2024-2025学年广东省深圳中学高一下学期期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省深圳中学高一下学期期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z满足4−3iz=5，其中i为虚数单位，则|z|为( )
A. 35B. 45C. 1D. 2
2.已知向量m=3, 1, n=1, 1，则m⋅m−n=( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
3.已知a=1，b=1，a+b= 3，则a与b的夹角为( )
A. π3B. 2π3C. π6D. 5π6
4.已知a, b, c分别为▵ABC三个内角A, B, C所对的边，若B=60°, b= 3, c= 2，则C=( )
A. 45°B. 135°C. 45°或135°D. 120°
5.若G是▵ABC的重心，且AG=λAB+μAC(λ, μ为实数)，则λ+μ=( )
A. 13B. 23C. 1D. 43
6.在▵ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c，且b=2, B=π3，▵ABC的面积S▵ABC= 3，则a+c=( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
7.在▵ABC中，若BC=2, CA= 7, AB=3，则▵ABC的最大角与最小角之和是( )
A. 90°B. 120°C. 135°D. 150°
8.在△ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c，已知向量m=a, csA2, n=b, csB2, p=c, csC2共线，则△ABC的形状为( )
A. 等边三角形B. 钝角三角形
C. 有一个内角是π6的直角三角形D. 等腰直角三角形
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知z1, z2为复数，则下列说法一定正确的是( )
A. z1和z1在复平面上所对应的点关于实轴对称
B. z12=z12
C. z1+z2=z1+z2
D. 若z1, z2为纯虚数，则z1z2为实数
10.四边形ABCD是边长为1的正方形，M是线段CD上的动点(包括端点C、D)，则( )
A. AM⋅BC=1
B. 当AD+MC=AM时，M为CD中点
C. MA+MB的最小值为 3
D. MA+MB的最大值为 5
11.在▵ABC中，角A, B, C所对的边的长分别为a, b, c.若ccsB=bcsC+a，则下列命题中正确的是( )
A. C=π2
B. 若a=2bsinA，则A=π4
C. 若c=2，▵ABC面积的最大值为1
D. P是▵ABC内部的动点，满足∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3，若|PA|+|PB|=λ|PC|，则实数λ的最小值为2 3+2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若(a+b)2−c2=6，且C=60°，则ab的值为 ．
13.已知向量a=−1, 3, b=1, 3，则a在b方向上的投影向量的坐标为 ．
14.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为 m．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a，b满足a=( 3,−1)，|b|=4．
(1)若向量a，b的夹角为π3，求|3a−b|的值;
(2)若a//b，求向量b的坐标．
16.(本小题15分)
已知▵ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC，
(1)求角A的大小；
(2)设点D为BC上一点，AD是▵ABC的角平分线，且b=3, c=6，求AD的长度．
17.(本小题15分)
如图，在▵ABC中，点P满足PC=2BP，O是线段AP的中点，过点O的直线与线段AB, AC分别交于点E, F．

(1)若AE=23AB，请用向量AB,AC来表示向量AO,EO；
(2)若AE=λAB(0≤λ≤1),AF=μAC(0≤μ≤1)，求2λ+μ的最小值．
18.(本小题17分)
如图，已知▵ABC的面积为S1= 34AB2+BC2−AC2．
(1)求∠ABC的大小；
(2)若▵ABC为锐角三角形，且BC=2，求▵ABC的面积S1的取值范围；
(3)记▵ACD的面积为S2，若CD= 3BC, ∠CAD=π6, ∠BCD=5π6，求S2S1的值．
19.(本小题17分)
通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量．类似的，我们可以把有序复数对z1, z2z1, z2∈C看作一个向量，记a=z1, z2，称a为复向量．类比平面向量的相关运算法则，已知i为虚数单位，对于a=z1, z2, b=z3, z4, z1, z2, z3, z4, λ∈C，记z为z的共轭复数，我们有如下运算法则：①a±b=z1±z3, z2±z4；②λa=λz1, λz2；③a⋅b=z1z3+z2z4；④a= a⋅a．
(1)设a=2, 2+i, b=1+2i, i，求a⋅b和2a+b；
(2)证明：a⋅b=b⋅a；
(3)设集合Ω=cc=z1, z2, z2=z1+1, z1, z2∈C ，α=m+ni,p+qi, m, n, p, q∈R.已知α∉Ω为给定的复向量，对于任意的复向量β∈Ω，求α−β的最小值；并求当α−β取最小值时，对于任意的复向量γ∈Ω，α−β⋅β−γ的值．
答案解析
1.【答案】C
【解析】【分析】利用复数的四则运算求得z=4+3i5，再由复数的模的定义计算即得．
【详解】由4−3iz=5可得z=54−3i=5(4+3i)(4−3i)(4+3i)=4+3i5，
则|z|= (45)2+(35)2=1．
故选：C．
2.【答案】D
【解析】【分析】由向量的数量积坐标运算公式和线性运算公式计算即得．
【详解】由m=3, 1, n=1, 1，可得m−n=(2,0)，
则m⋅m−n=3×2+1×0=6．
故选：D．
3.【答案】A
【解析】【分析】由数量积的运算律结合夹角的计算代入即可．
【详解】设a与b的夹角为θ，θ∈0,π，
由题意可知，a=1，a+b= 3，
则a2+b2+2a⋅b=3，即1+1+2×1×1×csθ=3，故csθ=12，结合θ∈0,π，解得θ=π3．
故选：A
4.【答案】A
【解析】【分析】利用正弦定理求得sinC= 22，结合三角形边角关系即可求出角C．
【详解】由正弦定理，bsinB=csinC，可得sinC=csinBb= 2× 32 3= 22，
因cBC，即角C与角A分别为▵ABC的最大角与最小角，
由余弦定理，csB=AB2+BC2−CA22AB×BC=9+4−712=12，
因0