河北省正定县2025-2026学年高一上学期数学期末试题（试卷+解析）

这是一份河北省正定县2025-2026学年高一上学期数学期末试题（试卷+解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，集合，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知命题，，命题，则（ ）
A. 和都是真命题B. 和都是真命题
C. 和都真命题D. 和都是真命题
4. 已知函数，则的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
5. 若，则（ ）
A. 2B. C. D.
6. 甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，扇形面积分别为和，周长分别为和.若，则（ ）
A B. C. D.
7. 某生物实验室需制备无血清培养液，要求成品中杂质含量不超过．现有一批培养液，初始杂质含量为．已知每通过超滤膜过滤一次，杂质含量可减少至过滤前的．要使该批培养液达到实验要求，则至少需要过滤的次数为（记，）（）
A 5B. 6C. 7D. 8
8. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D. 1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 平面直角坐标系中，若角终边经过点，且，则下列各式的值一定大于0的是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知且，则 （ ）
A. 的最大值为
B. 的最小值为10
C. 的最小值为3
D. 的最小值为
11. 设函数 ，若有四个零点，则（ ）
A. 的最小值为-2B.
C. D. m的取值范围是（0，2）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若幂函数的定义域为，则___________．
13. 已知函数在上是单调函数，则的取值范围是__________．
14. 若与图象的相邻3个公共点自左向右依次为，且，则的值为___________________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 化简求值：
（1）
（2）
16. 已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围.
17. 已知函数.
（1）求的解析式；
（2）若恒成立，求m的取值范围；
（3）证明：在上单调递增.
18. 已知函数的最小正周期为，且在时取得最大值6．
（1）求解析式；
（2）求的单调递增区间；
（3）已知函数，，恒成立，求的取值范围．
19. 若存在，使得函数对其定义域内的任意，，当时，恒成立，则称为“积轴函数”，为轴积系数.
（1）证明：为“2积轴函数”.
（2）已知函数.
（i）试问是否为“积轴函数”？若是，求出轴积系数的值；若不是，请说明理由.
（ii）若函数有唯一零点，求正数的取值范围.
数 学 试 题
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的.
1. 已知集合，集合，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】解不等式得到，结合，利用交集概念求出答案.
【详解】，解得，
由题可知，，所以.
故选：B
2. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得，解出即可求解.
【详解】由题意得，
所以，
故选：A.
3. 已知命题，，命题，则（ ）
A. 和都是真命题B. 和都是真命题
C. 和都是真命题D. 和都是真命题
【答案】C
【解析】
【分析】先分别判断命题 和 的真假，再根据逻辑关系判断其否定命题的真假，从而得出正确选项.
【详解】对于而言，要使得，即，
则存在，满足，故是真命题，是假命题；
对于而言，取，此时，故是假命题，是真命题，
综上，和都是真命题.
故选：C.
4. 已知函数，则的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据零点存在性定理逐项判断.
【详解】因为在上是连续的增函数，
对于A：时，，，不满足零点存在性定理，A错误；
对于B：，，不满足零点存在性定理，B错误；
对于C：因为，，
根据零点存在性定理，，，C正确；
对于D：，，不满足零点存在性定理，D错误；
故选：C.
5. 若，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式化简，然后弦化切即可求解.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：A
6. 甲、乙两个扇形半径相等，圆心角之和为3弧度，扇形面积分别为和，周长分别为和.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，，求出圆心角，，再用半径和圆心角表示，计算即可.
【详解】甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，
设甲、乙两个扇形的半径均为，圆心角分别为，，弧长分别为，.
，
又，
联立，
解得：，，
，，
.
故选：B
7. 某生物实验室需制备无血清培养液，要求成品中杂质含量不超过．现有一批培养液，初始杂质含量为．已知每通过超滤膜过滤一次，杂质含量可减少至过滤前的．要使该批培养液达到实验要求，则至少需要过滤的次数为（记，）（）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
分析】依题意列出不等式，再由对数运算法则计算，解不等式可得结果.
【详解】设过滤次后杂质含量为，
初始杂质含量为，每次过滤后杂质含量变为过滤前的，
，要求，
列不等式：变形得：
两边取对数：
，
，
代入不等式：，化简得：为整数，故.
故选：B
8. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】由，得，计算即可.
【详解】，
，
，
，
，，，，
.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 平面直角坐标系中，若角的终边经过点，且，则下列各式的值一定大于0的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用三角函数定义计算判断即得.
【详解】由三角函数的定义得，，，
，
由，得.
故选：BD
10. 已知且，则 （ ）
A. 的最大值为
B. 的最小值为10
C. 的最小值为3
D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】AD选项，直接使用基本不等式进行求解，得到A正确；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；C选项，变形得到，由基本不等式求出答案；
【详解】对于A，因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，即的最大值为，故A正确；
对于B，，
当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为9，故B错误；
对于C，因为且，
故，
当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
对于D，，
当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为，故D正确.
故选：ACD
11. 设函数 ，若有四个零点，则（ ）
A. 的最小值为-2B.
C. D. m的取值范围是（0，2）
【答案】AC
【解析】
【分析】做出函数的图象，数形结合，可判断各选项是否正确.
【详解】由，得，作出的大致图象，如图所示，

结合函数图象，可得：
当时，方程只有1解；
当或时，方程只有2解；
当时，方程只有3解；
当时，方程只有4解，
所以有四个零点，则，故D错误，
若有四个零点，由图可知：
当时，，，，
，，
当时，，的最小值为，故A正确；
当时，，，，故B错误；
，，故C正确.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若幂函数的定义域为，则___________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据幂函数的性质求解即可.
【详解】因为函数是幂函数，
则有，解得或，
又因为函数定义域为，指数，解得，
综上可得：
故答案为：1
13. 已知函数在上是单调函数，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据单调性性质可知在内单调递减，结合题意可知函数在上是单调递减，结合分段函数单调性列式求解即可.
【详解】因为在定义域内单调递减，且在内单调递增，
可知在内单调递减，
又因为在定义域内单调递增，且在内单调递增，
可知在内单调递增，
可知在内单调递减，
由题意可知：函数在上是单调递减，
则，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
14. 若与图象的相邻3个公共点自左向右依次为，且，则的值为___________________.
【答案】
【解析】
【分析】求出的最小正周期为，结合函数的图象，分析的值，根据的对称性，求出点的横坐标，从而求得其纵坐标，即的值.
【详解】的最小正周期为，作出函数的大致图象，
易知，故.
令，，解得.
点关于直线对称，所以点的横坐标为，，
所以.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 化简求值：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数幂和根式的运算法则得到答案；
（2）利用对数运算法则得到答案.
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式
16. 已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出两个集合，借助数轴求解即可.
（2）分，两种情况讨论即可.
【小问1详解】
当时，，所以，
又，所以.
【小问2详解】
当，即时，，此时，符合题意；
当时，，，，
因为，所以或，解得或.
综上，取值范围为.
17. 已知函数.
（1）求的解析式；
（2）若恒成立，求m的取值范围；
（3）证明：在上单调递增.
【答案】（1）
（2）
（3）详见解析.
【解析】
【分析】（1）利用换元法令，得到，代入 求解；
（2）根据恒成立，由求解；
（3）利用函数的单调性定义证明.
【小问1详解】
令，则 ，
因为 ，代入得：
，则 ；
【小问2详解】
因为恒成立，所以，
由（1）知：，
当且仅当，即，即时，等号成立，
所以，即，
因为在R上是增函数，所以，即；
【小问3详解】
任取，且，
则，
，
，
，
因为为上的增函数，且，
所以，即，
又因为，所以，则，
所以，则，
所以，即，
所以在上单调递增.
18. 已知函数的最小正周期为，且在时取得最大值6．
（1）求的解析式；
（2）求的单调递增区间；
（3）已知函数，，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的性质得，，再结合参数范围即可求得答案；
（2）直接解不等式即可得答案；
（3）根据题意将问题转化为，再结合三角函数的性质求对应函数的在对应区间上的最值即可求得答案.
【小问1详解】
解：因为函数的最小正周期为，所以，解得，
因为在时取得最大值6，，
所以，解得
因为，所以，
所以的解析式为
【小问2详解】
解：因为正弦函数的单调递增区间为，
故令，解得，
所以的单调递增区间为
【小问3详解】
解：因为，恒成立，
所以，
当，，，即，
所以，即，
另一方面，
令，当时，，
则函数，，
由于函数的对称轴为，
所以，当时，，此时等价于，解得，故；
当时，，此时等价于，解得，故；
当时，，此时等价于，解得，故；
综上，的取值范围
19. 若存在，使得函数对其定义域内的任意，，当时，恒成立，则称为“积轴函数”，为轴积系数.
（1）证明：为“2积轴函数”.
（2）已知函数.
（i）试问是否为“积轴函数”？若是，求出轴积系数的值；若不是，请说明理由.
（ii）若函数有唯一零点，求正数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）为“4积轴函数”; ，（ii）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数和“积轴函数”的概念进行证明.
（2）先判断函数是否为“积轴函数”，并确定其轴积系数的值说明理由；已知由函数构造的函数有唯一零点，求出正数的取值范围.
【小问1详解】
函数的定义域为，
当时，有，
则，
所以函数为积轴函数.
小问2详解】
（i）因为，进一步化简可得：
，
设函数为“积轴函数”，则
当，，且时，有，
则，
，
，
，
，
又因为，恒成立，
所以，求得，
所以函数为“4积轴函数”.
（ii）由（i）可知，函数为“4积轴函数”，
函数有唯一零点，
即有唯一解，
因为函数为“4积轴函数”，所以，
对任意，，又因为，则，
所以恒成立，该情况无解，
所以原方程的解等价于有唯一解，
对上式进一步化简可得：，
当时，方程化为，解得,符合唯一解，
当时，判别式，有两个不相等的实根，
所以，两根之积为,
若,则，乘积为负，两根一正一负，仅有正根在定义域内，符合唯一零点，
当时，则，乘积为正，两根同号，
又因为两根之和为，所以两根均为正，
即方程有两个正根，对应两个零点，不符合唯一零点要求,
综上所述可得的取值范围是.