2022-2023学年河北省定州市高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年河北省定州市高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．下列说法中正确的是（    ）

①某高级中学高一年级所有高个子男生能组成一个集合

②

③不等式的解集为

④在平面直角坐标系中，第二、四象限内的点构成的集合可表示为

A．①② B．②④ C．②③④ D．①③④

【答案】B

【分析】结合集合的定义即可判断①、②；通过解一元二次不等式即可判断③；对二、四象限的点进行分析即可判断④.

【详解】对于①，“高个子男生”无法作为元素被确定，因此不能组成一个集合，故①不正确；

对于②，由，即，即恒成立，故②正确；

对于③，不等式的解集应为或，故③不正确；

对于④，平面直角坐标系中，第二、四象限内的点横坐标与纵坐标异号，所以第二、四象限内的点构成的集合可表示为，故④正确.

故选：B.

2．设，集合，集合，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】结合图，得出阴影部分表示的集合，再根据集合中元素个数确定其真子集个数即可.

【详解】图中阴影部分表示的集合是由属于集合，但不属于集合的元素组成，

则阴影部分表示的集合为：，所以其真子集个数为：.

故选：C.

3．已知幂函数的图象经过点，则（    ）

A．3 B． C．9 D．

【答案】B

【分析】根据题意设幂函数，求出的值，写出函数解析式，再计算的值．

【详解】设幂函数的图象经过点，

则，

，

，

．

故选：B．

4．下列选项中能表示同一个函数的是（    ）

A．与

B．与

C．与

D．与

【答案】C

【分析】比较两个函数的定义域和对应法则，结合选项可得答案.

【详解】对于A，的定义域为，而的定义域为，所以不是同一个函数；

对于B，的定义域为，而的定义域为，所以不是同一个函数；

对于C，因为，所以，是同一个函数；

对于D，的定义域为，而的定义域为，所以不是同一个函数；

故选：C.

5．若函数满足，且，，那么（    ）

A．18 B．12 C．11 D．7

【答案】B

【分析】根据逐步分解可得答案.

【详解】因为，所以，

因为，，所以.

故选：B.

6．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】函数的定义域为全体实数，说明分母不为零，对讨论，结合二次方程的知识可求答案.

【详解】因为函数的定义域为，所以，

当时，显然符合题意；

当时，，即，

综上可得实数的取值范围是.

故选：B.

7．若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分、两种情况，分别根据函数的单调性、奇偶性求解不等式可得答案．

【详解】因为定义在上的偶函数在区间上单调递增，且.

当时，由可得，即，

所以，，解得，此时；

当时，由可得，即，

所以，，解得或，此时.

综上所述，满足不等式的的取值范围是.

故选：D.

8．已知，，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据条件得，代入式子化简，结合基本不等式即可求得最小值.

【详解】因为，所以

即

，当且仅当，即时，等号成立.

所以

故选:D.

二、多选题

9．已知，则下列不等式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据不等式的性质直接判断ABD，利用均值不等式及不等式性质判断C，即可得解.

【详解】因为，所以，所以，即成立， 故A正确；

因为，则，，故成立，故B正确；

因为，则（等号不成立），即，两边同乘以，所以，故C正确；

因为，两边同乘以，可得，故D错误.

故选：ABC

10．下列选项中说法错误的是（    ）

A．若函数的定义域为，则函数的定义域为

B．函数的单调递增区间是

C．设，，则“”是“”的充要条件

D．函数的最小值为

【答案】BCD

【分析】根据抽象函数定义域的求法判断A，由特殊值法判断BC，根据均值不等式成立的条件判断D.

【详解】因为函数的定义域为，所以，所以由解得，即函数的定义域为，故A正确；

取时， ，故在上不是增函数，故B错误；

当时，由推不出，所以“”不是“”的充要条件，故C错误；

因为，当且仅当时等号成立，显然取不到等号，故不是最小值，故 D错误.

故选：BCD

11．一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（    ）

A．若为的跟随区间，则

B．函数不存在跟随区间

C．是函数的一个跟随区间

D．二次函数存在“倍跟随区间”

【答案】BCD

【分析】A选项中，由二次函数单调性可知值域为，由跟随区间定义可构造方程求得，知A错误；B选项中，假设存在跟随区间，由单调性可知为的两根，根据方程无解可知B正确；C选项中，根据在上的值域为可知C正确；D选项中，在时，根据单调性可知是方程的两根，解方程求得，知D正确.

【详解】对于A，在上单调递增，的值域为，

，解得：（舍）或，A错误；

对于B，在，上单调递增，

若存在跟随区间，则，即为方程的两根，

即，无解，不存在跟随区间，B正确；

对于C，，

当时，；又，，，

在上的值域为，即是的一个跟随区间，C正确；

对于D，若存在“倍跟随区间”，则其值域为；

当时，在上单调递增，，

则是方程的两根，解得：或，即，，

是的一个“倍跟随区间”，D正确.

故选：BCD.

12．已知正实数，满足，则下列结论中正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，则

【答案】BC

【分析】将，的相应值代入，结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可.

【详解】对于A，，，则，，，

，即，当且仅当时，等号成立，故A错误；

对于B，由题意，，，，

，即，当且仅当时，等号成立，故B正确；

对于C，，，由题意，，即，，，

，

当且仅当，即，时等号成立，故C正确；

对于D，，时，，，，

，即，

即，故D错误.

故选：BC.

三、填空题

13．已知命题，使得，则为_______

【答案】，.

【分析】存在量词命题（特称命题）的否定，改为，对结论否定.

【详解】由题意，，使得，

则，.

故答案为：，.

14．若集合，，则________

【答案】或

【分析】先解两个集合中的不等式，再利用集合基本运算求解.

【详解】或，或

，

或.

故答案为：或.

15．符号表示不超过的最大整数，如，，关于函数有下列结论：

①；

②函数的定义域为，值域为

③，；

④函数是增函数也是奇函数.

其中正确结论的序号是_______________.

【答案】①③

【分析】根据函数解析式及的定义求判断①，根据的定义求函数定义域、值域判断②，根据的定义知，据此可判断③，取特殊值判断④.

【详解】，①正确；

，，即定义域为，由符号表示不超过的最大整数，可知

，即值域为，②错误；

，③正确；

取，则，故不是增函数，

取，则，，即，所以函数不是奇函数，④错误.

故答案为：①③

四、解答题

16．设函数的定义域为集合，集合 ．

(1)求函数的定义域；

(2)若：，：，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）只要二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组可求得答案；

（2）由题意可得，然后分和两种情况求解即可.

【详解】（1）要使得函数有意义，只需要

解得，

所以集合

（2）因为是的必要不充分条件，所以，

当时，，且，解得 ，

当时，且，解得，      

综上可知，实数的取值范围是.

17．已知函数，点，是图象上的两点.

(1)求函数的解析式；

(2)判断函数在上的单调性，并说明理由；

(3)定义：区间的长度为，问是否存在区间，使得时，的值域为，若存在，求出此区间长度的最大值.

【答案】(1)；

(2)在上单调递增，理由见解析；

(3)3.

【分析】（1）代入两点坐标，求出即可得解；

（2）根据单调性的定义证明即可；

（3）根据函数单调性求出的最小值6，再求出，即可得解.

【详解】（1）因为点，是图象上的两点，

所以，解得，

则函数的解析式为.

（2），，且，

则

，

因为，，且，

所以，，，

则，

即，

所以函数在上单调递增.

（3）存在，证明如下：

由（2）易得在单调递减，在上单调递增，

且，，

因为在区间上，的值域为，

所以.

18．已知正实数，满足.求

(1)的最小值；

(2)的最小值；

(3)的最小值.

【答案】(1)；

(2)25；

(3).

【分析】（1）根据得出然后展开，利用均值不等式求解即可；

（2）转化为，然后利用基本不等式即可得出结果；

（3）根据，利用，由基本不等式即可得出结果.

【详解】（1）因为，是正数，，

所以，

因为，，

所以，

当且仅当，时等号成立，

故的最小值为；

（2）由可得，即，

所以，，

又，因为，，

所以

当且仅当，时等号成立，故的最小值为．

（3）由可得，所以，

所以，，

所以

当且仅当，时等号成立，

故的最小值为.

19．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；

(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．

【答案】（1）0；（2）见解析；（3）

【详解】试题分析：（1）抽象函数求具体指，用赋值法；（2）根据定义求证函数的奇偶性找f(－x)和f(x)的关系；（3）先利用f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2得到f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16).再根据单调性列出不等式求解即可.

(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，

∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.

(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.

令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．

(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，

由(2)知，f(x)是偶函数，∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x－1|<16，解之得－15<x<17且x≠1.

∴x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}．

20．已知某电子公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元，设该公司一年内共生产该款手机万部并全部销售完，每万部的销售收人为万美元，且

(1)写出年利润（万美元）关于年产量（万部）的函数解析式（利润=销售收入成本）；

(2)当年产量为多少万部时，该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.

【答案】(1)

(2)年产量为32万部时，利润最大，最大利润为6104万美元

【分析】（1）分段分别求出利润与的函数解析式，再写出分段函数的形式即可；

（2）当时，利用二次函数性质求的最大值，当时，利用基本不等式求出的最大值，再比较两者大小，即可得到的最大值.

【详解】（1）当时，，

当时，，

∴．

（2）①当时，，

∴当时，，

②当时，

，

当且仅当，即时，等号成立，

即当时，，

综上所述，当时，取得最大值为6104万美元，

即当年产量为32万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万美元．

21．已知函数.

(1)若在上是单调函数，求实数的取值范围；

(2)解关于的不等式.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）分为一次函数和二次函数两种情况讨论求解；

（2）分类讨论，从开口方向和根的大小进行分类，结合二次不等式的求解方法进行求解.

【详解】（1）当，即时，，在上是单调递增函数，符合题意；

当，即时，二次函数对称轴为，

要想函数在上是单调函数，只需①，或②，

解①得：或，

解②得：，

所以，

综上：实数的取值范围是.

（2）不等式，

变形为，，

当时，，解得：，

当时，的两根为和，

当时，，此时，解得：，

当时，原不等式即，解得：，

当时，，此时，解得：，

当时，，此时，解得：或.

综上所述：

当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.

五、双空题

22．对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较大的数，如，因此______；若，则x=______.

【答案】          0或1

【分析】由符号表示p，q两数中较大的数求解.

【详解】解：因为符号表示p，q两数中较大的数，

所以；

则，

当时，，

解得或（舍去）；

当时，，

解得或（舍去），

所以或，

故答案为：，0或1