2022-2023学年重庆市长寿中学高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

这是一份2022-2023学年重庆市长寿中学高二（上）期末数学试卷(含答案解析)，共17页。试卷主要包含了 已知圆C1， 双曲线C， 已知点P是圆C， 设拋物线C， 已知点P是椭圆C， 下列说法中，正确的有， 已知直线l1等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市长寿中学高二（上）期末数学试卷1.  已知直线l过、两点，则直线l的倾斜角的大小为(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知圆和圆，则圆与圆的位置关系为(    )A. 内含 B. 外切 C. 相交 D. 相离3.  三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则(    )A.
B.
C.
D.
 4.  双曲线C：上的点P到上焦点的距离为12，则P到下焦点的距离为(    )A. 22
B. 2
C. 2或22
D. 24
 5.  设等差数列的前n项和为，若，，则(    )A.
B.
C.
D.
 6.  已知点P是圆C：的动点，直线l：上存在两点A，B，使得恒成立，则线段AB长度的最小值是(    )A.
B.
C.
D.
 7.  设拋物线C：的焦点是F，直线l与抛物线C相交于P，Q两点，且，线段PQ的中点A到拋物线C的准线的距离为d，则的最小值为(    )A.
B.
C. 3
D.
 8.  已知点P是椭圆C：上一点，点、是椭圆C的左、右焦点，若的内切圆半径的最大值为，若椭圆的长轴长为4，则的面积的最大值为(    )A. 2
B.
C.
D.
 9.  下列说法中，正确的有(    )A. 直线在y轴上的截距是2
B. 直线经过第一、二、三象限
C. 过点，且倾斜角为的直线方程为
D. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为
 
 10.  已知直线：，：，下列命题中正确的是(    )A. 若，则
B. 若，则或
C. 当时，是直线的方向向量
D. 原点到直线的最大距离为
 
 11.  《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，PA平面ABCD，底面ABCD是正方形，且，E，F分别为PD，PB的中点，则(    )A. 平面PAD B. 平面EFC
C. 点F到直线CD的距离为 D. 点A到平面EFC的距离为12.  已知数列中，，，则关于数列的说法正确的是(    )A.  B. 数列为递增数列
C.  D. 数列的前n项和小于13.  已知数列是等差数列，，，则______.14.  在等比数列中，，…______.15.  已知关于x的方程有两个不同的实数根，则实数k的范围______.16.  已知P是椭圆和双曲线的交点，，是，的公共焦点，，分别为，的离心率，若，则的取值范围为______.
 17.  已知以点为圆心的圆与直线：相切，过点的直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，
求圆A的标准方程；
求直线l的方程．
18.  在数列中，，，
设，求证：数列是等比数列；
求数列的前n项和19.  三棱台的底面是正三角形，平面ABC，，，，E是AB的中点，平面交平面ABC于直线
求证：；
求直线与平面所成角的正弦值．
20.  如图，在三棱锥中，，O为BD的中点，
证明：平面平面BCD；
若是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．
21.  抛物线C：，抛物线的焦点是双曲线的右顶点，过点作直线与C交于M，N两点．
求C的方程．
若C的一条弦ST经过C的焦点，且直线ST与直线MN平行，试问是否存在常数，使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．22.  已知点与，动点满足直线AM，BM的斜率之积为，则点M的轨迹为曲线
求曲线C的方程；
若点T在直线上，直线TA，TB分别与曲线C交于点E，F，求与面积之比的最大值．
答案和解析 1.【答案】A 【解析】解：直线l过、两点，
则直线l的斜率，
故直线的倾斜角为
故选：
由两点坐标求出斜率，即可得出倾斜角．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
 2.【答案】A 【解析】解：由题意可知，圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，半径；
两圆心距离为，此时
所以，圆与圆的位置关系为内含．
故选：
根据两圆的标准方程可知圆心坐标和半径大小，只需比较圆心距与两圆半径之差以及两圆半径之和的大小即可得出两圆位置关系．
本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的标准方程，属于基础题．
 3.【答案】B 【解析】解：
故选：
利用空间向量的线性运算法则与向量相等的定义，求解即可．
本题考查了空间向量的线性运算与向量相等的应用问题，是基础题．
 4.【答案】A 【解析】解：设C的上、下焦点分别为，，由题意可得，
由双曲线的方程可得，，
所以，所以P在上支上，
由双曲线的定义可得：，
所以，
故选：
由双曲线的方程可得a，b的值，进而求出c的值，再由的值及双曲线的定义可得P在上半支上，进而可得的值．
本题考查双曲线的定义的应用及性质的应用，属于基础题．
 5.【答案】D 【解析】解：等差数列的前n项和为，若，，
则，，
，

故选：
直接利用等差数列和的性质，求解即可．
本题考查等差数列的性质的应用，考查计算能力，属基础题．
 6.【答案】A 【解析】解：由得圆心，半径，
直线I上存在两点A，B，使得恒成立，则以AB为直径的圆包含圆C，当AB长度最小时，两圆内切，
设AB中点为E，则此时，所以，
故选：
根据几何的思路得到当以AB为直径的圆与圆C内切，且时，线段AB长度最小，然后求AB即可．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．
 7.【答案】C 【解析】解：设，，
过点P，Q分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，如下所示：

则，，
因为点A为线段PQ的中点，根据梯形中位线定理可得，点A到抛物线C的准线的距离为，
因为，所以在中，由余弦定理得，
所以，
又因为，所以，当且仅当时，等号成立显然存在，
所以，则的最小值为
故选：
设出线段FP，FQ的长度，用余弦定理求得PQ的长度，利用抛物线的定义以及梯形的中位线长度的计算，从而转化为m，n的关系式，再结合不等式即可求得其最小值．
本题考查抛物线中的最值问题，处理问题的关键是充分利用抛物线的定义，还要注意到不等式的应用，属于中档题．
 8.【答案】A 【解析】解：由题意可得：，，
设的内切圆半径为r，

所以，
因为的内切圆半径的最大值为，
所以，
因为，
所以，可得，
又因为椭圆的长轴长为4，即，
由，求得，所以的面积的
故选：
设的内切圆半径为r，则，结合，，，，可得，再由即可求解．
本题主要考查椭圆的性质，属于中档题．
 9.【答案】BC 【解析】解：对于A，直线在y轴上的截距是，故A错误，
对于B，直线，即，
直线的斜率，直线与y轴的截距大于0，
故直线经过第一、二、三象限，故B正确，
对于C，过点，且倾斜角为的直线方程为，即，故C正确，
对于D，直线在x轴，y轴上的截距为0时，
直线过点，
则直线方程为，
直线在x轴，y轴上的截距不为0时，
则可设直线方程为，
直线过点，
则，解得，
故直线方程为，
综上所述，所求直线方程为或，故D错误．
故选：
对于A，结合截距的定义，即可求解，
对于B，将直线化成斜截式，即可求解，
对于C，结合直线过点，且倾斜角为，即可求解，
对于D，分直线在x轴，y轴上的截距为0，不为0两种情况，即可求解．
本题主要考查直线方程的求解，属于基础题．
 10.【答案】AD 【解析】解：对选项A：，则，解得，故A正确；
对选项B：当时，两条直线重合，故B错误；
对选项C：时，：，斜率为，的方向向量是，故C错误；
对选项D：：过定点，故原点到直线的最大距离为，故D正确．
故选：
根据垂直关系计算得到A正确；当时，两条直线重合，B错误；计算斜率得到C错误；过定点，最大距离为，计算得到D正确，得到答案．
本题主要考查直线垂直，平行的性质，属于基础题．
 11.【答案】D 【解析】解：以 A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，x轴的正方向建立空直角坐标系如图所示：


由题意可知，，，，，，
所以，，，，
对于选项A，因为，所以，不垂直，即EF，AD不垂直，所以直线EF与平面PAD不垂直，故A错误；
对于选项B，设平面 EFC的法向量为，
则，令，则，，所以
因为，所以，所以直线ab与平面EFC不平行，故B错误；
对于C，设点F到直线CD的距离为h，，，
则，即，所以点F到直线CD的距离为，故C错误；
设点A到平面EFC的距离为d，，则，所以点A到平面EFC的距离为，故D正确．
故选：
根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标及平面EFC的法向量，利用向量垂直条件及线面垂直的定义及线面平行的向量关系，结合点到直线的距离及点到面的距离的向量公式即可求解．
本题考查空间中直线与平面位置关系的判断，考查向量法求空间距离的问题，是中档题．
 12.【答案】BCD 【解析】解：由，
得，即，又，，
所以是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，即，
所以，故A错误，C正确；
，所以为递增数列，故B正确；
，
所以数列的前n项和为，故D正确．
故选：
根据递推关系求得数列的通项公式，从而对选项ABC一一判断即可；利用裂项相消法求数列的前n项和，即可判断
本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
 13.【答案】6 【解析】解：等差数列中，，则，
故答案为：
由等差数列的性质可直接求解．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
 14.【答案】20 【解析】解：正项等比数列中，
…
，
故答案为：20
利用等比数列的定义和性质，把要求的式子化为，把条件代入并利用对数的运算性质求出结果．
本题主要考查等比数列的定义和性质，对数的运算性质的应用，属于中档题．
 15.【答案】 【解析】解：设，，图像如图所示，

当直线与半圆相切时，圆心O到直线的距离，即，
解得：舍，或，
当直线过点时，可求得直线的斜率，
则利用图像得：实数k的范围为
故答案为：
画出和的图像，数形结合得出实数k的范围．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查转化思想与数形结合思想的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 16.【答案】 【解析】解：设，，
点P在椭圆上，，①，
又点P在双曲线上，，②，
则①+②得；①-②，
在中由余弦定理得：，
，
，
，
，
，
令，
则，

故答案为：
根据椭圆与双曲线的定义把，用，来表示，然后在中用余弦定理求出，的关系，然后再用函数思想即可求解．
本题考查椭圆与双曲线的几何性质，方程思想，余弦定理的应用，函数思想的应用，属中档题．
 17.【答案】解：设圆A的半径为R，因为圆A与直线：相切，
，圆A的方程为
①当直线l与x轴垂直时，易知符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，设直线的方程为，即
连接AQ，则，，，
则由得，直线l为：，
故直线l的方程为或 【解析】利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；
根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程
本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题，属于中档题．
 18.【答案】证明：，

，
又，
数列是首项为3、公比为4的等比数列；
解：由可知，即，
 【解析】利用，化简可知，进而可知数列是首项为3、公比为4的等比数列；
通过可知，进而利用分组求和法计算即得结论．
本题考查数列的通项及前n项和，考查分组求和法，注意解题方法的积累，属于中档题．
 19.【答案】解：证明：在三棱台中，
，平面平面，
又平面平面，平面平面，
，又，
；
平面ABC，在平面ABC内作，
以A为原点，AC，分别为y轴，z轴，建立空间右手直角坐标系，如图，
则，，，，，，
，，，
设平面所的法向量为，
则，取，
设直线与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为 【解析】根据面面平行的判定定理，坐标法，向量的数量积的概念，即可分别求解；
建系，利用向量法即可求解．
本题考查面面平行的性质定理，向量法求解线面角问题，化归转化思想，属中档题．
 20.【答案】解：证明：因为，O是BD中点，所以，
又，，所以平面BCD，
因为平面ABD，平面平面
以O为坐标原点，OA为z轴，OD为y轴，过O且垂直OD的直线为x轴，建立如图空间直角坐标系，为边长为1的等边三角形，

则，，，设，，
因为，所以，
所以，，
设为平面EBC的一个法向量，
则，即，令，
又平面BCD的一个法向量为，所以，
解得，所以，，所以，
所以三棱锥的体积为 【解析】先证明平面BCD，再由平面与平面垂直的判定定理证明平面平面BCD；
建立空间直角坐标系，计算平面EBC和平面BCD的法向量，根据二面角的大小为，求出OA的长，计算三棱锥的体积．
本题主要考查平面与平面垂直的判定，二面角的大小，棱锥的体积公式，考查运算求解能力，属于中档题．
 21.【答案】解：将双曲线的方程化为标准形式得：，
所以其右顶点为，即为抛物线C：的焦点，
所以，解得，
所以C的方程为
设直线MN方程为：，，
直线ST方程为：，，，
由，得，
所以，
由，得，所以，
所以，
，
所以，假设存在，使得，则，
所以，存在常数，使成立， 【解析】根据双曲线与抛物线的性质得，进而得答案；
设直线MN方程为：，，，直线ST方程为：，，，进而分别与抛物线方程联立并结合弦长公式，韦达定理得，，进而得答案．
本题主要考查双曲线的性质，直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
 22.【答案】解：已知点与，动点满足直线AM，BM的斜率之积为，
，，
化简得；
设，则直线的方程为，
联立得，，
直线TB的方程为，
联立得，



，
当且仅当时等号成立，最大值为，
即与面积之比的最大值为 【解析】根据题意列出方程，整理后得到曲线C的方程，去掉不合要求的点；
设出直线TA的方程，联立椭圆方程，得到E点横坐标，同理设出直线TB的方程，联立椭圆方程，得到F点横坐标，利用三角形面积公式及边的比例关系得到，利用基本不等式求出结果．
本题考查了直线与椭圆的综合运用，属于中档题．