
∵点A所表示的实数为4，
∴2＜b＜6，
故选：D．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
8．若三个方程﹣2（x+3）（x﹣2）＝8，﹣3（x+3）（x﹣2）＝8，﹣4（x+3）（x﹣2）＝8的正根分别记为x1，x2，x3，则下列判断正确的是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x3＜x2＜x1 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2
【分析】设：函数表达式为y＝（x+3）（x﹣2），再根据函数的图象和性质，即可求解．
【解答】设：函数表达式为y＝（x+3）（x﹣2），该函数为开口向上的抛物线，
当y＝﹣4、﹣、﹣2时，分别对应方程﹣2（x+3）（x﹣2）＝8；﹣3（x+3）（x﹣2）＝8；﹣4（x+3）（x﹣2）＝8；
∵y＝﹣4、﹣、﹣2这三个y值依次增大，函数为开口向上的抛物线，
∴其对应的正根x1，x2，x3也依次增大，、
即x1＜x2＜x3，
故选：A．
【点评】本题考查的是抛物线和x轴的交点，利用函数思想处理方程问题是本题解题的关键．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，BC＝4，D为AC上一点，CD＝．若E为AB边上一动点，连接DE，设BE＝x，DE2＝y，则y关于x的函数图象大致为（　　）

A． B． C． D．
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，利用等腰直角三角形的性质求得线段AF，DF，AB的长度，利用含x的代数式表示出EF，再利用勾股定理即可求得y与x的函数解析式，利用二次函数的性质结合自变量x的取值范围即可得出结论．
【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，如图，

∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，BC＝4，
∴AB＝＝8，∠A＝45°，
∵DF⊥AB，
∴AF＝DF＝AD，
∵AC＝BC＝4，CD＝，
∴AD＝3，
∴AF＝DF＝3．
∴BF＝AB﹣AF＝5，
∵BE＝x，
∴当点E在点F的下方时，EE＝5﹣x，
当点E在点F的上方时，EF＝x﹣5，
∵DE2＝EF2+DF2，
∴y＝（5﹣x）2+32＝x2﹣10x+34（0≤x≤5）或y＝（x﹣5）2+32＝x2﹣10x+34（5＜x≤8），
∴当0≤x≤5时，y有最大值为34，最小值为9，
当5＜x≤8时，y有最大值为34，此时x＝8，
又∵y＝（5﹣x）2+32＝x2﹣10x+34（0≤x≤5）或y＝（x﹣5）2+32＝x2﹣10x+34（5＜x≤8）的图象为抛物线的一部分，
故选：C．
【点评】本题主要考查了动点问题函数的图象，等腰直角三角形的性质，勾股定理，利用勾股定理求得函数的解析式是解题的关键．
10．矩形ABCD的对角线BD＝4，DE⊥AC于点E，则当∠DBE最大时，BE的长度为（　　）

A． B． C． D．2
【分析】设AC与BD的交点为点F，由矩形的性质得FA＝FB＝FC＝FD，则A、B、C、D在以F为圆心，FD＝2的长为半径的⊙F上，若BD固定不动，则E随AC的位置变动而变化，因DE⊥AC，所以点E运动的轨迹是以DF为直径的圆，不妨设该圆为⊙O，不难知道，当OE⊥BE时，即BE为⊙O的切线长时，∠DBE最大，利用勾股定理求得此时BE便可．
【解答】解：由题意可知，E点在以DF为直径的⊙O上，如下图，

当BE是⊙O的切线是时，∠DBE最大，
∴当∠DBE最大时，BE⊥OE，
∵OE＝OF＝OD＝DF＝＝1，
∴BO＝BD﹣OD＝4﹣1＝3，
∴BE＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，切线性质，圆的基本性质，关键在于确定E点的运动轨迹．难度极大，好好体会解题方法与思路．
二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分.不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）反比例函数y＝的图象在二、四象限，则k的取值范围是　k＜﹣3　．
【分析】图象在二、四象限，则反比例系数小于0，即可求得k的范围．
【解答】解：根据题意得：k+3＜0，
解得：k＜﹣3，
故答案是：k＜﹣3．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，理解性质是关键．
12．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BAD的度数为 　59　°．

【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∵∠BCD＝121°，
∴∠BAD＝180°﹣121°＝59°，
故答案为：59．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
13．（4分）一个正多边形的中心角为40°，则这个正多边形的边数是 　9　．
【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得，＝40°，
解得，n＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键．
14．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
x
…
0
1
2
3
…
y
…
﹣3
﹣1
﹣3
﹣9
…
则代数式a﹣b+c的值等于 　﹣9　．
【分析】由表格可得抛物线对称轴为直线x＝1，然后根据对称性可求x＝﹣1时y的值，进而求解．
【解答】解：由题可得抛物线经过点（0，﹣3），（2，﹣3），
∴抛物线对称轴为直线x＝＝1，
∵抛物线经过点（3，﹣9），
∴x＝﹣1时y＝﹣9，
即a﹣b+c＝﹣9．
故答案为：﹣9．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，通过抛物线上点的坐标的特征求解．
15．（4分）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+．则他将铅球推出的成绩是 　10　m．
【分析】成绩就是当高度y＝0时x的值，所以解方程可求解．
【解答】解：当y＝0时，﹣x2+x+＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣2（不合题意，舍去），
所以推铅球的距离是10米．
故答案为：10
【点评】本题主要考查二次函数的应用，此题把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法．
16．（4分）直角三角形的外接圆半径是3，内切圆半径是1，则该直角三角形的周长为 　14　．
【分析】⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，得出正方形CDIF推出CD＝CF＝1，根据切线长定理得出AD＝AE，BE＝BF，CF＝CD，求出AD+BF＝AE+BE＝AB＝6，即可求出答案．
【解答】解：⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，
则∠CDI＝∠C＝∠CFI＝90°，ID＝IF＝1，
∴四边形CDIF是正方形，
∴CD＝CF＝1，
由切线长定理得：AD＝AE，BE＝BF，CF＝CD，
∵直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，
∴AB＝6＝AE+BE＝BF+AD，
即△ABC的周长是AC+BC+AB＝AD+CD+CF+BF+AB＝6+1+1+6＝14，
故答案为：14．

【点评】本题考查了直角三角形的外接圆与外心，内切圆与内心，正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的综合运用．
17．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2x，当a≤x≤b时，其最小值为﹣1，最大值为3，则b﹣a的最大值是 　4　．
【分析】先根据y＝﹣1和y＝3，求出x的值，结合二次函数的性质，得当﹣1≤x≤3时，函数的最小值为﹣1，最大值为3，即可求出b﹣a的最大值是3﹣（﹣1）＝4．
【解答】解：∵当y＝﹣1时，x2﹣2x＝﹣1，
解得x1＝x2＝1，
当y＝3时，x2﹣2x＝3，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
又图象开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当﹣1≤x≤3时，函数的最小值为﹣1，最大值为3，
∴b﹣a的最大值是3﹣（﹣1）＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质和最值问题，解题的关键是利用数形结合思想根据函数图象得出函数的最值．
18．（4分）如图，四边形ABCD为矩形，AD∥x轴，点A在反比例函数y＝的图象上，点B，D在反比例函数y＝的图象上，BC交y＝的图象于点E，若AD＝4，AB＝3，CE＝2，则m的值等于 　﹣　．

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，设点A的横坐标为a，进而表示出A、B、C、D、E的坐标，再根据AB＝3，AD＝4，EC＝2进行计算即可．
【解答】解：设点A的横坐标为a，则点A的纵坐标为，即A（a，），
∵点B在反比例函数y＝的图象上，而点B的横坐标为a，
∴纵坐标为，
即B（a，），
∵点B在反比例函数y＝的图象上，而点D的纵坐标为，
∴横坐标为，
即D（，），
∴点E在反比例函数y＝的图象上，而点E的纵坐标为，
∴横坐标为，
即E（，）．
∴C（，），
又∵AB＝3，AD＝4，CE＝2，
∴﹣＝3，即m﹣n＝3a，①
﹣a＝4，即an﹣am＝4m，②
﹣＝2，即a（n﹣m）（n+m）＝2mn，③
由①②③可得m＝a＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提，用代数式表示各个点的坐标以及利用坐标表示线段的长度是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线．y＝﹣x+4与双曲线y＝（x＞0）交于A，B两点，A点的坐标为（1，m）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）求出点B坐标，并结合图象直接写出﹣x+4＞的解集．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）解析式联立成方程组，解方程组求得点B的坐标，然后观察函数图象即可求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+4与双曲线y＝（x＞0）交于A，B两点，A点的坐标为（1，m），
∴m＝﹣1+4＝3，
∴点A（1，3），
∴3＝，
∴k＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝；

（2）由解得或，
∴B（3，1），
从图象看，﹣x+4＞的解集为1＜x＜3．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
20．（10分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO，垂足为E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，BD＝8，OF＝．
（1）求AB的长；
（2）求OE的长．

【分析】（1）根据垂径定理得CF＝FB，根据三角形中位线定理求出AB即可；
（2）连接OB，根据勾股定理求出AE，再根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵OF⊥BC，
∴CF＝FB，
∵CO＝OA，OF＝，
∴AB＝2OF＝2，
（2）如图，连接OB，

∵BD⊥AO，BD＝8，
∴BE＝ED＝BD＝4，
由勾股定理得：AE＝＝2，
在Rt△BOE中，OB2＝OE2+BE2，
即OA2＝（OA﹣2）2+42，
解得：OA＝5，
∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3．
【点评】本题考查的是垂径定理、三角形中位线定理、勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
21．（10分）如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8．边BC落在x轴上，E是AB的中点，连接DE，反比例函数y＝的图象经过点E，与CD交于点F．
（1）若B（3，0），求F点坐标；
（2）若DF＝DE，求反比例函数的解析式．

【分析】（1）先求得点E的坐标为（3，4），然后利用待定系数法求得m，进一步即可求得点F的坐标．
（2）在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE的长，由DF＝DE，BC＝3可得出点E的坐标为（﹣3，4），再利用反比例函数图象上点的坐标特征，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，进而可得出反比例函数的表达式．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点E，E是AB的中点，AB＝8，
∴BE＝4，
∵B（3，0），
∴E（3，4），
∵反比例函数y＝的图象经过点E，
∴m＝3×4＝12，
∴y＝，
∵BC＝AD＝3，
∴OC＝6，
把x＝6代入y＝得y＝2，
∴点F的坐标为（6，2）；
（2）在Rt△ADE中，AD＝3，AE＝4，∠A＝90°，
∴DE＝5．
∵DF＝DE，
∴DF＝5，
∴CF＝8﹣5＝3，
∴点E的坐标为（﹣3，4）．
∵反比例函数的图象经过点F，
∴4×（﹣3）＝m，
解得：m＝36，
∴反比例函数的表达式为y＝．
【点评】本题考查了矩形的性质、待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理，解题的关键是利用含m的代数式表示出点E，F的坐标．
22．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，点C是的中点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点H，作CE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：CH⊥AD；
（2）若CD＝5，CE＝4，求HD的长．

【分析】（1）连接OC，AC，根据点C是的中点，可得＝，然后证明OC∥AD，再根据切线的性质即可解决问题；
（2）先根据勾股定理求出BE＝3，再根据四边形ABCD内接于⊙O，可得∠HDC＝∠B，然后证明△HDC≌△EBC（AAS），可得HD＝BE＝3．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，AC，

∵点C是的中点，
∴＝，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴OC∥AD，
∵HC是⊙O的切线，OC是半径，
∴OC⊥HC，
∴CH⊥AD；
（2）解：∵＝，
∴BC＝CD＝5，
∵CE⊥AB，CE＝4，
∴BE＝＝3，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠HDC＝∠B，
在△HDC和△EBC中，
，
∴△HDC≌△EBC（AAS），
∴HD＝BE＝3．
∴HD的长为3．
【点评】本题考查了圆内角四边形，切线的判定，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质定理是解题的关键．
23．（12分）已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2m+3（m为常数）．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若A（m+2，y1），B（m﹣1，y2）两点在此抛物线上，比较y1与y2的大小；
（3）已知点P（a﹣5，c），Q（2m+3+a，c）都在该抛物线上，求证：c≥10．
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据点A，B到对称轴的距离大小关系求解．
（3）由点P，Q坐标可得抛物线对称轴，从而可得a的值，将点P坐标代入解析式并通过配方求解．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣2m+3＝（x﹣m）2﹣2m+3，
∴抛物线顶点坐标为（m，﹣2m+3）．
（2）∵y＝（x﹣m）2﹣2m+3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m，
∵m﹣（m﹣1）＜m+2﹣m，
∴y1＞y2．
（3）∵抛物线经过P（a﹣5，c），Q（2m+3+a，c），
∴抛物线对称轴为直线x＝＝a+m﹣1，
∴m＝a+m﹣1，
∴a＝1，a﹣1＝﹣4，
将（﹣4，c）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2m+3得c＝16+8m+m2﹣2m+3＝（m﹣3）2+10，
∴c≥10．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
24．（12分）如图，PA，PB是⊙O的切线，切点为A，B，连接OP交AB于点C，交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：OP垂直平分AB；
（2）求证：AD平分∠PAB；
（3）延长AD交PB于点E，若AE⊥PB，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．

【分析】（1）证明Rt△PAO和≌Rt△PBO（HL）和△PAC≌△PBC（SAS），即可求解；
（2）先证明∠PAD＝∠H，再证明∠DAC＝∠H，即可求解；
（3）由阴影部分的面积＝S△PAB﹣（S扇形AOB﹣S△ABO），即可求解．
【解答】（1）证明：连接AO、OB，

∵PA，PB是⊙O的切线，则△PAO、△PBO为直角三角形，
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
，
∴Rt△PAO和≌Rt△PBO（HL），
∴AP＝PB，
在△PAC、△PBC中，
，
∴△PAC≌△PBC（SAS），
∴AC＝BC，∠ACP＝∠BCP＝90°，
∴OP垂直平分AB；

（2）证明：∵PA是切线，
∴∠PAD+∠DAO＝90°，
∵AB是直径，
∴∠ADH+∠H＝90°，
又∵OA＝OD，故∠OAD＝∠ODA，
∴∠PAD＝∠H，
在Rt△ADH中，
∵∠DAC+∠CAH＝90°，∠CAH+∠H＝90°，
∴∠DAC＝∠H，
又∵∠PAD＝∠H，
∴∠DAC＝∠PAD；
即AD平分∠PAB；

（3）解：由（2）知AD平分∠PAB，即AE平分∠PAB，
又∵AE⊥PB，
∴△APB为等腰三角形，
∵PA＝PB，则△APB为等边三角形，
∵OP垂直平分AB，则∠APO＝30°，
在Rt△ACO中，∠AOP＝60°，∠AOB＝120°，
则CA＝AOsin∠AOP＝2×sin60°＝，CO＝2cos60°＝1，
则AB＝2AC＝2，
则阴影部分的面积＝S△PAB﹣（S扇形AOB﹣S△ABO）
＝××（AB）2﹣（×π×22﹣2××AC×OC）
＝×（2）2﹣（×4﹣×1）
＝4﹣．
答：阴影部分的面积为4﹣．
【点评】本题属于圆综合题，考查了切线长定理，三角形全等、解直角三角形，等边三角形的判定和性质，面积的计算等知识，有一定的综合性，难度适中．
25．（13分）某超市拟于春节前50天里销售某品牌灯笼，其进价为18元/个．设第x天的销售价格为y（元/个），销售量为n（个）．该超市根据以往的销售经验得出以下销售规律：
①y与x的关系式为y＝﹣x+55；
②n与x的关系式为n＝5x+50．
（1）求第10天的日销售利润；
（2）当34≤x≤50时，求第几天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？
（3）若超市希望第30天到第40天的日销售利润W（元）的最小值为5460元，需在当天销售价格的基础上涨k元/个（0＜k＜8），求k的值．
【分析】（1）求出第10天的售价和销售量，再用单个利润×销售量即可；
（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润W（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润；
（3）先根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润W（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再分k＝3，0＜k＜3，3＜k＜8三种情况，用函数的性质求函数取得最小值时k的值．
【解答】解：（1）当x＝10时，y＝﹣×10+55＝50，n＝5×10+50＝100，
∴纯利润＝（y﹣18）n＝（50﹣18）×100＝3200，
答：第10天的日销售利润为3200元；
（2）根据题意得，W＝（y﹣18）n＝（﹣x+37）（5x+50）＝﹣x2+160x+1850＝﹣（x﹣32）2+4410，
∵﹣＜0，抛物线开口向下，
∴当34≤x≤50时，W随x的增大而减小，
故当x＝34时，Wmax＝4400元，
答：第34天的销售利润最大，最大利润为4400元；
（3）根据题意得，W＝（y+k﹣18）n＝﹣x2+（160+5k）x+50k+1850，
∵﹣＜0，抛物线开口向下，
对称轴x＝32+k，
∵第30天到第40天的日销售利润W（元）的最小值为5460元，
①当k＝3时，即对称轴为x＝35，W的最小值在x＝30或x＝40处取得，
W＝﹣×302+（160+5×3）×30+50×3+1850＝5000＜5460，
故k＝3不合题意；
②当0＜k＜3时，对称轴32＜32+k＜35，
则当x＝40时，W取最小值，
∴W＝﹣×402+（160+5k）×40+1850+50k＝4250+250k＝5460，
∴k＝＞3，与0＜k＜3矛盾，
∴0＜k＜3不符合题意；
③当3＜k＜8时，对称轴35＜32+k＜40，
∴当x＝30时W有最小值，
∴W＝＝﹣×302+（160+5k）×30+1850+50k＝4400+200k＝5460，
解得k＝5.3＞3，符合题意，
∴k的值为5.3．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．
26．（13分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离之和小于或等于n（n≥0）的点，叫做这个函数图象的“n阶近距点”．例如，点（，）为函数y＝x图象的“阶近距点”；点（1，﹣1）为函数y＝x2﹣2图象的“2阶近距点”．
（1）在①（1，3）；②（0，1）；③（﹣，）三点中，是一次函数y＝2x+1图象的“1阶近距点”的有 　②③　（填序号）；
（2）若y关于x的反比例函数y＝（x＞0）图象的“2阶近距点”不止一个，求k的取值范围；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣x2+2nx﹣n2﹣2n+6图象的“n阶近距点”不存在，请直接写出n的取值范围．
【分析】（1）根据定义进行判断即可；
（2）y关于x的反比例函数y＝（x＞0）图象的“2阶近距点”不止一个，推出反比例函数y＝与直线y＝﹣x+2有交点，构建方程组，利用判别式求解即可；
（3）二次函数y＝﹣x2+2nx﹣n2﹣2n+6＝﹣（x﹣n）2﹣2n+6，推出抛物线的顶点（n，﹣2n+6），推出抛物线的顶点在直线y＝﹣2x+6上运动，如图3﹣1中，当点P在第一象限时，过点P作PH⊥x轴于点H，在x轴的正半轴上截取OF，使得OF＝OH，以FH为对角线作正方形EFGH．当抛物线与正方形EFGH有交点时，二次函数y＝﹣x2+2nx﹣n2﹣2n+6图象的存在“n阶近距点”．求出三种特殊位置n的值，即可判断．
【解答】解（1）①∵1+3＞1，
∴（1，3）不是一次函数y＝2x+1图象的“1阶近距点”；
②∵0+1＝1，
∴（0，1）是一次函数y＝2x+1图象的“1阶近距点”；
③∵，
∴（﹣，）是一次函数y＝2x+1图象的“1阶近距点”；
故答案为：②③；

（2）∵y关于x的反比例函数y＝（x＞0）图象的“2阶近距点”不止一个，
∴反比例函数y＝与直线y＝﹣x+2有交点，
由，
可得＝﹣x+2，
∴x2﹣2x+k＝0，
∵Δ≥0，
∴4﹣4k＞0，
∴k≤1；

（3）∵二次函数y＝﹣x2+2nx﹣n2﹣2n+6＝﹣（x﹣n）2﹣2n+6，
∴抛物线的顶点（n，﹣2n+6），
∴抛物线的顶点在直线y＝﹣2x+6上运动，
如图3﹣1中，当点P在第一象限时，过点P作PH⊥x轴于点H，在x轴的正半轴上截取OF，使得OF＝OH，以FH为对角线作正方形EFGH．

当抛物线与正方形EFGH有交点时，二次函数y＝﹣x2+2nx﹣n2﹣2n+6图象的存在“n阶近距点”．
∵F（﹣n，0），
当抛物线经过点F时，0＝﹣n2﹣2n2﹣n2﹣2n+6，
∴n＝﹣或n＝1（舍去），

如图3﹣2中，当抛物线经过F（﹣n，0）时，

0＝﹣n2﹣2n2﹣n2﹣2n+6，
∴n＝﹣（舍去）或n＝1，

如图3﹣3中，当抛物线与直线y＝x﹣n相切时，

，
∴x2+（1﹣2n）x+n2+n﹣6＝0，
∵Δ＝0，
∴（1﹣2n）2﹣4（n2+n﹣6）＝0，
∴n＝，
∵二次函数图象的“n阶近距点”不存在，
n的取值范围为：﹣＜n＜1或n＞．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图象的交点问题是解题的关键．