陕西省榆林市2026届高三数学上学期12月联考试题含解析

这是一份陕西省榆林市2026届高三数学上学期12月联考试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．设，，且，则的最小值为（ ）
A．B．9C．3D．4
3．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．“”是“函数在内单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要
5．已知为两条直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
6．中，、、的对边分别为、、，若且，则的形状是（ ）
A．顶角为的等腰三角形B．等边三角形
C．等腰直角三角形D．直角三角形
7．已知函数的图象是由的图象向右平移个单位得到的．若在上仅有一个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前n项和分别为，，如果关于x的实系数方程有实数解，那么以下2025个方程（，2，3，…，2025）中，无实数解的方程最多有（ ）
A．1009个B．1010个C．1012个D．1013个
二、多选题
9．已知复数，则 （ ）
A．B．在复平面内，对应的点位于第四象限
C．D．
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若是偶函数，则
B．若是奇函数，则
C．若，则的取值范围为
D．若，则的最小值为
11．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱的中点，点是正方体表面上的一个动点，则（ ）

A．三棱锥体积的最大值为
B．若点满足，则动点的轨迹长度为
C．平面DEF截正方体所得截面的周长为
D．当直线AP与平面ABCD所成的角为时，点的轨迹长度为
三、填空题
12．我国生物科技发展日新月异，其中生物制药发展尤其迅速，某制药公司今年共投入资金50万元进行新药开发，并计划每年投入的研发资金比上一年增加.按此规律至少 年后每年投入的资金可达250万元以上（精确到1年）.（参考数据）
13．已知，，则 ．
14．已知函数，，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与轴交于，两点，则的取值范围是 .
四、解答题
15．已知函数的图象过原点，且．
(1)求实数的值；
(2)求不等式的解集；
16．记内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，的角平分线交于点，且，求的周长.
17．如图，四边形是等腰梯形，是的中点，是与的交点，将沿折到的位置.
(1)证明：平面；
(2)若平面，求二面角的正弦值.
18．已知数列的前项和为，且．
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)记，记数列的前项和为．
①求；②对，都有成立，求的取值范围．
19．已知函数 ．
(1)当时，
① 求的最小值；
② 设，求证: ；
(2)设，，是的两个极值点，求证：．
参考答案
1．C
【详解】由题意知，所以．
故选：C．
2．A
【详解】由，，，可得：，
，
当且仅当，即时取等号.
所以的最小值为.
故选：A.
3．B
【详解】，.
因为，所以，解得.
故选：B
4．A
【详解】函数的单调递增区间为，
由函数在内单调递增，得0，解得，
所以“”是“函数在内单调递增”的充分而不必要条件．
故选：A．
5．C
【详解】A选项，，与可能平行或异面，故A错误；
B选项，，则，故B错误；
C选项，由，过直线作平面，与平面相交于直线，则有，
由，有，又，所以，故C正确；
D选项，，则不一定垂直于，如可以在内，故D错误．
故选：C.
6．C
【详解】如图所示，在边、上分别取点、，使、，
以、为邻边作平行四边形，则，显然，
因此平行四边形为菱形，平分，而，
所以，即，于是得是等腰三角形，即，
令直线交于点，则是边的中点，，
而，因此，从而得，
综上，是等腰直角三角形.
故选：C
7．A
【详解】由题知，函数在上仅有一个零点，
所以，所以，
令，得，即.
若第一个正零点，则（矛盾），
因为函数在上仅有一个零点，
所以，解得.
故选：A
8．C
【详解】关于x的实系数方程有实数解，则，
其中，，
代入上式得：，
要想（，2，3，…，2025）方程无实数解，则，
显然第1013个方程有解，
设方程与方程的判别式分别为和，
则
，
等号成立的条件是，
所以和至多一个成立，同理可证：和至多一个成立，
，和至多一个成立，且，
综上，在所给的2025个方程中，无实数根的方程最多1012个，有实数根的方程至少1013个．
故选：C．
9．ABD
【详解】对于A，由，得，A正确；
对于B，，复数在复平面内对应的点位于第四象限，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：ABD
10．ABD
【详解】对于A，因为为偶函数，则，
所以，整理得到，
因为对恒成立，所以，故A正确，
对于B，因为为奇函数，则，
所以，整理得到，
因为对恒成立，所以，故B正确，
对于C，由，得到恒成立，即恒成立，
又易知，所以，故C错误，
对于D，令，由，得到，
当且仅当，即，时取等号，所以D正确，
故选：ABD.
11．AD
【详解】对于A，显然为正三角形，，
而，
要使三棱锥的体积最大，当且仅当点P到平面的距离最大，
所以点是正方体表面上到平面距离最大的点，此时三棱锥是棱长为的正四面体，
又点到平面的距离，
则，A正确；

对于B，取中点，中点K，连接，，，由，
得，则，，
由平面，平面，得，
而，，，平面，
因此平面，
所以，得点P的轨迹为四边形（除点A外），
又，则动点P的轨迹长度为，B错误；
对于C， 建立如上图所示所示的空间直角坐标系，

依题意可得截面是五边形，
显然，
由平面几何知识可知，
因为，所以，
得，同理，可得，
又，，
于是，，
，，
所以平面截正方体所得截面的周长为， C错误；
对于D，由平面平面，
得直线与平面所成的角为，
连接，，由平面，平面，且，
则点P为线段或上任意点（除点A外），
在正方形内以为圆心，2为半径作圆弧，
当点P为圆弧上任意点时，连接，

由平面，
得是与平面所成角，
而，
则，
因此点轨迹是线段，及圆弧（除A点外），
所以P点轨迹长度为，D正确；
故选：AD.
12．10
【详解】由题知，某制药公司今年共投入资金50万元进行新药开发，并计划每年投入的研发资金比上一年增加，满足等比数列模型，
令，
所以，
所以，
所以，
所以，
又因为为正整数，
所以，
故答案为：10
13．
【详解】由①
由（*），
由题意，，均有意义，所以.
将（*）式两边同除以得：②
①②得：.
故答案为：
14．
【详解】当时,，，
，，
在处的切线方程为，即，
令可得，；
当时，，，
所以，，
所以在处的切线方程为：，即，
令可得，，
两条切线互相垂直，，，，
令，，
设，，
因为在上单调递增，，即，
所以．
故答案为：.
15．(1)
(2)
【详解】（1）∵函数的图象过原点，
又
即，解得，
所以的值为2，的值为﹣2．
（2）由（1）可知，，
所以不等式为，即，
即不等式的解集为
16．(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得，
得，
，
，，，
又，.
（2）由题知是的角平分线，则，
，.
，
，即，，
由余弦定理和，得，
即.
的周长.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，连接.
为的中点，，
又且四边形为菱形，.
，又平面.
与四边形为菱形同理，可知四边形为菱形，
平面
（2）由（1）可知即是边长为2的等边三角形，又平面，
所以两两互相垂直，以为坐标原点，
以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
已知，
则，

设平面的一个法向量为，
则，取.
设平面的一个法向量为，
则取.
故二面角的正弦值为.
.
18．(1)证明见解析，；
(2)①；②．
【详解】（1）在数列中，，当时，，
两式相减得，整理得，即，
而，即，则，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，，，
经检验当也符合.
（2）①由（1）知，，，
所以
.
②由①知，，，
，
由数列单调递增，得，因此，
由对，，得，
所以的取值范围是．
19．(1)① ；②证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）①当时，，其定义域为，
又，
所以当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，即；
②由①知，当时，，即，
令，则，则，
所以，则，
所以，得证.
（2）函数的定义域为，
又，
因为，是的两个极值点，所以，，
即，
令，，则，
当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
不妨假设，
要证，只需证，因为，所以，
因为在上单调递增，所以只需证，
又因为，所以只需证，
令，
则，
因为，所以，
则，所以，
所以在上单调递减，，