江苏常州市天宁区2025-2026学年度第一学期期末调研考试高一数学试题（试卷+解析）

这是一份江苏常州市天宁区2025-2026学年度第一学期期末调研考试高一数学试题（试卷+解析），共25页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．
3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“，”否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2. 下列五个写法：①；②；③；④；⑤，其中错误写法的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
3. 若，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
4. 函数图象是（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A B. C. D.
6. 已知函数，且对于定义域内的，都满足，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 下列说法中，错误是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C 若，，则D. 若，，则
8. 设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. 是函数的一条对称轴D. 是函数的对称中心
10. 若，，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值B. 有最大值2
C. 有最小值5D. 有最小值
11. 已知函数，，则下列说法正确的有（ ）
A. 关于点对称
B. 关于点对称
C. 若函数在上的最大值、最小值分别为 M、 N，则
D. 在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知集合，若集合有8个子集，则实数的取值范围为________________．
13. 已知函数，若存在满足，且（，），则的最小值为__________．
14. 已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数m的取值范围为__________，方程解的个数为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边、分别与单位圆交于、两点，，，.
（1）若的横坐标为，求的值；
（2）若，求的值.
16. 2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地 球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式： ，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中为发动机的喷射速度，和分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完 ）时的质量．被称为火箭的质量比．
（1）某单级火箭的初始质量为160吨，发动机的喷射速度为2千米/秒，发动机熄火时的质量为40吨，求该单级火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；
（2）根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10．如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度千米/秒，并说明理由．（参考数据：，无理数）
17. 已知函数和的定义域分别为D1和D2，若对任意，恰好存在n个不同的实数，使得（其中，，），则称为的“n重覆盖函数”.
（1）试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由；
（2）若为的“2重覆盖函数”，求实数a；
（3）函数表示不超过x的最大整数，如，，.，，若为，的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围.
18. 已知偶函数和奇函数满足：．
（1）求解析式；
（2）解不等式；
（3）存在实数满足存在最值大值，求的取值范围．
19. 已知函数．
（1）判断的奇偶性，并证明；
（2）判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论；
（3）任意，求实数的所有整数解.
常州市天宁区2025—2026学年度第一学期期末调研考试
高一数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．
3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】全称命题的否定是特称命题，任意改为存在，再把结论否定.
【详解】由题意，，否定是，
故选：B．
2. 下列五个写法：①；②；③；④；⑤，其中错误写法的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据“”用于元素与集合，“”用于集合与集合间判断出①⑤错，根据是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出②④的对错；根据集合元素的三要素判断出③对.
【详解】对于①，“”是用于元素与集合的关系，故①错；
对于②，是任意集合的子集，故②对；
对于③，根据集合中元素的无序性可知两个集合是同一集合，任何一个集合都是它本身的子集，故③对；
对于④，因为是不含任何元素的集合，故④错；
对于⑤，因为“”用于集合与集合，故⑤错.
故错误的有①④⑤，共3个，
故选：C.
3. 若，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由诱导公式得到，并得到，，比较出大小.
【详解】，
，，
则.
故选：A
4. 函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象的变换得到答案.
【详解】将的图象向右平移1个单位长度，再向上平移一个单位，即可得到函数的图象.
故选：B.
5. 下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.
【详解】因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．
6. 已知函数，且对于定义域内的，都满足，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数，是减函数，由求解.
【详解】因为函数，对于定义域内的，都满足，
所以函数在定义域内是减函数，
所以，
解得，
所以实数a的取值范围是，
故选：C
7. 下列说法中，错误的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】A
【解析】
【分析】逐一检验，对A，取，判断可知；对B， ，可知；对C，利用作差即可判断；对D根据不等式同向可加性可知结果.
【详解】对A，取，所以，故错误；
对B，由，，所以，故正确；
对C, ，
由，，所以，所以，故正确；
对D，由，所以，又，所以
故选：A
8. 设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由二次函数最多两个零点，讨论在区间分别取4、5、6个零点时的的取值范围，再讨论在区间分别取0、1、2个零点时的的取值范围，最后进行组合即可.
【详解】⸪函数区间内恰有6个零点，且二次函数最多两个零点，
⸫当时，至少有四个根，
令，则
解得：，⸪，⸫，即，
当时，，
①若有4个零点，此时，即；
②若有5个零点，此时，即；
③若有6个零点，此时，即；
当时，，
令，解得：，
①若，没有零点；②若，，有1个零点；
③若，，且对称轴，
当时，即，有2个零点；
当时，即，有1个零点
综上所述，函数在区间内恰有6个零点需要满足，
或或
解得
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. 是函数的一条对称轴D. 是函数的对称中心
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数图象知：、、为对称轴、是函数的一个对称中心，结合余弦函数的性质即可判断各选项的正误.
【详解】由图知：，即，而，可得，A正确；
且，可得，B错误；
为对称轴，C正确；
由是函数的一个对称中心，则是函数的对称中心，D正确；
故选：ACD
10. 若，，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值B. 有最大值2
C. 有最小值5D. 有最小值
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意利用基本不等式逐项分析判断.
【详解】对于选项A：因为，
当且仅当时，等号成立，
所以有最大值，故A正确；
对于选项B：因为，
当且仅当时，等号成立，可得，
所以有最大值，故B错误；
对于选项C：，
当且仅当，即时，等号成立，
所以有最小值5，故C正确；
对于选项D：因为，
则，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以有最小值，故D错误.
故选：AC.
11. 已知函数，，则下列说法正确的有（ ）
A. 关于点对称
B. 关于点对称
C. 若函数在上的最大值、最小值分别为 M、 N，则
D. 上单调递增
【答案】ABC
【解析】
【分析】通过函数图象的平移结合奇函数的性质可判断AB；通过函数的单调性和对称性可判断CD.
【详解】对于A，将的图象向左平移一个单位得
为奇函数，图象关于原点对称，则的图象关于对称，故A正确；
对于B，将的图象向下平移两个单位得再
向左平移一个单位得
，的图象关于对称，
∴的图象关于对称，故B正确；
对于C，因为在上递减，且为奇函数，，
在上为减函数，
在上为减函数，
又上为减函数，故是上的减函数，
∴在处取得最大值，则在处取得最小值，利用函数的对称性，
可得
故C正确， D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知集合，若集合有8个子集，则实数的取值范围为________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，可知集合中包含3个元素，结合，即可得出实数的取值范围.
【详解】解：因为集合有8个子集，所以集合中包含3个元素，
所以，所以，
则实数的取值范围为.
故答案为：.
13. 已知函数，若存在满足，且（，），则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【详解】因为，所以，因此要使得满足条件的最小，须取
即
考点：三角函数性质
14. 已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数m的取值范围为__________，方程解的个数为__________.
【答案】 ①. ②. 4
【解析】
【分析】作出函数与函数的图象，数形结合可得出实数的取值范围；对于方程，设，作出函数的图象，数形结合可得出函数与直线的交点横坐标、、的取值范围，再结合图形得出方程、、的根的个数即可.
【详解】如图，作出函数的图象，
由题意，直线与函数的图象有两个不同的交点.
由图可知，当时，直线与函数的图象有两个不同的交点，
故实数m的取值范围为；
对于方程，设，则有，
依题意，即是求解函数与直线的交点个数问题.
作出函数的图象如下图所示：
因为，函数与有个交点，
即有三个根、、，其中、、，
再结合的图象可知，方程有个不同的根，方程有个根，方程有个根，
综上所述，方程有个不同的解.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边、分别与单位圆交于、两点，，，.
（1）若的横坐标为，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角函数的定义结合同角三角函数的基本关系可求得，由题意得出，可求出的值，再利用诱导公式化简可求得所求代数式的值；
（2）由诱导公式结合已知条件可得出，利用同角三角函数的平方关系可求出的值，联立方程组求出、的值，再利用同角三角函数的商数关系可求得的值.
【小问1详解】
因为点在单位圆上且横坐标为，所以，
因为，所以.
因为，所以，所以.
所以.
【小问2详解】
因为，所以①，
由，得，
所以.
因为，所以，所以②，
联立①②得，，，
所以.
16. 2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地 球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式： ，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中为发动机的喷射速度，和分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完 ）时的质量．被称为火箭的质量比．
（1）某单级火箭的初始质量为160吨，发动机的喷射速度为2千米/秒，发动机熄火时的质量为40吨，求该单级火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；
（2）根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10．如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度千米/秒，并说明理由．（参考数据：，无理数）
【答案】（1）千米/秒
（2）该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度千米/秒，理由见解析
【解析】
【分析】（1）明确各个量的值，代入即可;
（2）求出最大理想速度，利用放缩法比较与的大小即可.
【小问1详解】
，，，
，
该单级火箭的最大理想速度为千米/秒.
【小问2详解】
，，
，
，
，
.
该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度千米/秒
17. 已知函数和的定义域分别为D1和D2，若对任意，恰好存在n个不同的实数，使得（其中，，），则称为的“n重覆盖函数”.
（1）试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由；
（2）若为的“2重覆盖函数”，求实数a；
（3）函数表示不超过x的最大整数，如，，.，，若为，的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围.
【答案】（1）不是，理由见解析
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据“重覆盖函数”的定义判断即可；
（2）由题意可得即对任意，存在2个不同的实数），使得（其中），即，对进行分类讨论来进行求解.
（3）先求出，再做出函数的图象，数形结合解决问题.
【小问1详解】
对于，有，而，
所以不是的“2重覆盖函数”.
【小问2详解】
由题意可得的定义域为，
即对任意，存在2个不同的实数），
使得（其中），
，则，
，即，
即对任意有2个实根，
当时，已有一个根，
故只需时，仅有1个根①：
当时，，
则，此不等式组无解.
当时，令，解得，
当时，，
所以，解得.
当时，不满足①，
当时，，
所以，解得.
综上所述，或
【小问3详解】
因为，
当时，，
当时，且，
当且仅当时取等号，所以．
综上可得，即，
则对于任意要有2024个根，
作出函数的图象（部分），如图：
要使有2024个根，则，
又，则，故正实数的取值范围．
难点点睛：本题难点在于对新概念的理解，只需根据定义将问题转化为对于定义域内任意实数m，直线与函数的图象有n个交点的问题，然后利用单调性或图象即可求解.
18. 已知偶函数和奇函数满足：．
（1）求解析式；
（2）解不等式；
（3）存在实数满足存在最值大值，求的取值范围．
【答案】（1），．
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用奇偶性构造方程，解方程组得解；
（2）利用对数函数单调性解不等式得解；
（3）利用复合函数的单调性求出函数最值，原问题可化为，列出不等式即可得解.
【小问1详解】
为奇函数，，
为偶函数，．
，①
，②
联立①②得，，
．
【小问2详解】
．
，
，，
不等式的解集为．
【小问3详解】
，
当时，令为增函数，
由在上单调递增知，知在单调递增，
所以的最小值为．
，
由在上单调递减，单调递增，
知在单调递减，最大值为．
当时，．
存在实数满足，
，
．
，
在取到最大值，，
，解得，或．
综上所述，的取值范围为．
19. 已知函数．
（1）判断的奇偶性，并证明；
（2）判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论；
（3）任意，求实数的所有整数解.
【答案】（1）奇函数，证明见解析
（2）在上单调递减，证明见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用奇偶性的定义结合对数的运算证明即可；
（2）利用单调性的定义任取满足，结合对数的运算判断的符号证明即可；
（3）由在上的单调性求出的最值，解不等式即可.
【小问1详解】
函数是奇函数，证明如下：
，所以，解得函数定义域,
因为任意，都有，
又，所以函数是奇函数.
【小问2详解】
上单调递减，证明如下：
法一：任取满足，
因为
＝，
因为，，且单调递增，
所以，，
依据同向不等式的可加性，
所以，
即，所以在上单调递减．
法二：任取满足，因为，
所以，
因为，，
所以，即，
所以，即，所以在上单调递减．
【小问3详解】
由第（2）问知在上单调递减，
所以，
因为，
所以，
所以，即得，解得，
因为，所以或．