浙江省金丽衢十二校2026届高三上学期第一次联考数学试卷含答案（word版）

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一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 22
13. −5,−103 (闭区间不扣分)
14. 1
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 解: (1) fx=3sin2x−cs2x−1+1=2sin2x−π6 , 3 分因此最小正周期为 T=2π2=π , 4 分
当 x∈0,π2 时, 2x−π6∈−π6,5π6 ,因此 fxmin=f0=−1 . 6 分
(2)由 fA=2 得 A=π3+kπk∈Z ，又 A∈0,π 故 A=π3 ， 8 分
由 S△ABC=3 得 12bcsinA=3 从而 bc=4 , 10 分
由余弦定理得 a=b2+c2−2bccsA=b+c2−2bc1+csA=13 . 13 分
16. 解: (1) 由抛物线定义可得 PF=3p2=3 ,因此 p=2 3 分
所以抛物线 C 的方程为 y2=4x ,焦点 F 的坐标为 1,0 5 分
(2)设直线 AB 的方程为 x=my+1 ,与 y2=4x 联立，消元可得 y2−4my−4=0 ， Δ=16m2+1, 8 分
故 AB=1+m2y1−y2=1+m2Δa=41+m2=6 ; 10 分得 m=±22 . 12 分
原点 O 到直线 AB 的距离为 d=11+m2=132=63 ， 14 分
所以 S△ABP=12d⋅AB=6 . 15 分
17. 解: (1) 取 AB 的中点 E ,连结 OE,SE ,由于点 O 是正三角形 △ABC 的中心,故 CO=2OE ,因此 OD//SE , 2 分
而 OD⊄ 平面 ABS,SE⊂ 平面 ABS ,所以 OD// 平面 ABS .5 分
(2)(i)由于 SA=SB ，故 SE⊥AB .
又因 CE⊥AB,SE∩CE=E ，故 AB⊥ 平面 SCE . 7 分
而 AB⊂ 平面 ABC ,因此平面 SOC⊥ 平面 ABC 8 分
(ii) 方法一:
以 E 为原点， EB 为 x 轴， EC 为 y 轴，建立空间直角坐标系， 9 分
得平面 ABC 法向量为 n1=0,0,1 . 10 分
O0,3,0,A−3,0,0,C0,33,0 .
因此 AO=3,3,0 .
设 S0,y,zz>0 .
则 9+y2+z2=232=120+y−332+z2=36 ,解得 y=−33z=263 .
因此 OS=0,−433,263 . 11 分
设平面的 SOA 的法向量为 n2=a,b,c ,
则 n2⋅AO=0n2⋅OS=0 ,即 3a+3b=0−433b+263c=0 .
取 a=1 得 n2=1,−3,−6 . 13 分
∴csn1,n2=n1⋅n2n1⋅n2=61×10=155
∴ 平面 SOA 与平面 ABC 夹角的正切值为 63 . 15 分
方法二:
作 SH⊥OC 于点 H ,作 HG⊥OA 于点 G ,取 AB 中点 E ,连结 SG,SE .
由 (i) 得平面 SOC⊥ 平面 ABC ,平面 SOC∩ 平面 ABC=OC,SH⊂ 平面 SOC 故 SH⊥ 平面 ABC . 10 分
因此 SH⊥OA ,又 HG⊥OA,SH∩HG=H ,故 OA⊥ 平面 SHG ,得 OA⊥SG .
又 SG⊂ 平面 SOA,HG⊂ 平面 ABC ,平面 SOA∩ 平面 ABC=OA ,
因此 ∠SGH 就是平面 SOA 与平面 ABC 的夹角(或其补角). 11 分
在 △SAB 中,由 SA=SB=23,AB=6 得 SE=3 .
在 △SCH 中, SC=6,CE=33 , SE=3 得 cs∠SEC=−13 ,即 cs∠SEH=13 ,
计算得 EH=33,SH=263 .13 分
在 △ABC 中,由 HG⊥OA,∠AOH=60∘,OH=433 得 HG=2 ,
所以 tan∠SGH=SHHG=2632=63 ,即平面 SOA 与平面 ABC 夹角的正切值为 63 .15 分
18.(1)当 n=4 时，甲袋中 2 黑 2 白，乙袋中 3 黑 2 白. 2 分 ∴p=12×12+12×25=14+15=920 . 5 分
(2)(i)取到白球等价于选中乙袋.
设取出白球个数为 X ,则 X∼B5,12 . 9 分
∴EX=5×12=52 . 11 分
(ii) 事件 A 等价于前 2n−1 次操作中就已经摸出所有白球,
即掷骰子至多 2n−1 次就出现了 n 次偶数, 14 分
(以此列式 PA=k=n−12n−2Ckn−12k+1 即可得分)
不妨设掷骰子掷满 2n−1 次, 16 分
用 Y 表示其中掷出偶数的次数,则 Y∼B2n−1,12 ,
所以PA=PY≥n=122n−1C2n−1n+C2n−1n+1+⋯+C2n−12n−1=12. 17 分
19. 解: (1) 记函数 fx=tanx−x0f0=0 ,所以 tanx>x0