广东省深圳市罗湖区翠园初级中学 九年级上学期月考数学试卷（12月份）-A4

这是一份广东省深圳市罗湖区翠园初级中学 九年级上学期月考数学试卷（12月份）-A4，共24页。
1．（3分）如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）一个不透明的口袋中装有8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．摇匀后随机摸一球，已知摸到白球的概率是，估计袋中白球的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x+2）2＝9B．（x﹣2）2＝9C．（x﹣2）2＝11D．（x﹣4）2＝11
4．（3分）如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3．若AB＝4，AC＝6，DF＝9，则EF＝（ ）
A．3B．6C．4D．5
5．（3分）如图，△ABC和△A1B1C1是以点P为位似中心的位似图形，若，△ABC的周长为6，则△A1B1C1的周长是（ ）
A．8B．12C．18D．24
6．（3分）下面说法错误的是（ ）
A．点A （x1，y1），B （x2，y2）都在反比例函数y＝﹣图象上，且x1＜x2，则y1＜y2
B．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC＝4 （﹣1）cm
C．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形
D．平面内，经过平行四边形对角线交点的直线，一定能平分它的面积
7．（3分）如图，长方形花圃ABCD面积为4m2，它的一边AD利用已有的围墙（围墙足够长），另外三边所围的栅栏的总长度是5m．EF处开一门，宽度为1m．设AB的长度是xm，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．x（5﹣2x）＝4B．x（5+1﹣2x）＝4
C．x（5﹣2x﹣1）＝4D．x（2.5﹣x）＝4
8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是（ ）
A．4B．8C．2D．4
二、填空题（本大题共5个小题.每小题3分，共15分）
9．（3分）若x＝1是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的一个根，则m的值是 ．
10．（3分）已知，若b+d+f＝9，则a+c+e＝ ．
11．（3分）如图，平行于x轴的直线l与反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象交于A、B两点，点C是x轴上任意一点，且△ABC的面积为3，则k的值为 ．
12．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝6，E为BC的中点，F是AB上一点，G为AD上点，且BF＝2，∠FEG＝60°，EG交AC于点H，则的值为 ．
13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE＝2EC，则线段AG的长是 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共61分）
14．（8分）解方程：
（1）x2+2x﹣1＝0；
（2）（2x﹣1）2＝4x﹣2．
15．（7分）如图，电线杆上有盏路灯O，小明从点F出发，沿直线FM运动，当他运动2米到达点D处时，测得影长DN＝0.6m，再前进2米到达点B处时，测得影长MB＝1.6m，（图中线段AB、CD、EF表示小明的身高）
（1）请画出路灯O的位置和小明位于F处时，在路灯灯光下的影子；
（2）求小明位于F处的影长．
16．（6分）本学期开学以来，初三年级开展了轰轰烈烈的体育锻炼，为了解体育科目训练的效果，学校从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级，A等：优秀；B等：良好；C等：及格；D等：不及格），并将结果汇成了如图1、2所示两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 人；
（2）图1扇形图中D等所在的扇形的圆心角的度数是 ；
（3）我校九年级有1800名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为 人；
（4）已知得A等的同学有一位男生，体育老师想从4为同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率．
17．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CB到点E，使得BE＝BC．连接AE．过点B作BF∥AC，交AE于点F，连接OF．
（1）求证：四边形AFBO是矩形；
（2）若∠E＝30°，OF＝2，求菱形ABCD的面积．
18．（8分）2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出8件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则每件售价应降低多少元？
19．（12分）【项目式学习】
【项目背景】学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
【项目素材】素材一：凸透镜成像规律：f（cm）表示凸透镜的焦距，u（cm）表示物体到凸透镜的距离，v（cm）表示像到凸透镜的距离，规律如表：
素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点．
【项目任务】
（1）任务一：凸透镜的焦距OF为6cm，蜡烛AB的高为4cm，离透镜中心O的距离是9cm时，请你利用所学的知识填空：①＝ ，②＝ ，③MN＝ ；
（2）任务二：某实验小组取焦距OF为6cm的凸透镜，高度AB是4cm的蜡烛，设置物距u cm（u＞6）时，测量蜡烛的成像MN的高为h cm，
①以u为自变量，h为因变量，写出h与u的关系式： ；
②当u＞6时，h随u的增大而 （选填“增大”或“减小”）（提示：可在平面直角坐标系中作出函数的图象，不计分）．
20．（12分）问题背景如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE．问题探究如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG．
问题拓展如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出的值．
2024-2025学年广东省深圳市罗湖区翠园初级中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一.选择题（本题共8题，每题3分，共24分.每小题只有一个选项符合题目要求）
1．（3分）如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看，可得选项C的图形．
故选：C．
【点评】本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键．
2．（3分）一个不透明的口袋中装有8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．摇匀后随机摸一球，已知摸到白球的概率是，估计袋中白球的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】应用简单随机事件的概率计算方法进行计算即可得出答案．
【解答】解：设袋子中白球的个数为x个，
则，
解得x＝4，
经检验得x＝4是原方程的解，
∴估计袋中白球的个数是4个．
故选：D．
【点评】本题主要考查了概率公式，熟练掌握简单随机事件的概率计算方法进行求解是解题关键．
3．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x+2）2＝9B．（x﹣2）2＝9C．（x﹣2）2＝11D．（x﹣4）2＝11
【分析】先把﹣5变号后移到等号右边，再给方程两边同时加上4，最后把方程写成（x+m）2＝n的形式即可．
【解答】解：原方程移项得：x2﹣4x＝5，
∴x2﹣4x+4＝5+4，
∴（x﹣2）2＝9．
故选：B．
【点评】本题主要考查了用配方法，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．
4．（3分）如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3．若AB＝4，AC＝6，DF＝9，则EF＝（ ）
A．3B．6C．4D．5
【分析】先由l1∥l2∥l3，运用平行线分线段成比例的内容可得，再将AB＝4，AC＝6，DF＝9代入求出DE，即可求解．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AB＝4，AC＝6，DF＝9，
∴，即，
解得DE＝6．
∴EF＝DF﹣DE＝9﹣6＝3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
5．（3分）如图，△ABC和△A1B1C1是以点P为位似中心的位似图形，若，△ABC的周长为6，则△A1B1C1的周长是（ ）
A．8B．12C．18D．24
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：△ABC和△A1B1C1是以点P为位似中心的位似图形，若，
故△ABC的周长和△A1B1C1的周长比为1：2，
故△A1B1C1的周长是12，
故选：B．
【点评】本题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键．
6．（3分）下面说法错误的是（ ）
A．点A （x1，y1），B （x2，y2）都在反比例函数y＝﹣图象上，且x1＜x2，则y1＜y2
B．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC＝4 （﹣1）cm
C．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形
D．平面内，经过平行四边形对角线交点的直线，一定能平分它的面积
【分析】根据黄金分割，平行四边形的性质，矩形的判定，中点四边形，反比例函数图象点的坐标特征，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、点A （x1，y1），B （x2，y2）都在反比例函数y＝﹣图象上，且x1＜x2＜0，则y1＜y2，故A符合题意；
B、若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC＝4 （﹣1）cm，故B不符合题意；
C、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形，故C不符合题意；
D、平面内，经过平行四边形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了黄金分割，平行四边形的性质，矩形的判定，中点四边形，反比例函数图象点的坐标特征，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
7．（3分）如图，长方形花圃ABCD面积为4m2，它的一边AD利用已有的围墙（围墙足够长），另外三边所围的栅栏的总长度是5m．EF处开一门，宽度为1m．设AB的长度是xm，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．x（5﹣2x）＝4B．x（5+1﹣2x）＝4
C．x（5﹣2x﹣1）＝4D．x（2.5﹣x）＝4
【分析】根据栅栏的总长度是6m，AB＝x m，则BC＝（5+1﹣2x）m，再根据矩形的面积公式列方程即可．
【解答】解：设AB＝x m，则BC＝（5+1﹣2x）m，
根据题意可得，x（5+1﹣2x）＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是（ ）
A．4B．8C．2D．4
【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当CP⊥P1P2时，PC取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知CP1⊥P1P2，故CP的最小值为CP1的长，由勾股定理求解即可．
【解答】解：如图：
当点F与点D重合时，点P在P1处，AP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝AP2，
∴P1P2∥DE且P1P2＝DE
当点F在ED上除点D、E的位置处时，有AP＝FP
由中位线定理可知：P1P∥DF且P1P＝DF
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当CP⊥P1P2时，PC取得最小值
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，
∴△ABE、△CDE、△DCP1为等腰直角三角形，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠DP1C＝45°，∠AED＝90°
∴∠AP2P1＝90°
∴∠AP1P2＝45°
∴∠P2P1C＝90°，即CP1⊥P1P2，
∴CP的最小值为CP1的长
在等腰直角△CDP1中，DP1＝CD＝4，
∴CP1＝4
∴PC的最小值是4．
故选：D．
【点评】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．
二、填空题（本大题共5个小题.每小题3分，共15分）
9．（3分）若x＝1是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的一个根，则m的值是 0 ．
【分析】把x＝1代入一元二次方程得到关于m的方程，然后据诶关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣1＝0得1+m﹣1＝0，
解得m＝0，
即m的值为0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10．（3分）已知，若b+d+f＝9，则a+c+e＝ 12 ．
【分析】根据等比性质计算．
【解答】解：∵，
∴＝，
∵b+d+f＝9，
a+c+e＝×9＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．
11．（3分）如图，平行于x轴的直线l与反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象交于A、B两点，点C是x轴上任意一点，且△ABC的面积为3，则k的值为 7 ．
【分析】根据反比例函数k的几何意义，得出S△ABC＝S△ABO＝S△BOM﹣S△AOM＝3，进而得出|k|﹣＝3，求解即可．
【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵直线l与x轴平行，
∴S△ABC＝S△ABO＝S△BOM﹣S△AOM＝3，
∵S△AOM＝，S△BOM＝|k|，
∴|k|﹣＝3，又k＞0，
∴k＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，k的几何意义，理解反比例函数k的几何意义是解决问题的关键．
12．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝6，E为BC的中点，F是AB上一点，G为AD上点，且BF＝2，∠FEG＝60°，EG交AC于点H，则的值为 4 ．
【分析】依据∠B＝∠ECH＝60°，∠BEF＝CHE，即可得到△BEF∽△CHE；依据△AGH∽△CEH，即可得出AG＝CE＝1；根据相似三角形的性质得到EH；依据S△CEH＝9S△AGH，S△CEH＝S△BEF，进而得到S△BEF＝4S△AGH．即可得出答案．
【解答】解：在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝6，E为BC的中点，∠FEG＝60°，
∴∠B＝∠ECH＝60°，∠BEF＝CHE＝120°﹣∠CEH，
∴△BEF∽△CHE，
∴＝，
∴CE＝BE＝3，
∴＝，
解得：CH＝4.5，
又∵AC＝BC＝6，
∴AH＝1.5，
∵AG∥CE，
∴△AGH∽△CEH，
∴＝＝，
∴AG＝CE＝1，
∵BF＝CE，△BEF∽△CHE，△AGH∽△CEH，
∴S△CEH＝9S△AGH，S△CEH＝S△BEF，
∴9S△AGH＝S△BEF，
∴S△BEF＝4S△AGH，
∴＝4；
故答案为：4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE＝2EC，则线段AG的长是 2 ．
【分析】根据折叠可得DH＝EH，在直角△CEH中，设CH＝x，则DH＝EH＝9﹣x，根据BE：EC＝2：1可得CE＝3，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长．再由△BEK∽△CHE，求得BK、EK，进而求得FK，设AG＝y，用y表示FG与GK，在Rt△FGK中，由勾股定理列出y的方程，便可求得AG的长度．
【解答】解：如图，设EF交AB相交于点K，CH＝x，则DH＝EH＝9﹣x，
∵BE＝2EC，BC＝9，BC＝BE+EC，
∴EC＝BC＝3，
在Rt△ECH中，由勾股定理得：EH2＝EC2+CH2，
即（9﹣x）2＝32+x2，
解得：x＝4，
∴CH＝4，HE＝5，
∵∠FEH＝∠D＝∠B＝∠C＝90°，
∴∠BKE+∠BEK＝∠BEK+∠CEH＝90°，
∴∠BKE＝∠CEH，
∴△BEK∽△CHE，
∴，即，
∴BK＝，EK＝，
∴AK＝9﹣BK＝，FK＝9﹣EK＝，
设AG＝y，则FG＝y，GK＝﹣y，
∵∠F＝∠A＝90°，
∴，
解得：y＝2，
∴线段AG的长是2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查翻折变换（折叠问题），正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程进行求解是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共61分）
14．（8分）解方程：
（1）x2+2x﹣1＝0；
（2）（2x﹣1）2＝4x﹣2．
【分析】（1）根据配方法解方程即可求解；
（2）先移项，再因式分解法解方程即可求解．
【解答】解：（1）x2+2x﹣1＝0，
x2+2x+1＝2，
（x+1）2＝2，
x+1＝±，
x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+；
（2）（2x﹣1）2＝4x﹣2，
（2x﹣1）2﹣2（2x﹣1）＝0，
（2x﹣1）（2x﹣1﹣2）＝0，
（2x﹣1）（2x﹣3）＝0，
2x﹣1＝0或2x﹣3＝0，
x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
15．（7分）如图，电线杆上有盏路灯O，小明从点F出发，沿直线FM运动，当他运动2米到达点D处时，测得影长DN＝0.6m，再前进2米到达点B处时，测得影长MB＝1.6m，（图中线段AB、CD、EF表示小明的身高）
（1）请画出路灯O的位置和小明位于F处时，在路灯灯光下的影子；
（2）求小明位于F处的影长．
【分析】（1）连接MA、NC并延长，交点即为点O，再连接OE并延长于底面的交点为G，FG即为所求；
（2）过O作OH⊥MG于点H，设DH＝xm，根据AB∥CD∥OH得＝，据此求得DH，再根据＝可求得FG．
【解答】解：（1）如图：
（2）过O作OH⊥MG于点H，设DH＝xm，
由AB∥CD∥OH得：＝，
即＝，
解得x＝1.2．
设FG＝ym，
同理得＝，
即＝，
解得y＝0.4．
所以EF的影长为0.4m．
【点评】本题主要考查中心投影，需要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可．
16．（6分）本学期开学以来，初三年级开展了轰轰烈烈的体育锻炼，为了解体育科目训练的效果，学校从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级，A等：优秀；B等：良好；C等：及格；D等：不及格），并将结果汇成了如图1、2所示两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 25 人；
（2）图1扇形图中D等所在的扇形的圆心角的度数是 43.2° ；
（3）我校九年级有1800名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为 216 人；
（4）已知得A等的同学有一位男生，体育老师想从4为同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率．
【分析】（1）用B等级的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（2）用总人数分别减去A、B、C等级的人数得到D等级人数，然后用360°乘以D等级所占的百分比得到D等所在的扇形的圆心角的度数，再补全条形统计图；
（3）利用样本估计总体，用1800乘以D等级所占百分比即可；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选中的两人刚好是一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数为10÷40%＝25（人），
故答案为：25；
（2）D等级的人数为25﹣4﹣10﹣8＝3，
∴D等所在的扇形的圆心角的度数＝360°×＝43.2°，
故答案为：43.2°；
（3）1800×＝216（人），
∴估计不及格的人数为216人；
故答案为：216；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中选中的两人刚好是一男一女的结果数为6，
所以选中的两人刚好是一男一女的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法．
17．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CB到点E，使得BE＝BC．连接AE．过点B作BF∥AC，交AE于点F，连接OF．
（1）求证：四边形AFBO是矩形；
（2）若∠E＝30°，OF＝2，求菱形ABCD的面积．
【分析】（1）证四边形ADBE是平行四边形，再证AE⊥AC，则∠OAF＝90°，然后由矩形的判定即可得出结论；
（2）由矩形的性质得∠AFB＝90°，OF＝AB＝2，所以∠BFE＝∠FBO＝90°．又由∠E＝∠BOF＝30°，可得BF＝1，由直角三角形性质得BE＝2BF＝2．在Rt△AEC中，BE＝BC，由直角三角形性质得AB＝BE＝BC＝2，得到△ABC为等边三角形，即可计算得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AC⊥BD，AD＝BC，
∵BE＝BC，
∴AD＝BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∴AE∥BD．
∵BF∥AC，
∴四边形AFBO是平行四边形．
∵AC⊥BD，AE∥BD，
∴AE⊥AC，
∴∠OAF＝90°，
∴平行四边形AFBO是矩形．
（2）解：由（1）知四边形AFBO是矩形，
∴∠AFB＝90°，OF＝AB，
∴∠BFE＝∠FBO＝90°．
又∵∠E＝∠BOF＝30°，OF＝2，
∴BF＝1，
∴BE＝2BF＝2．
在Rt△AEC中，BE＝BC，
∴AB＝BE＝BC＝2，
∴△ABC为等边三角形，
∴S菱形ABCD＝2S△ABC＝2×＝2．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定与性质，菱形的性质、直角三角形的性质是解题的关键．
18．（8分）2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出8件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则每件售价应降低多少元？
【分析】（1）设月平均增长率是x，利用10月份的销售量＝8月份的销售量×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（80﹣y﹣40））元，每天的销售量为（20+4y）件，利用每天销售该公仔获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出y的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低的钱数．
【解答】解：（1）设月平均增长率是x，
由题意得：5（1+x）2＝7.2，
解得：x1＝﹣2.2（不合题意，舍去），x2＝0.2＝20%，
答：月平均增长率是20%；
（2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（80﹣y﹣40））元，每天的销售量为（20+4y）件，
由题意得：（80﹣y﹣40）（20+4y）＝1400，
∴y2﹣35y+150＝0，
解得：y1＝5，y2＝30，
又∵要尽量减少库存，
∴y＝30，
答：售价应降低30元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．（12分）【项目式学习】
【项目背景】学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
【项目素材】素材一：凸透镜成像规律：f（cm）表示凸透镜的焦距，u（cm）表示物体到凸透镜的距离，v（cm）表示像到凸透镜的距离，规律如表：
素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点．
【项目任务】
（1）任务一：凸透镜的焦距OF为6cm，蜡烛AB的高为4cm，离透镜中心O的距离是9cm时，请你利用所学的知识填空：①＝ cm ，②＝ 2cm ，③MN＝ 8cm ；
（2）任务二：某实验小组取焦距OF为6cm的凸透镜，高度AB是4cm的蜡烛，设置物距u cm（u＞6）时，测量蜡烛的成像MN的高为h cm，
①以u为自变量，h为因变量，写出h与u的关系式： ；
②当u＞6时，h随u的增大而 减小 （选填“增大”或“减小”）（提示：可在平面直角坐标系中作出函数的图象，不计分）．
【分析】（1）任务一：①由矩形BAOC，得到OC的长，由△COF∽△NMF，得到，即：，设MN＝2a cm，用含a的代数式，表示出MF、OM，由△BOC∽△ONM，得到，解出a＝4cm，即可求解；
（2）任务二：①由，整理得到，根据描点法，画出函数图象；
②根据反比例函数的增减性，即可求解．
【解答】解：（1）任务一：①凸透镜的焦距OF为6cm，蜡烛AB的高为4cm，离透镜中心O的距离是9cm，根据题意得：四边形BAOC是矩形，
∴OC＝AB＝4cm，
根据题意得：OC与MN平行，
∴△COF∽△NMF，
∴，即：，
设MN＝2a cm，则MF＝3a cm，OM＝OF+MF＝6+MF＝（6+3a）cm，
由题意得∠BCO＝∠OMN＝90°，∠BOC＝180°﹣90°﹣∠MON＝90°﹣∠MON＝∠ONM，
∴△BOC∽△ONM，
∴，即：，
解得：a＝4，
∴MN＝2a＝2×4＝8（cm），
故答案为：cm，2cm，8cm；
（2）任务二：①依题意得：四边形ABCO为矩形，BC＝ucm，AB＝4cm，OF＝6cm，
∴OC＝AB＝4cm，
由任务一可知：，
∴BC：OM＝OC：MN，
即，
解得：，
故答案为：；
②用描点法可得该函数的图象，如下图所示：
由图可知，当u＞6时，h随u的增大而减小，
故答案为：减小．
【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的性质与判定，画反比例函数，反比例函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
20．（12分）问题背景如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE．问题探究如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG．
问题拓展如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出的值．
【分析】（1）根据中点可得出两边对应成比例且夹角相等得两个三角形相似；
（2）由中点和平行线可以联想作倍长中线全等，即延长FE交DA延长线于点M，作FH⊥AD于点H，证△AME≌△BFE（AAS），再证△MFH≌△BDC（SAS）即可得证；
（3）这一问是建立在第二问的基础上，所以很容易想到构造相似通过线段关系转化求解，过F作FM⊥AD于点M，取BD中点H，连接AF，设CF＝a，则AM＝DM＝CF＝a，AD＝CD＝2a＝MF，AF＝a，证FE垂直平分AB得到AF＝BF＝a，再证△EGH∽△FGB即可求解．
【解答】（1）证明：∵E、F分别是AB和BC中点，
∴，，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，
∴，
∵∠EBF＝∠C＝90°，
∴△BCD∽△FBE；
（2）方法一：如图延长FE交DA延长线于点M，作FH⊥AD于点H，则四边形CDHF是矩形．
∵E是AB中点，
∴AE＝BE，
∵AM∥BC，
∴∠AME＝∠BFE，∠MAE＝∠FBE，
∴△AME≌△BFE（AAS），
∴AM＝BF，
∵AD＝2CF，CF＝DH，
∴AH＝DH＝CF，
∴AM+AH＝BF+CF，即MH＝BC，
∵FH＝CD，∠MHF＝∠BCD＝90°，
∴△MFH≌△BDC（SAS），
∴∠AMF＝∠CBD，
又∵∠AMF＝∠BFG，
∴∠CBD＝∠BFG，
∴BG＝FG；
方法二：如图，取BD中点H，连接EH、CH，
∵E是AB中点，H是BD中点，
∴EH＝AD，EH∥AD，
∵AD＝2CF，
∴EH＝CF，
∵AD∥BC，
∴EH∥CF，
∴四边形EHCF是平行四边形，
∴EF∥CH，
∴∠HCB＝∠GFB，
∵∠BCD＝90°，H是BD中点，
∴CH＝BD＝BH，
∴∠HCB＝∠HBC，
∴∠GFB＝∠HBC，
∴BG＝FG；
（3）如图，过F作FM⊥AD于点M，取BD中点H，连接AF，则四边形CDMF是矩形，
∴CF＝DM，
∵AD＝2CF，
∴AM＝DM＝CF，
设CF＝a，则AM＝DM＝CF＝a，AD＝CD＝2a＝MF，
∴AF＝＝a，
∵AG＝FG，BG＝FG，
∴AG＝BG，
∵E是AB中点，
∴FE垂直平分AB，
∴BF＝AF＝a，
∵H是BD中点，
∴EH是△ABD中位线，
∴EH＝AD＝a，EH∥AD∥BC，
∴△EGH∽△FGB，
∴＝＝．
物体到凸透镜距离u
像到凸透镜距离
像的大小
像的正倒
u＞2f
f＜v＜2f
缩小
倒立
u＝2f
v＝2f
等大
倒立
f＜u＜2f
v＞2f
放大
倒立
u＜f
与物同侧
放大
正立
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
B
A
B
A
B
D
物体到凸透镜距离u
像到凸透镜距离
像的大小
像的正倒
u＞2f
f＜v＜2f
缩小
倒立
u＝2f
v＝2f
等大
倒立
f＜u＜2f
v＞2f
放大
倒立
u＜f
与物同侧
放大
正立