初中数学苏科版（2024）八年级下册（2024）8.4 梯形精品学案

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▉题型1 梯形
（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高．
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
1．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于G，BG＝42，则梯形AECD的周长为（ ）
A．21B．22C．23D．24
2．梯形的两底长分别为16cm和8cm，两底角分别为60°和30°，则较短的腰长为（ ）
A．8cmB．6cmC．1cmD．4cm
3．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B＝90°，CD＝7，MN＝11，点M、N分别为AB、CD的中点，则线段AB＝ ．
4．已知梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AC与BD交于点O，AC＝4，BD＝6，则梯形ABCD的面积是 ．
5．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．人们对勾股定理的证明趋之若鹜，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，（a＞0）∠BAC＝∠DEA＝90°，显然BC⊥AD．
（1）请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，（提示：S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCD）梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2＝c2．
（2）如图3，网格中小正方形边长为1，
①点P为已给网格中格点上的点，求BP的最大值为 ．
②请利用“等面积法”解决问题：连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AB边上的高的长度为 ．
（3）如图4，在△ABC中，AD是BC边上的商，AB＝4，AC＝5，BC＝6，求AD的长．
6．背景介绍：
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩纷呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：
把两个全等的直角三角形如图
（1）放置，其三边长分别为a，b，c显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE，请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到a2+b2＝c2．
S梯形ABCD＝ ） ，S△EBC＝，S四边形AECD＝ ，则它们满足的关系式为 ，经化简，可得到a2+b2＝c2．
（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半）
[知识运用]
（1）如图（2），铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距30千米，C，D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝24千米，BC＝14千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，请用尺规作图在图（3）中作出P点的位置并求出AP的距离．
▉题型2 直角梯形
直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直．
角：有两个内角是直角．
过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个矩形和直角三角形．这是常用的一种作辅助线的方法．
7．如图，梯形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，E点在CD上，且DE：EC＝1：4．若AB＝5，BC＝4，AD＝8，则四边形ABCE的面积为何？（ ）
A．24B．25C．26D．27
8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝18cm，BC＝30cm．点E从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动：点F从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t秒，M为BC上一点且CM＝13cm，t＝ s秒时，以D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数；
（3）在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积．
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝8，DC＝6，AD＝10．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t．
（2）当t为何值时，△BPQ是以BQ或BP为底边的等腰三角形？
11．某小区计划在如图所示的空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮的售价为60元/m2，购买这种草皮需要多少钱？
12．如图，已知：如图梯形ABCD中，AD∥CB，AD＝2，AB＝5，CD＝4，∠C＝90°，求S梯形ABCD．
▉题型3 等腰梯形的性质
（1）性质：
①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线；
②等腰梯形同一底上的两个角相等；
③等腰梯形的两条对角线相等．
（2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质．
13．课外活动课上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形状的风筝，（如图），其面积为450cm2，则每条对角线所用的竹条的长为（ ）
A．302cmB．30cmC．602cmD．60cm
14．等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角为（ ）
A．120°B．60°C．45°D．135°
15．如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，AC平分∠DAB，∠DCA＝30°，DC＝3cm，则∠BCA＝ °，梯形ABCD的周长为 cm．
16．三条边长分别为2、3、8的等腰梯形的周长是 ．
17．等腰梯形两底之差为12cm，高为6cm，则其锐角底角为 度．
▉题型4 等腰梯形的判定
（1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；
（2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．
（3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形．
判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系．
注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用．
18．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从A点开始沿边AD以每秒1cm的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿CB以每秒3cm的速度向B移动，P、Q同时出发．
（1）当运动多少秒时，四边形PQCD是平行四边形？
（2）当运动多少秒时，四边形PQCD是直角梯形？
（3）多少秒后，梯形PQCD是等腰梯形？
▉题型5 梯形中位线定理
（1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． （2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
（3）梯形面积与中位线的关系：
梯形中位线的2倍乘高再除以2就等于梯形的面积，即
梯形的面积=12×2×中位线的长×高＝中位线的长×高
（4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线．
20．如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF＝3，则梯形ABCD的周长为（ ）
A．9B．10.5C．12D．15
21．等腰梯形ABCD的中位线EF的长为5，腰AD的长为5，则等腰梯形ABCD的周长为 ．
22．已知梯形的中位线长是3cm，下底长是4cm，则它的上底长是 cm．
题型1 梯形
题型2 直角梯形
题型3 等腰梯形的性质
题型4 等腰梯形的判定
题型5 梯形中位线定理