江苏省无锡市新吴区2025-2026学年九年级上学期期末学业水平数学试题（试卷+解析）

这是一份江苏省无锡市新吴区2025-2026学年九年级上学期期末学业水平数学试题（试卷+解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的选项编号填写在答题卡相应的位置处）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知的半径为3，，则点与的位置关系是（ ）
A. 点在内B. 点在上C. 点在外D. 不能确定
3. 甲、乙、丙、丁四名选手进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9环，射击成绩的方差分别是．则四个人当中成绩最稳定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
4. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，且相似比为1∶2，则与的面积比为（ ）
A 1∶2B. 1∶3C. 1∶4D. 4∶1
6. 在锐角中，如果各边长都扩大为原来的2倍，那么的正弦值（ ）
A. 不变B. 扩大2倍C. 扩大4倍D. 缩小为原来的一半
7. 如图，为的直径，点为的中点．若，则的度数是（ ）
A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°
8. 如图，在中，点，分别在边，上，再添加一个条件，仍不能判定与相似的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A. B.
C. D.
10. 在中，，于点，的平分线交于点，交于点．若，，，则关于的一元二次方程的根的情况．（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根D. 不能确定
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案填写在答题卡相应的位置处）
11. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______．
12. 二次函数图象的开口方向是______（填写“向上”或“向下”）．
13. 某中学校史展览馆要招募一名讲解员，小明经历了笔试和试讲两轮测试．他笔试和试讲成绩分别为90分，80分．综合成绩中笔试占，试讲占，小明的综合成绩为______分．
14. 已知圆弧所在圆的半径为3，所对的圆心角为60°，则这条弧长为______．
15. 请写出一个关于的一元二次方程，使得它的两根之和为3，则这个方程可以是______．
16. 如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为______．
17. 如图，用长度为的绳子围成扇形，则扇形的最大面积为______．
18. 如图，在矩形中，，，点是平面内一点，且，过点作的垂线，交直线于点．当线段长度最小时，线段的长为_____．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 解方程：
（1）；
（2）．
20. （1）计算：；
（2）已知，求锐角的度数．
21. 在一个不透明的口袋里，装有分别标着汉字“马”、“到”、“成”、“功”的四个小球，将其搅匀，这些小球除汉字不同外其他都相同．
（1）从袋中随机取一个小球，恰好是“马”的概率为______；
（2）从袋中随机取一个小球，不放回，搅匀后再从剩下的三个小球中随机取一个，请用画树状图或列表的方法，求取到的两个小球上的汉字恰能组成“成功”的概率（汉字不分先后顺序）．
22. 2025年9月3日，中国举行了举世瞩目的“九三大阅兵”活动．为掌握同学们对阅兵活动相关知识的了解情况，某校分别从九年级（1）班和（2）班中各随机抽取20名学生进行了知识竞赛．共20题，答对一题得5分，满分100分，成绩达到95分及以上为优秀（包括95分）．该校数学兴趣小组对调查结果进行了整理、描述和分析．
九（1）班和九（2）班所抽取学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，回答下列问题．
（1）请补全条形统计图；
（2）填空：______，______；
（3）结合以上数据，请你从不同角度对这次竞赛成绩的结果进行分析（至少写两条）．
23. 定义：我们称能完全覆盖某平面图形圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，．
（1）在图中，作出外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由：如果不是，请求出该三角形的最小覆盖圆的直径．
24. 某体育用品商店销售一批运动鞋，零售价每双240元，如果一次购买超过10双，那么每多购1双，所购运动鞋的单价降低6元，但单价不能低于150元．
（1）若一位顾客买了15双这种运动鞋，则需支付多少元？
（2）若一位顾客购买这种运动鞋支付了3600元，那么这位顾客买了多少双运动鞋？
25. 如图，四边形中，，，以为直径作恰好经过点，与交于点．
（1）求证：与相切；
（2）若，求．
26. 某数学课题研究小组针对北半球某城市住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究：
【设计要求】某住户的窗户朝南，要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．该研究小组决定设计直角遮阳篷，其中表示窗户，，表示墙，表示直角遮阳篷，垂直于墙面．如示意图1．
【查阅资料】利用DeepSeek搜索后，了解到不同季节太阳光线与地平面的夹角是不同的，北半球冬至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的夹角最小，最小夹角记为；夏至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的夹角最大，最大夹角记为．
【问题解决】
（1）已知无锡冬至正午太阳光线与地平面的最小夹角为．当米，米时，请判断当地冬至正午阳光是否能全部射入室内，并说明理由．（参考数据：，，）
（2）确保能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内后，又能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，请在图2中画出遮阳篷的示意图（无需尺规作图），且对添画的线加上文字说明．
（3）在（2）的条件下，若窗户高度用表示，那么用含、、的代数式表示遮阳篷的长．
27. 在矩形中，，．点E，F分别在边，上，将该矩形沿折叠，使点A的对应点M落在边上，点B的对应点为点N，交于点G．
（1）连接，求的值；
（2）若，，求y关于x的函数表达式．
28 已知二次函数（）．
（1）若，求该函数图象的顶点坐标；
（2）若，求证：该函数图象与轴有两个公共点；
（3）该函数图象与轴交于点，它的对称轴与轴交于点．当确定时，该函数图象上是否存在唯一的点，使得是一个以为底边的等腰三角形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由？
班级
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
优秀率
九（1）班
89.5
85
九（2）班
89.5
90
2025—2026学年度第一学期期末学业质量检测
九年级数学试卷
满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的选项编号填写在答题卡相应的位置处）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的定义，需依据“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程”这一核心条件，逐一判断各选项是否符合．
【详解】解：∵一元二次方程需同时满足三个条件：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2
A、方程整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义；
B、方程含有两个未知数，是二元一次方程，不符合一元二次方程定义；
C、方程是整式方程，只含有一个未知数，且未知数最高次数为2，完全符合一元二次方程定义；
D、方程含有两个未知数，是二元二次方程，不符合一元二次方程定义；
故选：C．
2. 已知的半径为3，，则点与的位置关系是（ ）
A. 点在内B. 点在上C. 点在外D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据的半径为3，，且，即可得出结果，熟练掌握点到圆心的距离与圆半径的大小关系对应的位置关系是解题关键．
【详解】解：∵的半径为3，，且，
∴点在内，
故选：A．
3. 甲、乙、丙、丁四名选手进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9环，射击成绩的方差分别是．则四个人当中成绩最稳定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了方差的意义和应用，要熟练掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，据此判断出成绩最稳定的是哪个人即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴四个人当中成绩最稳定的是乙，
故选：B．
4. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了几何概率，根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分的面积为个面积相等的三角形，根据概率公式可知，指针落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积除以正八边形的面积，据此计算即可，熟练掌握概率的计算是解题的关键．
【详解】解：根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分的面积为个面积相等的三角形，
∴指针落在阴影部分的概率是，
故选：．
5. 已知，且相似比为1∶2，则与的面积比为（ ）
A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶4D. 4∶1
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵，且相似比为，
∴与的面积比为．
故选：C．
6. 在锐角中，如果各边长都扩大为原来的2倍，那么的正弦值（ ）
A. 不变B. 扩大2倍C. 扩大4倍D. 缩小为原来的一半
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，明确锐角三角函数值是角的固有属性，与边长无关是解题关键．
【详解】解：∵在锐角中，各边长扩大为原来的2倍后，所得三角形与原三角形三边对应成比例，
∴所得三角形与原三角形相似，
∴的大小不变．
又∵锐角的正弦值由角的大小决定，与边的长度无关，
∴的正弦值不变．
故选：A．
7. 如图，为的直径，点为的中点．若，则的度数是（ ）
A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，
先连接，再说明，然后根据等弧所对圆周角相等得，则此题可解．
【详解】解：连接，
∵是的直径，
∴．
∵点B是的中点，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
8. 如图，在中，点，分别在边，上，再添加一个条件，仍不能判定与相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法（三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似）成为解题的关键．根据相似三角形的判定方法解答即可．
【详解】解：由题意得，
A、若添加，利用有两组角对应相等的两个三角形相似，能判定，不符合题意；
B、若添加，则，利用有两组角对应相等的两个三角形相似，能判定，不符合题意；
C、若添加，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，能判定，不符合题意；
D、若添加，不能判定与相似，符合题意
故选：D．
9. 将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象的平移变换，利用“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解，熟练掌握二次函数图象的平移变换规则是解此题的关键．
【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为，
故选：A．
10. 在中，，于点，的平分线交于点，交于点．若，，，则关于的一元二次方程的根的情况．（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
证，得到，再利用角平分线性质和直角三角形斜边大于直角边得到，即，进而判断判别式的符号，即可求解．
【详解】解：如图，
于点，
，
，
，，
，
，
，
，
过点作于点，
平分，，，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
，即，
在方程中，，
，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案填写在答题卡相应的位置处）
11. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入方程，然后求的值即可，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴代入得，即，
解得：，
故答案为：．
12. 二次函数图象的开口方向是______（填写“向上”或“向下”）．
【答案】向上
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图像，掌握二次函数的图像的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键．
根据二次函数解析式二次项系数的正负性，即可判断函数图像的开口方向．
【详解】解：二次函数中，
∴二次函数图象的开口向上，
故答案为：向上．
13. 某中学校史展览馆要招募一名讲解员，小明经历了笔试和试讲两轮测试．他的笔试和试讲成绩分别为90分，80分．综合成绩中笔试占，试讲占，小明的综合成绩为______分．
【答案】83
【解析】
【分析】本题主要考查了求加权平均数，
根据加权平均数的计算方法，将笔试和试讲成绩分别乘以对应的比例，再求和．
【详解】解：笔试成绩占，试讲成绩占，因此综合成绩（分）．
故答案为：83．
14. 已知圆弧所在圆的半径为3，所对的圆心角为60°，则这条弧长为______．
【答案】π
【解析】
【分析】根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：因为圆弧所在圆的半径为3，所对的圆心角为60°，
则这条弧长为：．
故答案为：π．
考查扇形的弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键．
15. 请写出一个关于的一元二次方程，使得它的两根之和为3，则这个方程可以是______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．
根据根与系数的关系，一元二次方程的两根之和为 ，设其等于3，可选取简单系数构造方程．
【详解】设一元二次方程为 （其中），
由根与系数的关系，两根之和 ，即 ．
取 ，则 ，为简化方程，
取 ，得方程 ．
故答案为 ．
16. 如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为______．
【答案】20
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，作于点，延长交于点，由题意可得，，则，，由相似三角形的性质可得，代入，，计算即可得出结果，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于点，延长交于点，
由题意可得：，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即小孔到的距离为，
故答案为：．
17. 如图，用长度为的绳子围成扇形，则扇形的最大面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形的面积，二次函数的最值，设围成的扇形的半径为，扇形的面积为，则围成扇形的弧长为，根据扇形的面积公式列出关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设围成的扇形的半径为，扇形的面积为，则围成扇形的弧长为，
则，
∵，
∴当时，扇形有最大面积为，
故答案为：．
18. 如图，在矩形中，，，点是平面内一点，且，过点作的垂线，交直线于点．当线段长度最小时，线段的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】以为圆心，为半径作圆，连接，以的中点为圆心，以为半径作圆，根据点在上，点在上，得到当与在左侧相切时，的值最小，根据勾股定理得到和的长度，通过证明，得到的长，通过证明，得到的长，根据勾股定理得到的长．
【详解】解：如图所示，以为圆心，为半径作圆，连接，以的中点为圆心，以为半径作圆，
∵点是平面内一点，且，
∴点是上的一点，
∵，
∴，
∴点是上的一点，
∴，
如图，当线段长度最小时，即直线与相切时，直线与交于点，即此时最小， 与相交于点，
∵直线与圆相切，
∴，
∴，
∵，,
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴中，，
∴当线段长度最小时，线段的长为．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可得出结果；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果．
【小问1详解】
解：∵，
∴或，
∴，；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴或，
∴，．
20. （1）计算：；
（2）已知，求锐角的度数．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解此题的关键．
（1）先计算零指数幂、特殊角的三角函数值，再计算减法即可得出结果；
（2）求出，再结合特殊角的三角函数值计算即可得出结果．
【详解】解：（1）
；
（2）∵，
∴，
∵为锐角，
∴．
21. 在一个不透明的口袋里，装有分别标着汉字“马”、“到”、“成”、“功”的四个小球，将其搅匀，这些小球除汉字不同外其他都相同．
（1）从袋中随机取一个小球，恰好是“马”的概率为______；
（2）从袋中随机取一个小球，不放回，搅匀后再从剩下的三个小球中随机取一个，请用画树状图或列表的方法，求取到的两个小球上的汉字恰能组成“成功”的概率（汉字不分先后顺序）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，概率公式，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）直接利用概率公式求解；
（）依题意画出树状图，共有种等可能的结果，其中取到的两个小球上的汉字恰能组成“成功”的结果有种，然后根据概率公式求解．
【小问1详解】
解：从袋中随机取一个小球，恰好是“马”的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如下，
共有种等可能的结果，其中取到的两个小球上的汉字恰能组成“成功”的结果有种，
∴取到的两个小球上的汉字恰能组成“成功”的概率．
22. 2025年9月3日，中国举行了举世瞩目的“九三大阅兵”活动．为掌握同学们对阅兵活动相关知识的了解情况，某校分别从九年级（1）班和（2）班中各随机抽取20名学生进行了知识竞赛．共20题，答对一题得5分，满分100分，成绩达到95分及以上为优秀（包括95分）．该校数学兴趣小组对调查结果进行了整理、描述和分析．
九（1）班和九（2）班所抽取学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，回答下列问题．
（1）请补全条形统计图；
（2）填空：______，______；
（3）结合以上数据，请你从不同角度对这次竞赛成绩的结果进行分析（至少写两条）．
【答案】（1）见解析 （2）， （3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了统计的知识，熟练掌握中位数、众数、平均数的意义是解答本题的关键．
（1）利用九（1）班的优秀率求出九（1）班成绩优秀的人数为人，进而可求出成绩为分的人数，再用总人数减去成绩为分，分，分，分的人数，即可得到成绩为分的人数，即可补全条形图；
（2）利用中位数和总数的定义即可解答；
（3）根据平均数，中位数，众数和优秀率即可解答．
【小问1详解】
解：九（1）班成绩优秀的人数为（人），
则成绩为分的人数为（人），
∴成绩为分的人数为（人），
补全条形图如下：
【小问2详解】
解：九（1）班成绩从小到大排列，成绩为第名和第名的成绩分别为分，分，
则中位数，
九（2）班成绩中，分所占比例最高，即成绩为分的人数最多，
故众数，
故答案为：，；
【小问3详解】
解：从平均数来看，两个班的成绩一样；
从中位数来看，，则九（1）班的成绩没有九（2）班的成绩好；
从众数来看，，则九（1）班的成绩没有九（2）班的成绩好；
从优秀率来看，，则九（2）班的成绩没有九（1）班的成绩好．（答案不唯一，合理即可）
23. 定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，．
（1）在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由：如果不是，请求出该三角形的最小覆盖圆的直径．
【答案】（1）见解析 （2）不是．
【解析】
【分析】本题考查的是作三角形的外接圆，直角三角形的性质，勾股定理的应用，熟练的作三角形的外接圆是解本题的关键．
（1）先作和的垂直平分线，相交于点，再以为半径作圆即可；
（2）作交的延长线于点，在中，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，再在中，利用勾股定理可得答案．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
；
小问2详解】
解：不是．
如图：作交的延长线于点，
，，
．
中，，，
则．
在中，．
这个三角形最小覆盖圆的直径为．
24. 某体育用品商店销售一批运动鞋，零售价每双240元，如果一次购买超过10双，那么每多购1双，所购运动鞋的单价降低6元，但单价不能低于150元．
（1）若一位顾客买了15双这种运动鞋，则需支付多少元？
（2）若一位顾客购买这种运动鞋支付了3600元，那么这位顾客买了多少双运动鞋？
【答案】（1）需支付3150元
（2）一共买了20双
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，有理数四则运算的实际应用．正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题意直接计算可得；
（2）设买了双运动鞋，根据每双运动鞋的单价双数元列出关于的方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：
（元）
答：需支付3150元；
【小问2详解】
解：设买了双运动鞋，
，
，
根据题意，得，
解得，，
又，
，
，
答：一共买了20双．
25. 如图，四边形中，，，以为直径作恰好经过点，与交于点．
（1）求证：与相切；
（2）若，求．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，余弦的定义，圆周角定理，熟练掌握连接半径证垂直证切线，灵活运用垂径定理是解题的关键．
（1）连接，由圆周角定理得到结合已知可得，推出，进而求出，即可证明结论；
（2）作交于，设，则，由垂径定理得到，证明四边形是矩形，求出，在中，由余弦的定义即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
且经过半径的外端，
与相切；
【小问2详解】
解：作交于，
设，则，
在中，
，
．
，
四边形是矩形，
，
，
在中，．
26. 某数学课题研究小组针对北半球某城市住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究：
【设计要求】某住户窗户朝南，要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．该研究小组决定设计直角遮阳篷，其中表示窗户，，表示墙，表示直角遮阳篷，垂直于墙面．如示意图1．
【查阅资料】利用DeepSeek搜索后，了解到不同季节太阳光线与地平面的夹角是不同的，北半球冬至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的夹角最小，最小夹角记为；夏至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的夹角最大，最大夹角记为．
【问题解决】
（1）已知无锡冬至正午太阳光线与地平面的最小夹角为．当米，米时，请判断当地冬至正午阳光是否能全部射入室内，并说明理由．（参考数据：，，）
（2）确保能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内后，又能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，请在图2中画出遮阳篷的示意图（无需尺规作图），且对添画的线加上文字说明．
（3）在（2）的条件下，若窗户高度用表示，那么用含、、的代数式表示遮阳篷的长．
【答案】（1）不能，理由见解析
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．正确理解题意是解题的关键．
（1）假设能全部射入，则光线要经过点，求出米，比较即可解答；
（2）为夏至日正午太阳光线，为冬至日正午太阳光线，与的交点即为点，过点作交于点即可；
（3）求出，进而得到，根据，，即可解答．
【小问1详解】
解：不能，理由如下：
如图，假设能全部射入，则光线要经过点，
当时，，
米，
，
遮阳篷下移，此时对应的部分，太阳无法射入．
【小问2详解】
解：如图，为夏至日正午太阳光线，为冬至日正午太阳光线，与的交点即为点．
过点作交于点．
【小问3详解】
解：，
，
，
．
又，，
，
解得：．
27. 在矩形中，，．点E，F分别在边，上，将该矩形沿折叠，使点A的对应点M落在边上，点B的对应点为点N，交于点G．
（1）连接，求的值；
（2）若，，求y关于x的函数表达式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）过点F作于点H，由折叠的性质得，，利用等量代换证得，进而证得，即可求解；
（2）方法1：由（1）得，可得，进而求得，由对称的性质得，再利用勾股定理列方程即可求解；方法2：连接、，由题意得，，再由轴对称的性质可得，进而利用勾股定理得，进而求解即可．
【小问1详解】
解：过点F作于点H，
，
∵四边形是矩形，
．
．
由折叠的性质得，，
，
，
又∵，
．
又，
，
；
【小问2详解】
解：方法1：，
．
．
又，
，
∴，
∵点A、M关于对称，
．
在中，，
．
解得：，
方法2：连接、，
，，
，，
∵点A、M关于对称，
，
∴在和中，，
解得：．
本题考查相似三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理、矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
28. 已知二次函数（）．
（1）若，求该函数图象的顶点坐标；
（2）若，求证：该函数图象与轴有两个公共点；
（3）该函数图象与轴交于点，它的对称轴与轴交于点．当确定时，该函数图象上是否存在唯一的点，使得是一个以为底边的等腰三角形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由？
【答案】（1）
（2）见解析 （3）存在，，
【解析】
【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质和判定，
对于（1）将代入关系式，再配方可得答案；
对于（2），令得出一元二次方程，再根据根的判别式可得结论；
对于（3），由题意得，，再根据是一个以为底边的等腰三角形，可得，然后设存在点，根据线段长相等可得方程，接下来根据有两个相等的实数根可得方程，求出解即可．
【小问1详解】
解：若，，顶点坐标为；
【小问2详解】
解：当时，，
则．
，
，
，
该函数图象与轴有两个公共点；
【小问3详解】
解：存在，
由题意，得，对称轴为直线，
．
是一个以为底边的等腰三角形，
，设存在点
．
有两个相等的实数根．
，
，．
班级
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
优秀率
九（1）班
89.5
85
九（2）班
89.5
90