2023~2024学年江苏省无锡市滨湖区九年级上学期期末数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年江苏省无锡市滨湖区九年级上学期期末数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔在答题卡上相应的选项标号涂黑）
1. 一元二次方程的根是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】，
移项，得，
提取公因式，得，
或，
解得，，
故选C．
2. 若方程(x﹣4)2＝a有实数解，则a的取值范围是( )
A. a≤0B. a≥0C. a＞0D. a＜0
【答案】B
【解析】∵方程(x﹣4)2＝a有实数解，
∴x﹣4＝±，
∴a≥0，
故选B．
3. 若直线l与半径为6的⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d为( )
A. d＜6B. d＝6C. d＞6D. d≤6
【答案】A
【解析】∵⊙O的半径为6，直线L与⊙O相交，
∴圆心到直线的距离小于圆的半径，
即0≤d＜6，
故选A．
4. 在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格：
如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
A. 平均数B. 众数C. 方差D. 中位数
【答案】D
【解析】去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选D．
5. 若要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B. 先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C. 先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
D. 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
【答案】B
【解析】∵函数的定点坐标为 ，函数的顶点坐标为 ，
∴将函数的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数的图象．
故选：B．
6. 抛物线 与y轴的交点纵坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当时，，所以，抛物线与y轴的交点纵坐标为．
故选：C．
7. 用半径为5的半圆围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径等于( )
A. 3B. 5C. D.
【答案】D
【解析】设底面半径为R，则底面周长＝2Rπ，半圆的弧长＝×2π×5＝2πR，
∴R＝，
故选D．
8. 若等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝100°，则△ABC底角的度数为( )
A. 65°B. 25°
C. 65°或25°D. 65°或30°
【答案】C
【解析】①圆心O在△ABC外部，
在优弧BC上任选一点D，连接BD，CD，
∴∠BDC＝∠BOC＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BDC＝130°；
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝(180°﹣∠BAC)÷2＝25°；
②圆心O在△ABC内部．∠BAC＝∠BOC＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝(180°﹣∠BAC)÷2＝65°，
综上所述，△ABC底角的度数为65°或25°，
故选C．

9. 如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，则DE的长等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵∠ADC=∠BDE，∠C=∠E，∴△ADC∽△BDE，
∴．
∵AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，
∴BD=5，DC=3．
∴．
故选：B．
10. 如图，直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的任一点，过点D(3，0)向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF面积的最小值为( )
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】如图，连接DP，
∵直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣2，
∴A(﹣2，0)，B(0，1)，
∴AB＝=，
∵过点D(3，0)向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，
∴DE＝DF，PE⊥DE，
∵PE＝PF，PD＝PD，
∴△PED≌△PFD(SSS)，
∵⊙P的半径为，
∴DE＝，
当DP⊥AP时，DP最小，此时DP＝AD•sin∠BAO＝5×，
∵四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE×DE＝DE，
∴四边形PEDF面积的最小值为．
故选A．
二、填空题（本大题共8个题，每小题3分，共16分，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11. 若3是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则c的值为____．
【答案】-3
【解析】把x＝3代入方程x2﹣2x+c＝0得32﹣2×3+c＝0，
解得c＝﹣3，
故答案为﹣3．
12. 已知 则代数式 ___________________．
【答案】
【解析】∵∴，
∴，
故答案为：．
13. 抛物线y＝x2﹣2x﹣5的顶点坐标是____．
【答案】(1，-6)
【解析】抛物线y＝x2﹣2x﹣5＝(x﹣1)2﹣6，
所以抛物线的顶点坐标是：(1，﹣6)，
故答案为(1，﹣6)．
14. 如图，交警统计了某个时段在一个路口来往车辆的车速(单位：千米/时)情况，则该时段内来往车辆的平均速度是____千米/时．
【答案】60
【解析】这些车的平均速度是：(40×2+50×3+60×4+70×5+80×1)÷15＝60(千米/时)，
故答案为60．
15. 如图，⊙O的半径是3，点A、B、C在⊙O上，若∠ACB＝40°，则弧AB的长为____．
【答案】
【解析】连结OA、OB，如图，
∵∠ACB＝40°，
∴∠AOB＝80°，
∵⊙O的半径是3，
∴的长＝=，
故答案为．
16. 半径相等的圆内接正三角形与正方形的边长之比为____．
【答案】：
【解析】设圆的半径为R，
如图1，连接OB，过O作OD⊥BC于D，则∠OBC=30°，BD=OB•cs30°=R，
故BC=2BD=R；
如图2，
连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，
则△OBE是等腰直角三角形，
2BE 2 =OB 2 ，即BE=R，
故BC=R，
则半径相等的圆内接正三角形与正方形的边长之比为3：2，
故答案为3：2．
17. 如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC＝65°，则∠ACD＝_____°．
【答案】40
【解析】∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝115°，∠BAC＝90°﹣∠ABC＝25°，
∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，
∴∠MCA＝∠ABC＝65°，∠AMC＝90°，
∵∠ADC＝∠AMC+∠DCM，
∴∠DCM＝∠ADC﹣∠AMC＝25°，
∴∠ACD＝∠MCA﹣∠DCM＝65°﹣25°＝40°，
故答案为40．
18. 记抛物线C1：y＝(x﹣2)2+3的顶点为A，抛物线C2：y＝ax2+1(a＜0)顶点是点B，且与x轴的正半轴交于点 C．当△ABC是直角三角形时，抛物线C2的解析式为_____．
【答案】y＝﹣x2+1或y＝﹣x2+1
【解析】由抛物线C1：y＝(x﹣2)2+3的顶点为A，抛物线C2：y＝ax2+1(a＜0)顶点是点B，可知：A(2，3)、B(0，1)，
∴AB2＝(2﹣0)2+(3﹣1)2＝8．
设点C坐标为(c，0)，
∴AC2＝(2﹣c)2+32＝c2﹣4c+13，BC2＝c2+1．
∵△ABC是直角三角形，
则：①当∠ABC＝90°时，AC2＝BC2+AB2，
即c2﹣4c+13＝(c2+1)+8，解得：c＝1
∴C1(1，0)，
将点C1坐标代入y＝ax2+1得：a+1＝0；解得：a＝﹣1，
∴抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+1，
②当∠BAC＝90°时，BC2＝AC2+AB2，
即c2+1＝(c2﹣4c+13)+8，解得：c＝5，
∴C2(5，0)，
将点C2坐标代入y＝ax2+1得：25a+1＝0，解得：a＝﹣，
∴抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+1，
综上，当△ABC为直角三角形时，抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+1或y＝﹣x2+1．
故答案是：y＝﹣x2+1或y＝﹣x2+1．
三、解答题（本大题共10小题，共84分；请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. (1)计算：；
(2)解方程：x2﹣4x+1＝0．
解：(1)原式＝22﹣2+1＝2+1；
(2)x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝﹣1+4，即(x﹣2)2＝3．
∴x﹣2＝±3，
∴x1＝2+3，x2＝2﹣3．
20. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，点A、B、C都是格点(每个小方格的顶点叫格点)，其中A(5，6)，B(3，6)，C(2，7)．
(1)已知△ABC与△DEF(点D、E、F都是格点)成位似图形，则位似中心M的坐标是_____；
(2)△ABC外接圆半径是_____；
(3)请在网格图中画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△DEF，且相似比为1：2．
解：(1)位似中心M的坐标为(3，10)．

(2)△ABC的外接圆的半径为CN＝．
(3)△A1B1C1如图所示．
21. 近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示：
根据以上信息，整理分析数据如下：
（1）完成表格填空：①__________②__________③__________
（2）若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由．
解：（1）①美团平均月收入为：7×20%+8×10%+4×10%+5×20%+6×（1-20%-10%-10%-20%）=千元；
②滴滴中位数为4.5千元；
③方差为：=千元；
故答案为：6;4.5;7.6；
（2）选美团，因为平均数一样，中位数、众数美团大于滴滴，且美团方差小，更稳定．
22. 甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛．他们通过摸球的方式决定首场比赛的两个选手：在一个不透明的口袋中放入两个红球和一个白球，这些球除颜色外其他都相同，将它们搅匀，三人从中各摸出一个球，摸到红球的两人即为首场比赛选手．求甲、丙两人成为比赛选手的概率．(请用画树状图或列表等方法写出分析过程并给出结果．)
解：画树状图为：
由树状图知，共有6种等可能结果数，其中甲、丙两人成为比赛选手的结果有2种，
所以甲、丙两人成为比赛选手的概率为＝．
23. 如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，∠ABE＝∠ACB．
(1)求证：△ABE∽△ACB；
(2)如果AB＝6，AE＝4，求CD的长．
解：(1)∵∠ABE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ABE∽△ACB；
(2)∵△ABE∽△ACB，
∴，即，解得AC＝9．
∴CE＝9﹣AE＝5．
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴，即，解得CD＝．
24. 如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AD＝DB，AC与BD交于点E，且AE＝BC．
(1)求证：AB＝CB；
(2)如图2，△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，点A经过的路径为弧AF，若AC＝4，求图中阴影部分的面积．
解：(1)∵AD＝BD，∠DAE＝∠DBC，AE＝BC，
∴△ADE≌△BDC(SAS)，
∴∠ADE＝∠BDC，∴，∴AB＝BC．
(2) S阴＝S扇形CAF+S△CFG﹣S△ABC＝S扇形CAF＝＝．
25. 已知在四边形ABCD中，P是CD边上一点，且△ADP∽△PCB．分别在图①和图②中用直尺和圆规作出所有满足条件的点P．(保留作图痕迹，不写作法)
(1)如图①，四边形ABCD是矩形；
(2)如图②，在四边形ABCD中，∠D＝∠C＝45°．
解：(1)如图①中，点P，点P′即为所求．
(2)如图②点P，点P′即为所求．
26. 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案
方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由
解：（1）由题意得，销售量，
则
；
（2）．
，
函数图象开口向下，有最大值，
当时，，
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；
（3）方案利润高．理由如下：
方案中：，
故当时，有最大值，
此时；
方案中：，
故的取值范围为：，
函数，对称轴为直线，
当时，有最大值，
此时，
，
方案利润更高．
27. 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，动点P从点D出发，沿DA的方向运动到点A，每秒1个单位，同时点Q从点B出发，沿BD的方向运动到点D，每秒5个单位．当某一个点到达终点时，整个运动就停止．设运动时间为t(秒)．
(1)填空：当t＝_____时，PQ∥AB；
(2)设△PCQ的面积为S，求S关于t的函数表达式；
(3)当直线CQ与以点P为圆心，PQ为半径的圆相切时，求t的值．
解：(1)如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，
∠A＝90°，
在Rt△ABD中，BD＝＝10，
当PQ∥AB时，
△DPQ∽△DAB，
∴，
即，
∴t＝，
故填：；
(2)如图2，过点Q作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N，
则MN∥AB，
当P.Q.C共线时，即有 ，解得：
①当时
∵△DMQ∽△DAB，
∴＝＝，
＝＝，
∴MQ＝6﹣3t，MD＝NC＝8﹣4t，
∴NQ＝3t，MP＝MD﹣PD＝8﹣5t，
∴S△PQC＝S梯形MNCP﹣S△PMQ﹣S△QNC，
＝(8﹣5t+8﹣4t)×6﹣(8﹣5t)(6﹣3t)﹣(8﹣4t)•3t
＝﹣32t2﹣12t+24，
∴S关于t的函数表达式为：S＝﹣32t2﹣12t+24；
②当时，

，

(3)如图3，当直线CQ与以点P为圆心，PQ为半径的圆相切时，
PQ⊥CQ，
由(2)知，∠QMP＝90°，∠QNC＝90°，
MQ＝6﹣3t，MD＝NC＝8﹣4t，
NQ＝3t，MP＝MD﹣PD＝8﹣5t，
∴在Rt△MPQ中，
PQ2＝MP2+MQ2＝(8﹣5t)2+(6﹣3t)2，
在Rt△QCN中，
QC2＝QN2+NC2＝(3t)2+(8﹣4t)2，
在Rt△PDC中，
PC2＝PD2+DC2＝t2+62，
在Rt△PQC中，
PQ2+CQ2＝PC2，
∴(8﹣5t)2+(6﹣3t)2+(3t)2+(8﹣4t)2＝t2+62，
解得：t1＝，t2＝2，
∴当直线CQ与以点P为圆心，PQ为半径的圆相切时，t的值为或2．
28. 如图，直线分别与轴、轴交于，两点，二次函数的图像经过点，与直线相交于点，且．
（1）求点的坐标和二次函数表达式．
（2）过点的直线交轴于点．
①当与轴的夹角等于时，请直接写出点的坐标；
②当时，过抛物线上一动点（不与点，重合），作的平行线交直线于点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标．
解：（1）∵直线分别与轴、轴交于，两点，
当时，，解得：，
∴点的坐标为，，
当时，，
∴点的坐标为，，
过点作直线轴，过点作轴，交直线于点，如图1所示，
∵轴，轴，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴点的横坐标为，
∵点直线上，
∴当时，，
∴点的坐标为，
∵点，在二次函数的图像上，
∴，解得：，
∴二次函数表达式为 ．
（２）①分点在轴负半轴和点在轴正半轴两种情况考虑，如图2所示．
（ⅰ）当点在轴负半轴时，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
在中， ，，，
∵，
∴，
解得：，
∴点的坐标为；
（ⅱ）当点在轴正半轴时，
∵，
由(ⅰ)可知：，
∴，
∴
∵轴，
∴，
∴点的坐标为．
综上所述，当与轴的夹角等于时，点的坐标为或．
②∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴点的坐标为，
设点的坐标为，
分两种情况考虑，如图所示，
（ⅰ）当点在直线下方时，
∵点的坐标为，点的坐标为，且四边形为平行四边形，
∴，，
∵点向左平移个单位，再向上平移个单位得到点，
∴点的对应点点的坐标为，
又∵点在直线上，
∴，
整理，得：，
解得：，；
（ⅱ）当点直线上方时，
∵点的坐标为，点的坐标为，且四边形为平行四边形，
∴，，
∵点向右平移个单位，再向下平移个单位得到点，
∴点的对应点点的坐标为，
又∵点在直线上，
∴，
整理，得：，
∵，
∴该方程无实数根，
∴该种情况不存在，
综上所述：当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，点的横坐标为 或．
平均数
中位数
众数
方差
8.5
8.3
8.1
0.15
平均月收/千元
中位数/千元
众数/千元
方差/千元
“美团”
①
6
6
1.2
“滴滴”
6
②
4
③