浙江省金丽衢十二校2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试卷

这是一份浙江省金丽衢十二校2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知一个球的表面积与体积的数值相等，则这个球的体积为（ ）
A．3B．12C．D．
3．已知，，且与互相垂直，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．已知非零实数，满足，则“”是“，均为正数”的（ ）
A．充分但非必要条件B．必要但非充分条件
C．充要条件D．既非充分条件也非必要条件
5．设等差数列的前项和是，前项积是，若，，则（ ）
A．无最大值，无最小值B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值D．有最大值，有最小值
6．函数在区间内的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，且曲线与在第一象限相交于点，为坐标原点.若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．4
8．抛掷一枚质地均匀的硬币，一直到出现正面向上时或抛满100次时结束，设抛掷的次数为，则随机变量的数学期望（ ）
A．大于2B．小于2C．等于2D．与2的大小无法确定
二、多选题
9．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
10．设函数，则（ ）
A．为的极大值点B．的图象关于中心对称
C．函数的三个零点成等差数列D．，
11．设平面内两点的坐标为Ax1,y1，Bx2,y2，定义.已知点F1−1,0，F21,0，记平面内满足的动点的轨迹为曲线，则（ ）
A．点2,0在曲线上
B．曲线围成的面积为
C．的最大值为3
D．对曲线上任意点，都有
三、填空题
12．已知，且，则 .
13．展开式中的系数为 .
14．设函数，若曲线y=fx在点x0,fx0处的切线与抛物线有且仅有一个公共点，则的值为 .
四、解答题
15．在中，角，，的对边分别为，，，满足.
(1)证明：；
(2)记的面积为，若，求角与.
16．已知函数，其中为常数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若恒成立，求的值.
17．如图，在空间几何体中，四边形为正方形，平面，，，为棱的中点，为棱上一点，满足平面.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
18．设椭圆.已知点，在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点（在右侧），且与线段交于点.
（i）证明：；
（ii）当为中点时，求直线的方程.
19．已知是给定的正整数，设是以满足下列条件①②③的函数为元素构成的集合：①定义域为；②；③，，其中，.对给定的整数，（其中），记.
(1)当时，直接写出集合和（无需说明推导过程）；
(2)若且不是3的倍数，证明：；
(3)从集合中随机取出一个函数，证明：对任意，随机事件“”发生的概率都不超过.
《浙江省金丽衢十二校2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试卷》参考答案
1．B
【分析】根据集合的交运算求结果.
【详解】由题设，则.
故选：B
2．C
【分析】利用球体的表面积公式、体积公式列方程求半径，进而求其体积.
【详解】若球的半径为，则有，可得，
所以这个球的体积为.
故选：C
3．C
【分析】根据已知，应用向量垂直关系及数量积的运算律可得，即可得答案.
【详解】由题设，，，
所以，即向量与的夹角为.
故选：C
4．C
【分析】根据不等式性质、基本不等式“1”的代换，结合充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由题设，所以，易知，均为正数，充分性成立；
由，均为正数，则，
当且仅当时取等号，故，必要性成立；
所以“”是“，均为正数”的充要条件.
故选：C
5．D
【分析】根据等差数列前n项和公式求基本量，进而确定且，讨论n判断的值，即可得答案.
【详解】令数列公差为，则，即，作差可得，
所以，则，故，
当得，当得，当得，
显然，当时，时，所以有最小值，
且，当或4时，有最大值.
故选：D
6．C
【分析】由函数零点的意义，将问题转化为两个函数在内的图象交点个数即可.
【详解】由，得，即，
令，函数在内的零点个数，
即函数在内的图象交点个数，
在同一坐标系内作出函数在内的图象，如图：

观察图象，得函数在内的图象交点个数为4，
所以函数在区间内的零点个数为4.
故选：C
7．A
【分析】根据已知有且，，联立抛物线与双曲线求交点横坐标，结合的坐标表示得双曲线参数的齐次方程，即可求离心率.
【详解】由题设且，，
将代入，则，可得，
所以，又的第一象限，则，
由，则，则，
所以，则，
所以，则，即（负值舍）.
故选：A
8．B
【分析】根据已知有第次结束抛掷的概率为，第100次结束的概率为，，再应用离散随机变量期望的求法、错位相减法及等比数列前n项和公式求.
【详解】由题意，在第次结束抛掷的概率为，第100次结束的概率为，
所以，
则，
故
，
所以.
故选：B
【点睛】关键点点睛：根据题意得到100次中各次结束抛掷对应的概率为关键.
9．BC
【分析】设出复数的代数形式，由模的意义求出，再逐项判断得解.
【详解】设，由，得，解得，
对于A，不是实数，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，由，得；由，得，，因此，D错误.
故选：BC
10．ABC
【分析】利用导数研究极值点判断A；根据的关系判断B；由是函数的一个零点，若另两个零点为，有求参数得判断C；根据B分析得，进而求不等式的解判断D.
【详解】由题设，则f′x>0得或，f′x