2025-2026学年湖南省长沙市长岳麓区名校九年级上学期期末数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年湖南省长沙市长岳麓区名校九年级上学期期末数学试卷（学生版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．）
1.时光流转，我们共同迎来年的学习生活，愿同学们在知识的陪伴下，脚踏实地，努力前行．现在，让我们从数学的视角开启这一年：的相反数是（ ）
A.2026B.C.D.
2.如图，该几何体的左视图是（ ）
A.B.C.D.
3.下列运算正确的是（ ）
A.B.
C.D.
4.某校九年级数学兴趣小组做摸球试验，在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的黑球、白球共20个．将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色后再放入袋中，不断重复，下表是试验中的一组数据，由此可以估计袋中白球的个数为（ ）
A.7B.8C.10D.12
5.在平面直角坐标系中，若点A(a，－b)在第一象限内，则点B(a，b)所在的象限是( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
6.为“有效减少近视发生，呵护孩子光明未来”，某班体育委员将全班50名同学视力检查数据，绘制成了如图所示的条形统计图，则这50名同学视力检查数据的中位数和众数分别是（ ）
A.4.8，13B.4.7，4.8
C.13，4.8D.4.8，4.8
7.2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ）
A.B.C.D.
8.不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A.若，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，则
9.保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松，某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地两年前有81种农作物，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子，若这两年培育新品种数量平均年增长率为x，则根据题意列出符合题意的方程是（ ）
A.B.
C.D.
10.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数（，）的图象上，延长交轴于点．若点的横坐标为，则的值为（ ）
A.B.C.6D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11.式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．
12.如图，二次函数()与一次函数()的图象相交于点，，则使成立的的取值范围是___________．
13.如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，∠OAB=38°，则∠P=____．
14.已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为___________．
15.如图，在中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则的度数为___________．
16.李志明、张斌、王大为三个同学毕业后选择了不同的职业，三人中只有一个当了记者．一次有人问起他们的职业，李志明说：“我是记者．”张斌说：“我不是记者．”王大为说：“李志明说了假话．”如果他们三人的话中只有一句是真的，那么___________是记者．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.计算：．
18.先化简，再求值：，其中．
19.如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际操作中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座．

（1）若上臂与水平面平行，，计算点到地面的距离；（结果保留根号）
（2）在一次操作中，上臂与中臂夹角为，如图③，此时点与点到地面的距离相等，求，两点之间的距离．（结果保留根号）
20.2025年人工智能飞速发展，相关题材新闻密集发酵，广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外模型、机器人都已获得显著的技术突破．目前人工智能市场分为A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了___________人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为___________；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校预备开设类社团课，请同学们按照抽签的方式组队针对A，B，C，D这四个类型进行资料收集和研讨．求甲、乙两位同学抽中同一个类型的概率．
21.如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，是的切线，平分交于点，连接．
（1）求证：．
（2）当，时，求的长．
22.随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同．
（1）求甲、乙两种型号的健身器材的单价各是多少元．
（2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共15台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的2倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
23.如图，在矩形中，对角线，相交于点．，分别是边和对角线上的点，连接，，且，
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）若，求．
24.若四边形一个顶点引出的一组邻边相等，且该顶点引出的对角线平分这个四边形的一个内角，我们称这样的四边形为“等邻边内分四边形”，把这条对角线叫做四边形的“内分线”．
（1）下列四边形是“等邻边内分四边形”的是___________（填序号）
①菱形；②矩形；③正方形；④上底与腰相等的等腰梯形．
（2）如图1，已知中，，，，点是外接圆上的一点．若四边形是“等邻边内分四边形”，请求出这个“等邻边内分四边形”的“内分线”的长度．
（3）如图2，为定线段上异于，的一个动点，和都是等边三角形，且在同侧，，交于点，，交于点，，交于点，，交于点．
（ⅰ）求证：四边形为“等邻边内分四边形”；
（ⅱ）求证：直线恒过定点．
25.抛物线：的对称轴是直线，且它的最低点在直线上，求：
（1）抛物线的函数解析式；
（2）将抛物线关于轴进行翻转，并将翻转后的图形沿直线向左下方平移个单位长度，求平移之后的抛物线的函数解析式；
（3）点为抛物线图象上的一点，将抛物线()的图象记为，将抛物线()的图象沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上任意点和点（两点同在上或上）都满足时，求实数的取值范围．
摸球次数
摸到黑球的次数
摸到黑球的频率
50
28
0.56
100
61
0.61
150
93
0.62
200
124
0.62
250
145
0.58
300
189
0.63
500
300
0.60