浙江省金丽衢十二校2023届高三上学期第一次联考数学试卷(含答案)

浙江省金丽衢十二校2023届高三上学期第一次联考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，，则(   )

A. B. C. D.

2、若复数z满(i为虚数单位)，则(   )

A. B. C. D.

3、，，则(   )

A. B.2 C. D.

4、早在一万多年前的新石器时代，生活在金丽衢地区古人就开始制作各种石器，今天在浦江上山遗址、水康湖西遗址、义乌桥头遗址等还可以见到各种当时的石器，现在农村还在使用的石磨就是从古代的石器演变而来的.如果一个石磨近似看作两个圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面直径是80cm，每个圆柱体的高为30cm，那么这两个圆柱体的表面积之和为(   )

A. B. C. D.

5、已知向量，，则是向量，夹角为钝角的(   )

A.充要条件 B.既不充分也不必要条件

C.必要不充分条件 D.充分不必要条件

6、从2至7的6个整数中随机取3个不同的数，则这三个数作为边长可以构成三角形的概率为(   )

A.70% B.65% C.60% D.50%

7、已知，，，则(   )

A. B. C. D.

8、定点A和动点P是抛物线上的两点，点B与点A关于x轴对称，其中P与A、B不重合，且P的纵坐标为t，直线，的斜率之差为m，斜率之积为n，当t从小到大变化时，的变化情况是(   )

A.先变小后变大 B.先变大后变小 C.一直不变 D.以上情况都不对

二、多项选择题

9、数列的通项为，它的前n项和为，前n项积为，则下列说法正确的是(   )

A.数列是递减数列

B.当或者时，有最大值

C.当或者时，有最大值

D.和都没有最小值

10、设点A，B，C，D是曲线上的依次四点，对于四边形，下列可能成立的是(   )

A.四边形有三个内角为锐角 B.四边形有三个内角为钝角

C.四边形有且仅有三边相等 D.四边形为非等腰的梯形

11、已知函数的导函数，且，，则(   )

A.是函数的一个极大值点

B.

C.函数在处切线的斜率小于零

D.

12、正方体的棱长为1，中心为O，以O为球心的球与四面体的四个面相交所围成的曲线的总长度为，则球O的半径为(   )

A. B. C. D.

三、填空题

13、若，则________.

14、已知，是双曲线两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则点P到y轴的距离为_________.

15、已知直线和圆和曲线都经过同一点P，则n的取值范围是_________.

16、函数的最大值为_________.

四、解答题

17、将等差数列排成如图所示的三角形数阵：已知第三行所有数的和为6，第6行第一个数为.

(1)求数列的通项公式；

(2)设为数阵中第m行的第一个数，求.

18、如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，D为上的点，过，，D的截面交于E.

(1)证明：；

(2)若二面角的大小为，求几何体的体积.

19、如图，在中，点D在边上，.

(1)证明：；

(2)若，，求.

20、某校高一(1)班总共50人，现随机抽取7位学生作为一个样本，得到该7位学生在期中考试前一周参与政治学科这一科目的时间(单位：h)及他们的政治原始成绩(单位：分)如下表：

甲同学通过画出散点图，发现考试分数与复习时间大致分布在一条直线附近，似乎可以用一元线性回归方程模型建立经验回归方程，但是当他以经验回归直线为参照，发现这个经验回归方程不足之处，这些散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，成对样本数据呈现出明显的非线性相关特征，根据散点图可以发现更趋向于落在中间上凸且递增的某条曲线附近，甲同学回顾已有函数知识，可以发现函数具有类似特征中，因此，甲同学作变换，得到新的数据，重新画出散点图，发现y与x之间有很强的线性相关，并根据以上数据建立y与x之间的线性经验回归方程.

(1)预测当时该班学生政治学科成绩(精确到小数点后1位)；

(2)经统计，该班共有25人政治成绩不低于85分，评定为优秀，而且在考前一周投入政治学可复习时间不低于6h共有30人，除去抽走的7位学生，剩下学生中考前一周复习政治的时间不少于6h政治不优秀共有6人，请填写下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为政治成绩与考前一周复习时间有关.

附：，，，，，

，，

21、已知椭圆C：的长轴为4，离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)如图，过点的直线l与C交于A，B，过A，B作直线：的垂线，垂足分别为M，N，记，，的面积分别为，，，问：是否存在实数t，使得为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

22、已知函数，.

(1)当时，求函数的最小值；

(2)设，证明：曲线与曲线有两条公切线.

参考答案

1、答案：A

解析：，

或，

所以或，

故选：A.

2、答案：B

解析：解：因为，所以，则.

故选：B.

3、答案：A

解析：由得，，

则，

又，，

则，

，

故选：A.

4、答案：D

解析：解：由题意可得一个石磨底面积为：，

，

所以一个石磨的表面积为：，

所以两个石磨的表面积为：.

故选：D.

5、答案：C

解析：因为，，

又因为向量，夹角为钝角，

所以满足，

所以且，

因为推不出且，所以充分性不成立，

又因为且能推出，所以必要性成立，

所以是向量，夹角为钝角的必要不充分条件，

故选：C.

6、答案：B

解析：6个整数中取3个不同的数，共有种情况，

三个数作为边长可构成三角形的有，，，，，，，，，，，，共有13种情况，

所以概率为，

故选：B.

7、答案：D

解析：因为，，

所以，

因为，

，

所以.

故选：D.

8、答案：C

解析：设，，，(，)，

则，，

则，则，

则当t从小到大变化时，的变化情况是一直不变.

故选：C.

9、答案：ABC

解析：因为数列的通项为，则，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，因为公差，所以数列是递减数列，故选项A正确；

因为，当时，；当时，，因为，所以当或者时，有最大值，故选项B正确；

由可知：，，，所以当或者时，有最大值，故选项C正确；

根据数列前30项为正数，从第31项开始为负数可知：无最小值，

因为，当时，，但零乘任何数仍得零，所以有最小值0，故选项D错误，

故选：ABC.

10、答案：ABCD

解析：曲线为椭圆，点A，B，C，D是椭圆上的依次四点.

取，，，，如图所示，

四边形中为钝角，其余三个内角为锐角，A选项正确；

取，，，，如图所示，

四边形中为锐角，其余三个内角为钝角，B选项正确；

取，以A为圆心，2为半径作弧，与椭圆在第一象限相交于点D，在第四象限相交于点B，D为圆心，2为半径作弧，与椭圆在第一象限相交于点C，如图所示，

则四边形中，，有且仅有三边相等，C选项正确；

直线与椭圆相交于A，B两点，直线与椭圆相交于C，D两点，如图所示，

则，，四边形为非等腰的梯形，D选项正确.

故选：ABCD.

11、答案：AB

解析：令，解得，则在上单调递增，

令，解得或，则在，上单调递减，

故是函数的一个极大值点，，A、B正确；

，则，故函数在处切线的斜率大于零，C错误；

又，则，但无法确定函数值的正负，D错误；

故选：AB.

12、答案：BC

解析：由题意可知：四面体为正四面体，设球O的半径为R；

正方体棱长为1，正四面体的棱长为，

设球心O到正四面体各个面的距离为d，

正四面体体积，表面积，；

①若正四面体的一个面截球如图所示，

设小圆半径为r，则，解得：，

，解得：；

②若正四面体的一个面截图如图所示，

每个面截球所得的曲线长为，的长为，

设小圆半径为r，为正四面体侧面的中心，E为中点，

，，又，

，，

令，，

恒成立，在上单调递增，

又，，

，解得：；

综上所述：球O的半径为或.

故选：BC.

13、答案：729

解析：因为的展开式的通项，

所以含x的奇数次项的系数为负数，含x的偶数次项的系数为正数，

在中，

令可得：，

即，

故答案为：729.

14、答案：

解析：由双曲线方程可得：，，在中，由余弦定理可得：

，

即，解得：，

设点，则，

即，解得：，将点代入双曲线方程可得：，

也即点P到y轴的距离为，

故答案为：.

15、答案：

解析：联立，消去y得，

则，解得.

解方程得，

①当时，或，

当时，，，；

当时，，，；

②当时，，当时，，，

此时.

由于直线和圆和曲线均关于对称，所以根据对称性，只需计算点即可.

综上：n的取值范围是.

故答案为：.

16、答案：8

解析：由题意得：，解得：，

当时，，

当，即时取等号，

当时，，当时取等号，

当时，，

当，即时取等号，

因为，所以最大值为8.

故答案为：8.

17、答案：(1)

(2)

解析：(1)设等差数列首项为，公差为d.

由第三行所有数的和为6可得：，得.

由第6行第一个数为知，

则，

得数列的通项公式为，.

(2)由图可得，第m行有m个数字，则第m行的第一个数为第k项，

其中.

则.

，

则

.

18、答案：(1)证明见解析

(2)

解析：(1)由题：，

因为平面，平面，

所以平面，

又平面，且平面平面，

所以.

(2)过B作的垂线，垂足为F，连接，

因为平面，平面，

所以，

因为，，平面，

所以平面，

因为平面，

所以，

所以就是二面角的平面角，即有，

又，所以，

底面是边长为2的正三角形，取AB的中点G，连接CG，交AE于点H，则，

且，，故，

所以，，，

因为，所以，，E，D四点共线，

又，不平行，故，相交，且由公理可知交点必定在上，

所以几何体是三棱台，

因为，所以三棱台的高，

所以几何体的体积为

.

19、答案：(1)证明见解析

(2)

解析：(1)在中，由正弦定理知：，

即，

又，

可得，

在中，所以，所以.

(2)不妨设，则，

在中，由余弦定理知；，

在中同理可知：，

在中，，

即有，

解得.

20、答案：(1)51.9分

(2)表格见解析，认为政治成绩与考前一周复习时间有关，此推断犯错误的概率不超过0.001

解析：(1)，

，

所以，且，

所以预测当时，，

即该班学生政治学科成绩约为51.9分.

(2)列联表：

零假设为：认为政治成绩与考前一周复习时间无关，

，

依据的独立性检验，推断不成立，

即认为政治成绩与考前一周复习时间有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.

21、答案：(1)

(2)时，定值，理由见解析

解析：(1)因为椭圆C：的长轴为4，离心率为，

所以，解得，，

故，

所以椭圆C的方程为.

(2)设，，：，

则，，，

则①，

联立与，消去x得，

则，得，

代入①得，

则当即时，为定值.

22、答案：(1)0

(2)证明见解析

解析：(1)解：令，

则，，

易知在R上单调递增，且，

所以时，，单调递减，

时，，单调递增，，

所以当时，函数有最小值为0；

(2)证明：曲线与曲线分别在点，处有公切线，

等价于直线与直线重合，

又，，

即，

消去得，

令，则有(*)，

曲线与曲线有两条公切线即证(*)有两个不同的解，

令，则，

因为，所以，，单调递减；，，单调递增，

故有最小值为，又，

所以在区间上有唯一零点；

下面考虑在区间上的零点情况：

先证：对任意的正数m，存在正实数，使得当时，都有(**)，

令，则，

所以当时，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以有最小值，

(i)当时，，可以是任意的正数；

(ii)当时，由(i)知，取，

则当时，都有，

所以对任意的正数m，当时，都有，

所以当，

，

当时，，

所以取时，，

所以在区间上也有唯一零点，

综上，(*)有两个不同的零点即曲线与曲线有两条公切线.