初中数学2 等腰三角形习题ppt课件

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 　等腰三角形的性质定理
1.(2025广东佛山三中期中)若等腰三角形的一个内角是120°,则它的另外两个内角的度数分别是 ( )A.60°和30°　　　     B.30°和30°C.120°和120°　　　    D.120°和30°
解析　∵等腰三角形的一个内角是120°,∴120°角为等腰三角形的顶角,∴底角的度数为(180°-120°)÷2=60°÷2=30°,∴它的另外两个内角的度数分别是30°,30°.故选B.
2.(2025辽宁沈阳期中)如图,AD,CE分别是△ABC的中线和高线.若AB=AC,∠ACE=34°,则∠BAD的度数为 ( ) A.34°　　    B.56°　　    C.29°　　    D.28°
解析　∵CE是△ABC的高线,∴∠AEC=90°,∵∠ACE=34°,∴∠CAE=90°-34°=56°,∵AB=AC,AD是△ABC的中线,∴∠BAD= ∠BAC=28°.故选D.
3.【新考向·数学文化】(2025辽宁沈阳期中)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意角,这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O点转动,C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若∠O=25°,则∠ODE的度数是____________.   
    105°    
解析　由题意可知∠ODC=∠O=25°,∠DCE=∠DEC,∴∠DEC=∠DCE=∠O+∠ODC=50°,∴∠ODE=180°-∠O-∠OED=105°.
4. 【学科特色·易错题】(2025安徽池州青阳期末)等腰三角形的一个外角的度数是110°,则它的顶角的度数是__________.
    70°或40°
解析　∵等腰三角形的一个外角的度数是110°,∴与这个外角相邻的内角的度数是180°-110°=70°,①当70°角是顶角时,它的顶角度数是70°.②当70°角是底角时,它的顶角度数是180°-70°×2=40°.综上所述,它的顶角度数是70°或40°.
易错警示　本题中的外角,可能是等腰三角形顶角的邻补角,也可能是底角的邻补角.为了避免漏解,应分两种情况讨论求解.
5.(2025河南南阳方城期末)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=36°,点D在线段BC上运动(点D不与点B,C重合),连接AD,作∠ADE=36°,DE交线段AC于点E,在点D的运动过程中,若△ADE是等腰三角形,则∠BDA的度数为______________.
　 108°或72°    
解析　∵AB=AC,∴∠B=∠C=36°.①当AD=AE时,∠ADE=∠AED=36°,∵∠AED>∠C,∴此情况不存在.②当DA=DE时,∠DAE=∠DEA= ×(180°-36°)=72°,∵∠BAC=180°-36°-36°=108°,∴∠BAD=108°-72°=36°,∴∠BDA=180°-36°-36°=108°.③当EA=ED时,∠ADE=∠DAE=36°,
∵∠BAC=180°-36°-36°=108°,∴∠BAD=108°-36°=72°,∴∠BDA=180°-72°-36°=72°.综上,当△ADE是等腰三角形时,∠BDA的度数是108°或72°.
6.(2025甘肃兰州榆中期中)如图,在△ABC中,AB=AC,D,E是BC边上两点,AD=AE.求证:BE=CD. 
证明　如图,过A点作AP⊥BC于点P,∵AB=AC,AP⊥BC,∴BP=CP,同理,DP=EP,∴BP+EP=CP+DP,即BE=CD. 
方法技巧　利用等腰三角形“三线合一”的性质解题,有时需要添加辅助线,如作底边上的高(或底边上的中线或顶角平分线).
 　等边三角形的性质定理
7.(2025浙江嘉兴期末)如图,在等边△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,AD,BE交于点F,则∠AFE的度数是 ( ) A.60°　　    B.50°　　    C.40°　　    D.30°
解析　∵△ABC是等边三角形,BE⊥AC,∴∠BAC=60°,∠AEF=90°,AB=AC,∵AD⊥BC,∴∠CAD= ∠BAC= ×60°=30°,∴∠AFE=90°-∠CAD=90°-30°=60°.故选A.
8.(2025云南昆明期中)如图,点P在边长为2的等边三角形ABC的边AC上移动,则BP长度的最小值是_______. 
解析　如图,过点B作BD⊥AC,交AC于点D,∵△ABC为等边三角形,∴AB=BC=AC=2,∵BD⊥AC,∴DC= AC=1.在Rt△DBC中,BD= = = ,∴当点P与点D重合时,BP的长度取得最小值,为 .故答案为 .
9.【跨化学·漏斗】(2025江西南昌心远中学模拟,★★☆)图①是实验室利用过滤法除杂的装置图,图②是其简化示意图,在图②中,AB∥CD,AC∥OD,OD=OC,∠BAC=50°,则∠DOC的度数为 ( )A.50°　　　    B.60°
C.70°　　　    D.80°
解析　∵AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC=50°,∵AC∥OD,∴∠ODC=∠ACD=50°,∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD=50°,∴∠DOC=180°-50°-50°=80°.故选D.
10. (2025广东广州花都期末,★★☆)如图,等腰三角形纸片ABC中,AB=AC,AH⊥BC于点H.小花放入一张等边三角形纸片BDE,点E在BC上,点F为AH与DE的交点,小都放一张等边三角形纸片EFG,点G在BC上.小花和小都量得EF=5,CE=3,那么等腰三角形纸片ABC的底边BC的长为 ( )
A.8　　　    B.10 C.11　　　    D.13
解析　∵AB=AC,△EFG是等边三角形,AH⊥BC,∴BH=CH,GH=EH,GE=FE=5,∴BH-GH=CH-EH,∴BG=CE=3,∴BC=BG+GE+CE=3+5+3=11.故选C.
11. (2025四川成都西川实验学校期中,★★☆)如图,在△ABA1中,∠B=n°,AB=A1B,在A1B上取一点C,延长AA1到点A2,使得A1A2=A1C,在A2C上取一点D,延长A1A2到点A3,使得A2A3=A2D,……,按此作法进行下去,以点A2 027为顶角顶点的等腰三角形的底角的度数为_________________.(用含n的式子表示)
解析　∵∠B=n°,AB=A1B,∴∠BA1A= (180-n)°,∵CA1=A1A2,∴∠A1A2C=∠A1CA2,∵∠A1A2C+∠A1CA2=∠BA1A,∴∠A1A2C= ∠BA1A= (180-n)°,同理,∠A2A3D= (180-n)°,……,∴以点A2 027为顶角顶点的等腰三角形的底角的度数为 (180-n)°.
12.【学科特色·手拉手模型】(2025广西柳州模拟,★★☆)如图,△DAC和△EBC均是等边三角形,AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,有如下结论:①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN;④∠DAE=∠DBC.其中正确的有________(填序号). 
解析　∵△DAC和△EBC均是等边三角形,∴AC=DC,BC=CE,∠ACD=∠BCE=60°,∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,∴∠ACE=∠BCD,∴△ACE≌△DCB,故①正确.∵∠ACD=∠BCE=60°,∴∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=60°,∵△ACE≌△DCB,∴∠AEC=∠CBD,又CE=BC,∠ECM=∠BCN=60°,∴△ECM≌△BCN,∴CM=CN,故②正确.
∵△ADC是等边三角形,∴AC=AD,∠ADC=∠ACD,∵∠AMC>∠ADC,∴∠AMC>∠ACD,∴AC>AM,∵△ECM≌△BCN,∴EM=BN,∵△ACE≌△DCB,∴AE=BD,∴AM=DN,∴AC>DN,故③错误.∵∠DBC+∠CDB=∠ACD=60°,∠DAE+∠EAC=∠DAC=60°,∠EAC=∠CDB,∴∠DAE=∠DBC,故④正确.∴正确结论为①②④.
13.(2025河南郑州期中,★★★)如图,等腰直角三角形ABC和等边三角形ADE的顶点A重合(AC>AE,0°