初中数学苏科版（2024）八年级下册（2024）7.3 频率与概率优质学案及答案

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▉题型1 利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
1．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是（ ）
A．0.82B．0.78C．0.77D．0.76
【答案】B
【解答】解：通过图表给出的数据得出，随着实验次数的增加，“有2个人同月过生日”的频率稳定在0.781附近，
∴该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是0.78．
故选：B．
2．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
A．黑球B．黄球C．红球D．白球
【答案】B
【解答】解：∵不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，
∴白球被取得的概率=510=12，红球被取得的概率=310，黄球被取得的概率=210=15，
由频率图可知，某球被取得的频率大约在0.2左右波动，接近黄球被取得的概率，
故选：B．
3．一只不透明的袋中装有除颜色外都相同的红球、黄球、白球共50个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是0.2、0.4．则可估计袋中白球的个数是（ ）
A．10B．15C．25D．20
【答案】D
【解答】解：∵通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是0.2、0.4．
∴估计摸到白球的频率为1﹣0.2﹣0.4＝0.4，
∴可估计袋中白球的个数是50×0.4＝20（个）．
故选：D．
4．在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子里红球的个数估计是（ ）
A．8B．12C．14D．16
【答案】A
【解答】解：∵小明通过多次试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，
∴从这20个球中摸出一个球，摸到红球的概率约为0.4，
∴袋子里红球的个数估计是20×0.4＝8（个）．
故选：A．
5．如图，已知面积为20的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取100个点，若有65个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为 13 ．
【答案】13．
【解答】解：∵在正方形区域内任取100个点，若有65个点在黑色部分，
∴估计黑色部分占这个区域的65100=1320，
∴黑色部分的面积为20×1320=13．
故答案为：13．
6．一个袋子里有n个除颜色外完全相同的小球，其中有8个黄球，每次摸球前先将袋子里的球摇匀，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4附近，那么n大约是 20 ．
【答案】20
【解答】解：根据题意，得8n=0.4，
解得n＝20，
故答案为：20．
7．任一个不透明的袋子中放入15个红球和若干个白球（球除了颜色不同外其余都相同），如果从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中白球有 10 个．
【答案】10．
【解答】解：设袋中白球有x个，根据题意得15＝0.6（x+15），
解得x＝10．
所以袋中白球有10个．
故答案为：10．
8．一个盒子中有12个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，经过多次重复实验，发现摸到红球的频率稳定在0.6附近，则估计盒子中白球有 8 个．
【答案】8
【解答】解：设袋中白球有x个，
根据题意，得：12x+12=0.6，
解得：x＝8，
经检验：x＝8是分式方程的解，
所以盒子中白球的个数约为8个，
故答案为：8．
9．色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如下：
根据表中信息，估计在男性中出现色盲患者的概率约为 0.07 （精确到0.01）．
【答案】0.07．
【解答】解：∵根据题目中表所示，随着实验人数的增多，男性患色盲的频率逐渐稳定在0.07左右，
∴在男性中，男性患色盲的概率为0.07．
故答案为：0.07．
10．在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球、黄球和绿球的频率分别稳定在20%，40%和40%．由此，推测口袋中黄色球的个数有 24个 ．
【答案】24个．
【解答】解：估计箱子里黄色球有60×40%＝24（个），
故答案为：24个．
11．一个不透明的袋中有若干个除颜色外完全相同的小球，其中黄球有6个，将袋中的球摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则袋中小球的个数为 15 ．
【答案】15．
【解答】解：∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，口袋中黄球有6个，
∴袋中小球的个数为6÷0.4＝15（个）．
故答案为：15．
12．如图，正方形二维码的边长为2cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可估计黑色部分的面积约为 2.8 cm2．
【答案】2.8
【解答】解：正方形二维码的边长为2cm，
∴正方形二维码的面积为4cm2，
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，
∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的70%，
∴黑色部分的面积约为：4×70%＝2.8，
故答案为：2.8．
13．某批篮球的质量检验结果如下：
从这批篮球中，任意抽取一个篮球是优等品的概率的估计值约是 0.93 .（精确到0.01）
【答案】0.93．
【解答】解：从这批篮球中，任意抽取一个篮球是优等品的概率的估计值约是0.93，
故答案为：0.93．
14．在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
（1）上表中的a＝ 0.59 ，b＝ 116 ；
（2）“摸到白球的”的概率的估计值是 0.6 （精确到0.1）；
（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）a＝59÷100＝0.59，b＝200×0.58＝116．
故答案为：0.59，116
（2）“摸到白球的”的概率的估计值是0.6；
故答案为：0.6
（3）12÷0.6﹣12＝8（个）．
答：除白球外，还有大约8个其它颜色的小球；
15．某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图），并规定：顾客购物30元以上就能获得1次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪个区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）表格中a＝ 0.68 ，b＝ 0.70 ；（精确到0.01）
（2）请估计：当n很大时，指针落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？
（3）转动该转盘1次，获得铅笔的概率约是多少？
（4）在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少度？
【答案】（1）0.68，0.70；
（2）0.70；
（3）0.70；
（4）252°．
【解答】解：（1）a=136200=0.68，b=7011000≈0.70；
故答案为：0.68，0.70；
（2）当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近0.70；
（3）转动该转盘1次，获得铅笔的概率约是0.70；
（4）0.70×360°＝252°，
答：标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是252°．
16．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据：
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 0.25 （精确到0.01）；
（2）试估算盒子里白球有 5 个；
（3）某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是 ①④ （填写所有正确结论的序号）．
①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”．
②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”．
③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上．
④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲．
【答案】（1）0.25；
（2）5；
（3）①④．
【解答】解：（1）由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的频率将会接近0.25；
故答案为：0.25；
（2）根据题意得：20×0.25＝5（个），
故答案为：5；
（3）①从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为1352=14，故此选项符合题意；
②掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于3的概率为26=13，故不符合题意；
③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为12，不符合题意；
④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率为14，故此选项符合题意．
故答案为：①④．
17．某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据：
（1）完成上述表格：a＝ 0.305 ，b＝ 148 ；
（2）若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近 0.3 ，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是 0.3 ；（结果都精确到0.1）
（3）顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为P1，得到奖品“贴纸”的概率记为P2，得到“谢谢参与”的概率记为P3，则P1、P2、P3的大小关系是 P2＞P3＞P1 ．（用“＞”连接）
【答案】（1）0.305，148；（2）0.3，0.2；（3）P2＞P3＞P1．
【解答】解：（1）a＝122÷400＝0.305；b＝500×0.296＝148；
故答案为：0.305；148；
（2）若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是0.3；
故答案为：0.3，0.3；
（3）P1=210=15；P2=510=12；P3=310，
∴P2＞P1＞P3，
故答案为：P2＞P3＞P1．
18．工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格：
（1）表格中m的值为 475 ，n的值为 0.95 ．
（2）估计任抽一件该产品是不合格品的概率．
（3）该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除给工厂2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了460件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）m＝500×0.95＝475，n＝950÷1000＝0.95，
故答案为：475、0.95；
（2）1﹣0.95＝0.05．
答：任抽一件该产品是不合格品的概率为0.05；
（3）460×0.05×2＝46（元）．
答：估计要在他奖金中扣除46元．
19．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.15．
（1）请估计摸到白球的概率将会接近 0.15 ；
（2）计算盒子里白色的球有多少个？
【答案】（1）0.15；
（2）9个．
【解答】解：（1）∵经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.15．
∴估计摸到白球的概率将会接近0.15，
故答案为：0.15；
（2）∵盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.15，
∴盒子里的白球个数＝60×0.15＝9（个），
答：盒子里白色的球有9个．
20．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的统计数据：
（1）表中a＝ 0.6025 ；
（2）当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 0.6 （精确到0.1）；
（3）估计袋子中白球的个数．
【答案】（1）0.6025；
（2）0.6；
（3）20个．
【解答】解：（1）a＝4820÷8000＝0.6025；
故答案为：0.6025；
（2）当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6；
故答案为：0.6；
（3）估计袋子中有白球50×（1﹣0.6）＝20（个）．
▉题型2 模拟试验
（1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验．
（2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果．
（3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟试验即可．
21．小明在做抛掷硬币的试验中，抛掷结果为正面的频数为40，频率为40%，则小明共抛掷了 100 次．
【答案】100．
【解答】解：抛掷结果为正面的频数为40，频率为40%，
∴小明共抛掷了：40÷40%＝100（次），
故答案为：100．
题型1 利用频率估计概率
题型2 模拟试验
试验次数
100
300
500
1000
1600
2000
“有2个人同月过生日”的次数
79
229
385
781
1251
1562
“有2个人同月过生日”的频率
0.79
0.763
0.77
0.781
0.782
0.781
抽取的体检表数n
50
100
200
400
500
800
1000
1200
1500
2000
色盲患者的频数m
3
7
13
29
37
55
69
85
105
138
色盲患者的频率mn
0.060
0.070
0.065
0.073
0.074
0.069
0.069
0.071
0.070
0.069
抽取的篮球数n
100
200
400
600
800
1000
1200
优等品的频数m
93
190
390
564
746
931
1118
优等品的频率mn
0.930
0.950
0.975
0.940
0.933
0.931
0.932
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
59
96
b
295
480
601
摸到白球的频率mn
a
0.64
0.58
0.59
0.60
0.601
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”区域的次数m
68
111
136
345
564
701
落在“铅笔”区域的频率mn
0.68
0.74
a
0.69
0.71
b
摸球的次数n
10
20
50
100
200
400
500
1000
摸到白球的次数m
4
7
10
28
45
97
127
252
摸到白球的频率mn
0.400
0.350
0.200
0.280
0.225
0.243
0.254
0.252
转动转盘的次数n
100
200
300
400
500
落在“谢谢参与”区域的次数m
29
60
93
122
b
落在“谢谢参与”区域的频率mn
0.29
0.3
0.31
a
0.296
抽取件数（件）
50
100
200
300
500
1000
合格频数
49
94
192
285
m
950
合格频率
0.98
0.94
0.96
0.95
0.95
n
摸球的次数n
1000
2000
3000
5000
8000
10000
摸到黑球的次数m
650
1180
1890
3100
4820
6013
摸到黑球的频率mn
0.65
0.59
0.63
0.62
a
0.6013