广东省深圳中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷含解析（word版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为集合，，所以.
2. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】圆心角，由弧长，得，所以该扇形的面积为.
3.函数在区间的图象大致为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
4.在中，是的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，所以，可知“”是“”的充分条件.
因为，所以在中，或，此时角不一定是，
可知“”是“”的不必要条件.
综上，“”是“”的充分不必要条件.
5.已知，若恒成立，则实数a的最大值为
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】D
【解析】因为，所以，
当且仅当，时等号成立，即当，时取最小值，
由恒成立，可得，所以实数a的最大值为.
6.已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为
A. B. 0C. D. 1
【答案】C
【解析】由函数，
因为的最小正周期为 ，可得，可得，所以，
又由，可得，
当，即时，函数取得最大值，最大值为.
7.设，，，则a，b，c的大小关系是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
；
；
；
，.
8.如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，
因为在矩形中，，
则，
又点在边上运动（包含端点），
设，则，
，
则，
因为，所以.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知向量，，，在下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一个基底的是
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】AD
【解析】A：假设，则有，显然不成立，故向量，不是共线向量，所以符合题意；
B：，因为，所以，是共线向量，因此不符合题意；
C：，因为，所以，共线向量，因此不符合题意；
D：，，假设是共线向量，则有显然不成立，故向量，不是共线向量，所以符合题意.
10.已知指数函数在上的最大值与最小值之差为2，则实数a的值为
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】当时，函数在上单调递增，则，所以，解得；当时，函数在上单调递减，则，所以，解得．
综上所述，实数a的值为或.
11.已知中，在上，为的角平分线，为中点，下列结论正确的是
A.
B. 的面积为
C.
D. 在的外接圆上，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】三角形中，由余弦定理，
，故，故正确；
在中，由余弦定理得：，
，故正确；
由余弦定理可知：，，
平分，，
，
在三角形中，由正弦定理可得：，
故，故不正确；
，，，，
，
为的外接圆的直径，故的外接圆的半径为1，
显然当取得最大值时，在优弧上．
故，设，则，，
，
，，
，其中，，
当时，取得最大值，故正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知，则________.
【答案】
【解析】由题意有： .
13.若幂函数是奇函数．则_______.
【答案】 1
【解析】若函数为幂函数，则，解得或1，
又因为当时，，
此时，，
且定义域为，关于原点对称，故此时为偶函数，舍去
当，，
此时，定义域为，关于原点对称，
且 ，故此时为奇函数 .
14.在斜中，为锐角，且满足，则的最小值为________.
【答案】
【解析】，
∴
∴，
∴，
∴，
又∵，∴，
∴，
∵为锐角，∴
∴
,
当且仅当，即时等号成立 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知，且为第二象限角.
（1）求，的值；
（2）求的值 .
【解析】(1)因为，且为第二象限角，
所以， .
(2) .
16.已知，求k为何值时：
（1）与共线；
（2）与垂直；
（3）与夹角为钝角.
【解析】(1)由题意得，解得 .
(2)由题意得，解得 .
(3)因为与夹角为钝角，故且与不反向共线，
结合（1）可得且.
17.在中，．
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
【解析】
(1) 在中，因为，
由正弦定理得 .
(2)因为，所以，
由余弦定理得，
解得或（舍），
所以的面积 .
18.已知函数．
（1）将化成的形式，其中A＞0，；
（2）求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标；
（3）将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，得到的图象．若在区间上单调递增，求的取值范围.
【解析】 (1)
.
(2)令，解得：，
函数图象的对称轴方程为，
令，解得：，
函数图象的对称中心坐标为.
(3) 将函数的图象向右移动个单位，
可得的图象；
再将所得图象上各点横坐标变为原来的倍得到的图象，
令，解得：，
所以的单调增区间为，
因为在区间上单调递增，则，
则取，所以，解得： .
19.对于函数，若实数满足，则称是的不动点．
（1）证明：不动点是的不动点；
（2）设，
（i）当时，求与的所有不动点；
（ii）若与均恰有两个不动点，求a的取值范围；
（3）设函数定义域R．若有两个不动点，有四个不动点，证明：不存在函数满足.
【解析】 (1) 实数是函数的不动点，即，
当时，，所以也是函数的不动点.
(2)（i）当时，，
令，解得或，
则，
令，化简得，因式分解得，
当时，解得或，
所以的所有不动点为.
（ii）当恰有两个不动点，即有两个解，化简得，
则，解得，
可知，有两个不动点，即有两个解，
化简得，因式分解得，
因为已经有两个解，所以也只有两个解分为两种情况，
情况一：无解，即，解得，
所以时，有且仅有两个解；
情况二：的解与的解相同，
由可得，则等价于，解得，
此时，解得，
综上所述，当时，与均恰有两个不动点，所以a的取值范围为.
(3)设的不动点为，的不动点为，
所以有，
设，则有，
因为，所以是的不动点，
同理也是的不动点，
因为，所以只能，
假设存在，
由的不动点为，得或，
因为，所以，否则矛盾，
且，否则矛盾，
所以一定有且与均不相等，
所以，所以，即还有另外两个不动点，与题设矛盾，
所以不存在函数满足 .