重庆市第八中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1. 已知集合，集合，则（）
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定是（）
A ，B. ，
C. ，D. ，
3. 已知扇形面积为，半径为1，则此扇形的周长为（）
A. B. C. D.
4. 已知，，，则下列选项中是“”的一个充分不必要条件的是（）
A. B.
C. D.
5. 已知，且，则（）
A. 0B. C. D.
6. 冬季是流感高发期，其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数与世代间隔是流行病学基本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析，可以用函数模型来描述累计感染甲型流感病毒的人数随时间t，（单位：天）的变化规律，其中指数增长率与基本再生数和世代间隔T之间的关系近似满足，根据已有数据估计出时，．据此回答，累计感染甲型流感病毒的人数增加至的3倍至少需要（参考数据：，）（）
A. 6天B. 7天C. 8天D. 9天
7. 已知函数，若，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
8. 已知实数，满足，，，则（）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，且，则（）
A. B.
C. D.
10. 已知正边形的边长为，内切圆的半径为，外接圆的半径为，则（）
A. 当时，B. 当时，
C. D.
11. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.称为高斯函数，其中，且表示不超过的最大整数，例如，.设函数，则（）
A. B. 是周期函数
C. 的值域为D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数.若的定义域为，则实数的取值范围为______.
13. 已知锐角，满足，且，则______.
14. 若函数，对任意，总存在，使，则实数的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，
（1）求；
（2）若，求取值范围.
16. 已知函数，.
（1）若的周期是，求的解集；
（2）已知，，，求值域.
17. 如图，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是，从点沿海岸正东处有一个小镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是，（单位：）表示他从小岛到城镇的时间，（单位：）表示此人将船停在海岸处距点的距离.
（1）请将表示为的函数，并写出定义域；
（2）如果将船停在距点处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到）？
（3）设，证明：，并求将船停在海岸处距点多远时从小岛到城镇所花时间最短？
18 已知函数，.
（1）设，把表示为的函数；
（2）设，记的最大值为.
①求；
②求不等式解集.
19. 已知函数.
（1）求值：；
（2）判断函数的单调性，并证明：有且仅有两个零点；
（3）设，为的两个不同零点，证明：.