2024榆林五校联考高二上学期12月月考试题数学含解析

这是一份2024榆林五校联考高二上学期12月月考试题数学含解析，共13页。试卷主要包含了 答题前, 考生务必用直径 0， 命题范围， 已知直线 l1 与直线 l， 6 分等内容，欢迎下载使用。

考生注意:
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
2. 答题前, 考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时, 请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后, 用 2 B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 非选择题请用直径 0.5 毫米黑色中性笔在答题卡上各题的答题区域内作答, 超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 命题范围: 人教 A 版选择性必修第一册, 选择性必修第二册第四章第 1 节 第 2 节。
一、选择题: 本题共 8 小题,每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1. 已知数列 an 满足 a1=2,an+1=1-1an, 则 a2024=（ ）
A. -1
B. 12
C. 2
D. 3
2. 若 AB<0,BC>0, 则直线 Ax-By-C=0 不经过的象限是（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 已知 O 是坐标原点, F 是抛物线 C:y2=4x 的焦点, M4,y0 是抛物线 C 上一点, 则 △OFM 的面积为（ ）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
4. 已知 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和, 若 a2=6,a6=2, 则 S8=（ ）
A. 64
B. 32
C. 28
D. 22
5. 一条渐近线方程为 2x+3y=0, 且经过点 33,22 的双曲线的标准方程是（ ）
A. x29-y24=1
B. y24-x29=1
C. x24-y29=1
D. y29-x24=1
6. 已知等差数列 an 的项数为 2m+1m∈N*, 其中奇数项之和为 140 , 偶数项之和为 120 , 则 m=（ ）
A.6
B.7
C.12
D 13
的右顶点和上顶点，若原点O到直线AB 的距离是椭圆C 的短轴长的 25, 则椭圆 C 的离心率为（ ）
A. 32
B. 45
C. 34
D. 74
8. 已知等差数列 an 与等差数列 bn 的前 n 项和分别为 Sn 与 Tn, 且 SnT2n-1=5n+34n-2, 则 a3b11+a9b11=（ ）
A. 2921
B. 2911
C. 5821
D. 5811
二、选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分。
9. 已知直线 l1 与直线 l:y=x+2 平行, 且 l 与 l1 间的距离为 22, 则 l1 的方程可以是（ ）
A. x-y+6=0
B. x-y+3=0
C. x-y+1=0
D. x-y-2=0
10. 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是平行四边形, AP=a,AB=b,AD=c, 若 PE=ED,CF= 2FP, 则（ ）
A. BE=12a-b+12c
B. BF=23a-23b+13c
C. DF=23a+13b-23c
D. EF=16a-13b+16c
11. 某市为了改善城市中心环境, 计划将市区某工厂向城市外围迁移, 需要拆除工厂内一个高塔, 施工单位在某平台 O 的北偏东 45∘ 方向 402 m 处设立观测点 A, 在平台 O 的正西方向 240 m 处设立观测点 B, 已知经过 O,A,B 三点的圆为圆 C, 规定圆 C 及其内部区域为安全预警区.以 O 为坐标原点, O 的正东方向为 x 轴正方向, 建立如图所示的平面直角坐标系. 经观测发现, 在平台 O 的正南方向 200 m 的 P 处, 有一辆小汽车沿北偏西 45∘ 方向行驶, 则（ ）
A. 观测点 A,B 之间的距离是 280 m
B. 圆 C 的方程为 x2+y2+240x-320y=0
C. 小汽车行驶路线所在直线的方程为 y=-x-200
D. 小汽车会进人安全预警区
12. 经过抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点 F 的直线 l 交 C 于 A,B 两点, O 为坐标原点, 设 Ax1,y1, Bx2,y2y1>y2,AB 的最小值是 4 , 则下列说法正确的是（ ）
A. OA⋅OB=3
B. AF+BF=AFBF
C. 若点 M32,1 是线段 AB 的中点, 则直线 l 的方程为 2x-y-2=0
D. 若 AB=4FB, 则直线 l 的倾斜角为 60∘ 或 120∘
三、填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分。
13. 椭圆 x225+y216=1 的四个顶点所围成的四边形的面积是________
14. 若圆 C1:x2+y2+4x-4y+7=0 与圆 C2:x2+y2-4x+2y+m=0 相切, 则实数 m=__________
15. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn=-13n2+43, 则数列 an 的通项公式为_________
16. 已知点 A,B,C 是离心率为 2 的双曲线 Γ:x2a2-y2b2=1a>0,b>0 上的三点, 直线 AB,AC,BC 的斜率分别是 k1,k2,k3, 点 D,E,F 分别是线段 AB,AC,BC 的中点, O 为坐标原点, 直线 OD,OE,OF 的斜率分别是 k1​',k2​',k3​', 若 1k1​'+1k2​'+1k3​'=3, 则 k1+k2+k3=__________
四、解答题: 本题共 6 小题, 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分 10 分)已知 ⊙M 的圆心为 8,6, 且 ⊙M 过点 A4,3.
(1) 求 ⊙M 的标准方程;
(2) 若直线 l 与 ⊙M 相切于点 A, 求直线 l 的方程.
18. (本小题满分 12 分)如图, 在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, AB//CD,AD⊥CD,E 是棱 DD1 的中点, AD=CD=DD1= 2AB. 请用向量法解决下列问题.
(1) 求证: AB1⊥CE;
(2) 求直线 CE 与平面 AB1C 所成角的正弦值.
19. (本小题满分 12 分)已知双曲线 C:x2-y23=1 的右焦点与抛物线 E 的焦点重合.
(1)求抛物线 E 的标准方程;
(2) 若过双曲线 C 的右顶点且斜率为 2 的直线 l 与抛物线 E 交于 M,N 两点,求线段 MN 的长度.
20. (本小题满分 12 分)已知各项都为正数的数列 an 的前 n 项和为 Sn, 且满足 6Sn=an2+3ann∈N*.
(1) 求数列 an 的通项公式;
(2) 若 bn=an-25, 求数列 bn 的前 n 项和 Tn.
21. (本小题满分 12 分)如图,已知 △BCD 与 △MCD 都是边长为 2 的正三角形, 平面MCD⊥ 平面 BCD,AB⊥ 平面 BCD,AB =23.

(1) 求点 D 到平面 MBC 的距离;
(2) 求平面 MBC 与平面 MAD 的夹角的余弦值.
22. (本小题满分 12 分)已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 53, 上、下顶点分别为 A,B, 右顶点为 C, 且 △ABC 的面积为 6 .
(1) 求 E 的方程;
(2) 若点 P 为 E 上异于顶点的一点, 直线 AP 与 BC 交于点 M, 直线 CP 交 y 轴于点 N, 试判断直线 MN 是否过定点? 若是, 则求出该定点坐标; 若不是, 请说明理由.
榆林市高二年级五校第一次调研考试
数学参考答案、提示及评分细则
1. B 由 a1=2,an+1=1-1an, 可推得 a2=12,a3=-1,a4=2,a5=12,a6=-1,⋯, 所以数列 an 是以 3 为周期的一个周期数列, 所以 a2024=a674×3+2=a2=12. 故选 B.
2. A 由 AB<0 知 B≠0, 所以由 Ax-By-C=0 得 y=ABx-CB, 又 AB<0,BC>0, 所以直线的斜率 AB<0, 在 y 轴上的截距 -CB<0, 所以直线经过二、三、四象限, 不经过第一象限. 故选 A.
3. B 因为 M4,y0 是 C 上一点, 所以 y02=16, 解得 y0=4, 又 F 是抛物线 C 的焦点, 所以 F1,0, 所以 △OFM 的面积为 12×1×4=2. 故选 B.
4. C 设 an 的公差为 d, 由题意得 a1+d=6,a1+5d=2, 解得 a1=7,d=-1, 所以 S8=8×7+8×72×-1=28. 故选 C.
5. A 由题意设双曲线的方程为 4x2-9y2=λλ≠0, 将点 33,22 代人双曲线方程得 λ=4×332-9×222= 36 , 所以双曲线的方程为 4x2-9y2=36, 即 x29-y24=1. 故选 A.
6. A 项数为 2m+1 的 an 中奇数项共有 m+1 项, 其和为 m+1a1+a2m+12=m+1⋅2am+12=m+1am+1= 140 ; 项数为 2m+1 的 an 中偶数项共有 m 项, 其和为 ma2+a2m2=m⋅2am+12=mam+1=120, 所以 m+1am+1mam+1=140120 =76, 解得 m=6. 故选 A.
7. D 由题意知 Aa,0,B0,b, 所以直线 AB 的方程为 xa+yb=1, 即 bx+ay-ab=0, 原点 O 到直线 AB 的距离 d= -abb2+a2=abb2+a2=25×2b=4b5, 整理得 b2a2=916, 所以椭圆 C 的离心率 e=1-b2a2=74. 故选 D.
8. D 因为数列 an,bn 都是等差数列, 所以 a3b11+a9b11=a3+a9b11=2a6b11, 又 S11=11a1+a112=11a6,T21=21b1+b212 =21b11, 所以 a6=S1111,b11=T2121, 因此 a3b11+a9b11=2a5b11=4211×S11T21, 在 SnT2n-1=5n+34n-2 中, 令 n=11, 得 S11T21=2921, 所以 a3b11+a9b11 =4211×S11T21=4211×2921=5811. 故选 D.
9. AD 设所求直线的方程为 x-y+a=0, 由题意可得 a-22=22, 解得 a=6 或 -2 . 故所求直线的方程为 x-y+6=0或 x-y-2=0. 故选 AD.
10. ABC BE=AE-AB=12AP+AD-AB=12a-b+12c, 故 A 正确; BF=AF-AB=AC+CF-AB=AC+23CP -AB=23AP+13AC-AB=23AP-23AB+13AD=23a-23b+13c, 故 B 正确; DF=BF-BD=23a-23b+13c -c-b=23a+13b-23c, 故 C 正确; EF=BF-BE=23a-23b+13c-12a-b+12c=16a+13b-16c, 故 D 错误. 故选 ABC.
11. BCD 由题意, 得 A40,40,B-240,0, 所以 AB=2802+402=2002, 即观测点 A,B 之间的距离是 2002 m, 故 A 错误; 设圆 C 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 因为圆 C 经过 O,A,B 三点, 所以 F=0,402+402+40D+40E+F=0,-2402+-240D+F=0,D=240,E=-320F=0, 所以圆 C 的方程为 x2+y2+240x-320y=0, 故 B 正确; 小汽车行驶路线所在直线的斜率为 -1 , 又点 P 的坐标是 0,-200, 所以小汽车行驶路线所在直线的方程为 y=-x-200, 故C 正确; 圆 C 化成标准方程为 x+1202+y-1602=40000, 圆心为 C-120,160, 半径 r=200, 圆心 C 到直线 y =-x-200 的距离 d=-120+160+2002=120212. BC 当直线 l 与 x 轴垂直时, AB 取得最小值,所以 2p=4, 所以 p=2, 所以抛物线 C 的方程为 y2=4x, 由题意可知直线 l 的斜率不为 0 , 可设直线 l 的方程为 x=my+1, 联立 y2=4x,x=my+1, 得 y2-4my-4=0,Δ=16m2+1>0,y1y2 =-4,y1+y2=4m,x1+x2=my1+y2+2=4m2+2,x1x2=y124×y224=1, 所以 OA⋅OB=x1x2+y1y2=-3, A 错误; AF=x1+1,BF=x2+1, 所以 AF+BF=x1+x2+2=4m2+4,AFBF=x1+1x2+1= x1x2+x1+x2+1=4m2+4, 所以 AF+BF=AFBF, B 正确; 因为点 M32,1 是线段 AB 的中点, 所以 y1 +y2=2, 即 4m=2,m=12, 所以直线 ι 的方程为 2x-y-2=0, C 正确; AB=4FB, 所以 AF=3FB, 即 x1+1= 3x2+1, 所以 x1-3x2-2=0, 因为 x1x2=1, 所以 x1-3x1-2=0, 即 x12-2x1-3=0, 解得 x1=3x1=-1 舍去), 又 y1>y2, 故 y1>0>y2, 所以 A3,23, 所以直线 l 的斜率为 23-03-1=3, 直线 l 的倾斜角为 60∘,D 错误. 故选 BC.
13. 40
由椭圆方程, 得椭圆的四个顶点分别为 -5,0,5,0,0,-4,0,4, 故这四个顶点围成的四边形的面积 S= 12×10×8=40.
14. -11 或 -31
圆 C1 的标准方程为 x+22+y-22=1, 圆心 C1-2,2, 半径 r1=1, 圆 C2 的标准方程为 x-22 +y+12=5-m, 圆心 C22,-1, 半径 r2=5-m. 当圆 C1 与圆 C2 外切时, C1C2=r1+r2, 即 2+22+-1-22=1+5-m, 解得 m=-11; 当圆 C1 与圆 C2 内切时, C1C2=r1-r2, 即 2+22+-1-22=1-5-m, 解得 m=-31. 所以圆 C1 与圆 C2 相切时, m=-11 或 m=-31.
15. an=1,n=1,-23n+13,n≥2
当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=-13n2+43--13n-12+43=-23n+13, 当 n=1 时, a1=1, 不满足上式,所以 an=1,n=1,-23n+13,n≥2.
16. 3
因为双曲线 Γ 的离心率为 2, 所以 ba=1, 不妨设 Ax1,y1,Bx2,y2,Dx0,y0, 因为点 A,B 在 Γ 上, 所以 x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1, 两式相减,得 x1+x2x1-x2a2=y1+y2y1-y2b2, 因为点 D 是 AB 的中点, 所以 x1+x2=2x0, y1+y2=2y0, 所以 y1+y2y1-y2x1+x2x1-x2=b2a2, 即 y0y1-y2x0x1-x2=b2a2, 所以 k1k1​'=y1-y2x1-x2⋅y0-0x0-0=b2a2=1, 同理 k2k2​'= 1,k3k3​'=1, 因为 1k1+1k2+1k3=3, 所以 k1+k2+k3=1k1+1k2+1k3=3.
17. 解: (1) 由于 ⊙M 的圆心为 8,6, 故可设 ⊙M 的方程为 x-82+y-62=r2. 1 分
由于 ⊙M 过点 4,3, 所以 4-82+3-62=r2, 得 r2=25. 3 分
所以 ⊙M 的标准方程为 x-82+y-62=25. 4 分
(2) 由于直线 l 与 ⊙M 相切于点 A, 所以直线 l 与直线 AM 垂直, 并且 l 过点 A. 6 分
直线 AM 的斜率为 6-38-4=34, 所以 l 的斜率为 -43, 8 分
所以直线 l 的方程为 y-3=-43x-4, 整理得 4x+3y-25=0.
18. (1) 证明: 由直棱柱的性质可知 DD1⊥DA,DD1⊥DC,
因为 AD⊥CD, 所以 DA,DC,DD1 两两互相垂直, 故以点 D 为坐标原点, 分别以 DA,DC,DD1 所在直线为 x 轴, y 轴, z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设 AD=2, 则 A2,0,0,B12,1,2,C0,2,0. 2 分
因为 E 是棱 DD1 的中点, 所以 E0,0,1, 所以 AB1=0,1,2,CE=0,-2,1,
所以 AB1⋅CE=0×0+1×-2+2×1=0. 3 分
所以 AB1⊥CE, 即 AB1⊥CE. 5 分
(2)

解: 由(1) 可知 AB1=0,1,2,AC=-2,2,0,CE=0,-2,1. 6 分
设向量 n=x,y,z 是平面 AB1C 的法向量, 则 AB1⋅n=0,AC⋅n=0, 即 y+2z=0,-2x+2y=0, 令 z=1,得 n=-2,-2,1.
设直线 CE 与平面 AB1C 所成的角为 θ, 则 sinθ=CE⋅nCEn=535=53.所以直线 CE 与平面 AB1C 所成角的正弦值为 53.
19. 解: (1) 双曲线 C:x2-y23=1 中, a2=1,b2=3,
所以 c2=a2+b2=4, 解得 c=2,
所以双曲线 C 的右焦点为 2,0.
所以可设抛物线 E 的标准方程为 y2=2pxp>0, 其焦点为 p2,0,
所以 p2=2, 即 p=4, 4 分
所以抛物线 E 的标准方程为 y2=8x. 6 分
(2) 由 a2=1, 得双曲线 C 的右顶点为 1,0, 因为直线 l 过点 1,0 且斜率为 2 , 所以直线 l 的方程为 y=2x-1, 8 分 x1x2=1, 10 分
所以 MN=x1-x22+y1-y22=5x1-x22=5x1+x22-4x1x2=215. 12 分
20. 解: (1) 因为 6Sn=an2+3an, 所以 n≥2 时, 6Sn-1=an-12+3an-1,由两式相减, 得 6an=an2+3an-an-12-3an-1,
即 an+an-1an-an-1=3an+an-1, 2 分
又数列 an 的各项都为正数, 所以 an+an-1>0,an-an-1=3. 3 分
当 n=1 时, 6a1=a12+3a1, 解得 a1=0 (舍) 或 a1=3,所以数列 an 是首项为 3 , 公差为 3 的等差数列. 4 分
所以 an=3+n-1×3=3n. 5 分
(2) 由 (1), 得 bn=an-25=3n-25,
设 bn 的前 n 项和为 Rn,又 6Sn=an2+3an=9n2+9n,
所以 Sn=32n2+32n,
所以 Rn=Sn-25n=32n2-472n. 7 分
当 3n-25<0 时, n≤8; 当 3n-25>0 时, n≥9,
所以当 n≤8 时, Tn=-b1+b2+⋯+bn=-Rn=-32n2+472n; 9 分
当 n≥9 时, Tn=-b1+b2+⋯+b8+b9+b10+⋯+bn=Rn-2R8=32n2-472n+184.
综上所述, Tn=-32n2+472n,n≤8,32n2-472n+184,n≥9. 12 分
21. 解: 取 CD 的中点 O, 连接 OB,OM,
由于 △BCD 和 △MCD 都是等边三角形, 所以 OB⊥CD,OM⊥CD.
又平面 MCD⊥ 平面 BCD, 平面 MCD∩ 平面 BCD=CD,OM⊂ 平面 MCD, 所以 MO⊥ 平面 BCD. 2 分
以 O 为原点, OC,OB,OM 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.
由于 OB=OM=3,OC=1, 所以 C1,0,0,M0,0,3,B0,-3,0,D-1,0,0,A0,-3,23.4 分

(1) BC=1,3,0,BM=0,3,3.
设 n=x,y,z 是平面 MBC 的法向量, 由 n⋅BC=0,n⋅BM=0, 得 x+3y=0,3y+3z=0, 令 z=1, 则 n=(3, -1,1). 6 分
因为 BD=-1,3,0, 所以 d=BD⋅nn=235=2155,
即点 D 到平面 MBC 的距离为 2155.
(2) MA=0,-3,3,MD=-1,0,-3,
设 m=p,q,r 是平面 MAD 的法向量, 由 m⋅MA=0,m⋅MD=0, 得 -3q+3r=0,-p-3r=0,
令 p=3, 则 m=3,-1,-1.
由 (1) 可知 n=3,-1,1 是平面 MBC 的法向量.
设平面 MBC 与平面 MAD 的夹角为 θ, 则 csθ=cs⟨m,n⟩=m⋅nm⋅n=35×5=35,
因此平面 MBC 与平面 MAD 的夹角的余弦值是 35.
22. 解: (1) 由题意知 ca=53,12a⋅2b=6, c2=a2-b2,
解得 a=3,b=2,c=5, 3 分
所以 E 的方程为 x29+y24=1.
(2) 显然直线 AP 的斜率存在, 设直线 AP 的斜率为 k, 则直线 AP 的方程为 y=kx+2,
又直线 BC 的方程为 y=23x-2, 由 y=kx+2y=23x-2, 解得 x=-123k-2,y=-6k+43k-2,
即 M-123k-2,-6k+43k-2.
由 x29+y24=1,y=kx+2 得 4+9k2x2+36kx=0, 解得 x=0 或 x=-36k4+9k2,
当 x=-36k4+9k2 时, y=k-36k4+9k2+2=8-18k24+9k2, 即 P-36k4+9k2,8-18k24+9k2,
所以直线 CP 的斜率 kCP=8-18k24+9k2-0-36k4+9k2-3=6k-49k+6,
所以直线 CP 的方程为 y=6k-49k+6x-3, 令 x=0, 得 y=4-6k3k+2, 即 N0,4-6k3k+2.
所以直线 MN 的斜率 kMN=-6k+43k-2-4-6k3k+2-123k-2-0=4k3k+2,
所以直线 MN 的方程为 y=4k3k+2x+4-6k3k+2,
即 y=4k3k+2x-3+2, 所以直线 MN 过定点 3,2.