【数学】江苏省泰州市2025-2026学年高二上学期期末试题（学生版+解析版）

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1. 已知，，则直线的方程为（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题设，则，可得.
故选：A.
2. 已知函数，则（ ）
A. B. C. 0D. 6
【答案】D
【解析】由题设，对函数求导得，则.
故选：D.
3. 若数列满足，（），则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】由，，，，，
所以是周期为3的数列，则.
故选：B.
4. 已知直线，若，则的值为（ ）
A. B. 3C. -1D. 3或-1
【答案】A
【解析】当或时两直线不平行，
当且时，
因为，
所以，
故选:A．
5. 若椭圆上存在四个点与椭圆的两个焦点构成一个正六边形，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题设，若为正六边形，为焦点，连接，
所以，则，，
由，可得.
故选：D.
6. 已知是等比数列，则下列数列一定是等比数列的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】若的公比为，此时、均是常数数列且为0，但不是等比数列，B、D错，
若的公比为，此时是常数数列且为0，不是等比数列，A错，
若的公比为，，且，
则是首项为，公比为的等比数列，C对.
故选：C.
7. 已知过点的直线与圆相交于，两点，若，则（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】D
【解析】因为，所以在圆内，
设的中点为，连接，则，
设，因为，则，
所以，则，
设圆心到直线的距离为，
所以在中，即，
在中，即，
解得，则，
故选：D.
8. 已知函数，若存在，使得，且的最大值为1，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】函数在上单调递增，在上单调递减，
由存在，使，得，则，，
因此，
令函数，求导得，
当时，当时，
函数在上单调递增，在上单调递减，
则，
而的最大值为，于是，解得，
此时，符合题意，
所以的值为.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在平面直角坐标系中，已知直线的方程为，则（ ）
A. 原点到直线的距离为
B. 任意，点在直线上
C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积为
D. 原点与点关于直线对称
【答案】ABC
【解析】A：由题设，原点到直线的距离为，对，
B：由，
所以任意，点在直线上，对，
C：令，则，
令，则，
所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，对，
D：由原点与点所成直线的斜率为，
而直线的斜率为，显然其不与直线垂直，
所以原点与点不关于直线对称，错.
故选：ABC.
10. 已知函数，则（ ）
A. 当时，在区间上的最大值为2
B. 当时，2是极大值点
C. 若在区间上单调递减，则
D. 若的图象关于点中心对称，则
【答案】ACD
【解析】对于选项AB：当时，则，，
且，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
可知2是的极小值点，故B错误；
且，，所以在区间上的最大值为2，故A正确；
对于选项C：由题意可知：，
若在区间上单调递减，则在区间上恒成立，
因为为开口向上的二次函数，且，
则，解得，故C正确；
对于选项D：因为，
若的图象关于点中心对称，则，
即，
整理可得，
因为不恒成立，则，所以，故D正确；
故选：ACD.
11. 已知为等比数列，，则（ ）
A. 若，则数列是递增数列
B. 若，则数列是递增数列
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】令的公比为，而，
A：若，则，故，则数列是递减数列，错，
B：若，则，整理得，可得，则数列递增数列，对，
C：若，
当时，，构造且，
所以，则时，时，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以，显然在上无解，
当时，，构造且，
所以，故在上单调递增，
而时，，时，，
显然在上存在一个零点，即在上有一个解，
所以，对，
D：若，令是的前n项和，则，
若，则，且，
所以，故，与题设矛盾，
若，则，，可得，与题设矛盾，
若，则，，可得，
构造且，则，则在上单调递增，所以，即在上无解，
综上，且，
而，
所以，则能成立，
令且，所以，则时，时，
所以在上单调递增，在上单调递减，则，
所以，而，
所以且，，
当时，必有，矛盾，
所以，则，D对.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设等差数列的前项和为.若，则______.
【答案】
【解析】.
故答案为：.
13. 已知点，，动点满足：.若动点的轨迹为曲线，直线过点，写出一个满足“与曲线恰有一个公共点”的直线的方程______.
【答案】(填也可)
【解析】设，因为点，，且动点满足，
所以，整理得，
所以曲线方程为，是以为圆心，半径的圆；
直线过点且与曲线恰有一个公共点，显然直线的斜率存在，
设直线的方程为，即，所以，解得，
所以直线的方程为，即或.
故答案为：（填也可）
14. 已知椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆交于，两点.若对任意的直线，存在定圆（圆心为定点，半径为定值）内切于以为直径的圆，则定圆的圆心坐标为______.
【答案】
【解析】由题设，令，联立椭圆得，
所以，其中，则，，
所以，则，
而，
所以以为直径的圆的圆心轨迹为，
圆的半径
，且，
所以，
设定圆的圆心为，半径为，且圆内切于圆，
所以，即，
所以，
则，
整理得，
结合圆心轨迹为，
则，且，
所以，可得，则，
所以，可得或（舍），故，则，
综上，定圆的圆心，且半径为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知点P在抛物线上.
（1）若点P的横坐标为2，求点P到抛物线焦点的距离；
（2）若点P到抛物线焦点的距离为4，求点P的坐标．
解：（1）抛物线得准线方程为，
根据抛物线得定义可得：
点P到抛物线焦点的距离为；
（2）解：设点，
根据抛物线得定义可得：
点P到抛物线焦点的距离为，所以，
则，所以，
所以点P的坐标为.
16. 设为数列的前项和.从下面三个条件中选择一个，使得数列满足，①；②；③.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若对任意，都有，求实数的取值范围.
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：（1）选①：时，，
则，
又，则是首项、公比均为2的等比数列，则；
选②：时，
，显然也满足，则；
选③：时，，与题设矛盾；
（2）由（1），
则，
所以时，时，则，
所以上，要使恒成立，只需.
17. 已知函数，，为实数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若，证明：当时，.
（3）当时，讨论在区间上的单调性.
解：（1）由题设，则，，
所以在点处的切线方程为，
所以；
（2）当时，且，其中，，
所以，，所以恒成立，
当时，由且，且，
所以，在上恒成立，则在上单调递增，
所以，
综上，时，得证；
（3）由，则，故，
当时，恒成立，当且仅当时取等号，
所以在上单调递增，
当时，令，则，
令，则，即上单调递增，
，
所以使，
所以在上，在上，
即在上单调递减，在上单调递增，
而端点值符号为，
即在上恒成立，所以在上单调递减，
综上，在上单调递减，在上单调递增.
18. 在平面直角坐标系中，双曲线：的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线交于，两点，点，与点均不重合.
（1）已知直线：，讨论直线与双曲线的公共点的个数；
（2）记直线与直线的斜率分别是，.
（ⅰ）求证：为定值；
（ⅱ）若点是的外接圆的圆心，判断直线的斜率是否存在最值，若存在，求出最值；若不存在，请说明理由.
（1）解：由的渐近线为，则与平行或重合，
当时，直线与双曲线的公共点有0个，
当时，直线与双曲线的公共点有1个；
（2）（i）证明：由题设，且可设直线，联立，
所以，则，，
若，则，，且，
所以为定值，得证；
（ii）解：设，结合（i）有，且，
所以，，
联立，则，整理得，
所以，则（舍），故，
所以，同理，可得，
设圆的方程为，所以，
又，即，所以，
所以，则，
所以，得，同理，
而，则，
令，则，
则，即，
令，则，故，
可得，
所以，即的最小值、最大值分别为.
19. 已知圆：.定义第1次操作为：作半径为（单位：米）的圆与圆关于直线对称.定义第（，，）次操作为：作半径为（单位：米）的圆，使圆与轴相切，且圆与圆、圆均外切.
（1）求圆的标准方程；
（2）求（用含有的式子表示）；
（3）当，时，求证：.
（1）解：由题设，则圆心，半径，
由圆与圆关于直线对称，则，圆心，
所以；
（2）解：由题意可设，若，由圆与圆外切，
则，
所以，则，且，
由圆与圆外切，则，
所以，则，
当，则，即，且，
所以，则，
当，则，代入，则，
由题意知，则，，
所以是首项为，公差为1的等差数列，
则，
所以，即，，且，
所以；
（3）证明：由题设，则，而，
所以，
，
所以，
由时，，
满足，
若，也成立，
则，有，
由
，
由，
所以，则，
所以，
即也成立，
综上，，得证.