苏科版（2024）八年级下册（2024）第9章 因式分解9.2 提公因式法优秀导学案

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▉题型1 公因式
1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．
2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
1．6x3y2﹣3x2y3分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．3xyB．3x2yC．3x2y3D．3x2y2
【答案】D
【解答】解：6x3y2﹣3x2y3＝3x2y2（2x﹣y），
因此6x3y2﹣3x2y3的公因式是3x2y2．
故选：D．
2．下列各式中，不含因式a+1的是（ ）
A．2a2+2aB．a2+2a+1C．a2﹣1D．a2+a+14
【答案】D
【解答】解：A、∵2a2+2a＝2a（a+1），故本选项正确；
B、a2+2a+1＝（a+1）2，故本选项正确；
C、a2﹣1＝（a+1）（a﹣1），故本选项正确；
D、a2+a+14=（a+12)22，故本选项错误．
故选：D．
▉题型2 因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
3．将多项式xy2﹣y因式分解，正确的是（ ）
A．x（y﹣1）B．x（y2﹣y）C．y（xy﹣y）D．y（xy﹣1）
【答案】D
【解答】解：原式＝y•（xy）﹣y＝y（xy﹣1）．
故选：D．
4．把多项式4x2y2z﹣12xy2﹣6xyz2因式分解，应提取的公因式是（ ）
A．xyzB．4xyzC．2xyD．2x2y2
【答案】C
【解答】解：4x2y2z﹣12xy2﹣6xyz2的公因式是2xy，
∴把多项式因式分解，应提取的公因式是2xy，
故选：C．
5．把4x3y2z﹣6xy2z3+12xy3z2分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．4x2y2zB．2xy2zC．6xyD．2
【答案】B
【解答】解：原式＝2xy2z（2x2﹣3z2+6yz），
∴4x3y2z﹣6xy2z3+12xy3z2的公因式是2xy2z；
故选：B．
6．把多项式m2（a﹣2）+m（2﹣a）分解因式等于（ ）
A．（a﹣2）（m2+m）B．（a﹣2）（m2﹣m）
C．m（a﹣2）（m﹣1）D．m（a﹣2）（m+1）
【答案】C
【解答】解：m2（a﹣2）+m（2﹣a），
＝m2（a﹣2）﹣m（a﹣2），
＝m（a﹣2）（m﹣1）．
故选：C．
7．用提公因式法分解因式2x2y2+8x2y4时，应提取的公因式是（ ）
A．2x2y4B．8x4y2C．8x2y4D．2x2y2
【答案】D
【解答】解：2x2y2+8x2y4
＝2x2y2（1+4y2），
故应提取的公因式是2x2y2．
故选：D．
8．把a3﹣4a2分解因式，正确的是（ ）
A．a（a2﹣4a）B．a2（a﹣4）
C．a（a+2）（a﹣2）D．a2（a+4）
【答案】B
【解答】解：a3﹣4a2＝a2（a﹣4）．
故选：B．
9．已知a+b＝3，ab＝﹣4，则a2b+ab2的值为 ﹣12 ．
【答案】﹣12
【解答】解：∵a+b＝3，ab＝﹣3，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝4×（﹣3）＝﹣12．
故答案为：﹣12
10．分解因式：a2﹣9a＝a（a﹣9） ．
【答案】a（a﹣9）．
【解答】解：原式＝a（a﹣9）．
故答案为：a（a﹣9）．
11．分解因式：x2+3x＝x（x+3） ．
【答案】x（x+3）
【解答】解：x2+3x＝x（x+3）．
12．因式分解：﹣4y2+4y＝ ﹣4y（y﹣1） ．
【答案】﹣4y（y﹣1）．
【解答】解：原式＝﹣4y（y﹣1）
故答案为：﹣4y（y﹣1）．
13．多项式4a2b2+6ab2c因式分解时，应提取的公因式是 2ab2 ．
【答案】2ab2．
【解答】解：多项式4a2b2+6ab2c因式分解时，应提取的公因式是2ab2．
故答案为：2ab2．
14．分解因式：a2+a＝a（a+1） ．
【答案】a（a+1）．
【解答】解：a2+a＝a（a+1）．
故答案为：a（a+1）．
15．分解因式：a2b﹣4ab＝ ab（a﹣4） ．
【答案】ab（a﹣4）
【解答】解：原式＝ab（a﹣4）．
故答案为：ab（a﹣4）．
16．分解因式6xy2﹣3x2y＝ 3xy（2y﹣x） ．
【答案】3xy（2y﹣x）．
【解答】解：原式＝3xy（2y﹣x）．
故答案为：3xy（2y﹣x）．
17．已知：x，y满足|x+y−2−3|+(xy−23)2=0．
（1）x+y＝ 2+3 ，xy＝ 23； ；
（2）求x2y+xy2的值；
（3）求x2+y2的值．
【答案】（1）2+3，23；
（2）43+6；
（3）7．
【解答】解：（1）由题意知，x+y−2−3=0，xy−23=0，
∴x+y=2+3，xy=23，
故答案为：2+3，23．
（2）x2y+xy2=xy(x+y)=23×(2+3)=43+6；
（3）∵x+y=2+3，xy=23，
∴(x+y)2=(2+3)2=3+43+4=7+43，
又∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴x2+2xy+y2=7+43，
∴x2+2×23+y2=7+43，
∴x2+y2＝7．
18．因式分解：a2（a﹣b）2﹣b2（b﹣a）2．
【答案】（a﹣b）3（a+b）．
【解答】解：a2（a﹣b）2﹣b2（b﹣a）2
＝a2（a﹣b）2﹣b2（a﹣b）2
＝（a﹣b）2（a2﹣b2）
＝（a﹣b）2（a﹣b）（a+b）
＝（a﹣b）3（a+b）．
19．因式分解：（1）﹣24x3+12x2﹣28x
（2）6（m﹣n）3﹣12（m﹣n）2
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝﹣4x（6x2﹣3x+7）；
（2）原式＝6（m﹣n）2（m﹣n﹣2）．
20．因式分解：
（1）2x（a﹣b）+3y（b﹣a）
（2）x（x2﹣xy）﹣（4x2﹣4xy）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝2x（a﹣b）﹣3y（a﹣b）＝（a﹣b）（2x﹣3y）；
（2）原式＝x2（x﹣y）﹣4x（x﹣y）＝x（x﹣y）（x﹣4）．
题型1 公因式
题型2 因式分解-提公因式法