云南普洱市2025-2026学年高三上学期期末教学质量监测数学试卷（试卷+解析）

这是一份云南普洱市2025-2026学年高三上学期期末教学质量监测数学试卷（试卷+解析），共27页。试卷主要包含了答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，4B， 已知向量满足，则最小值为等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4.本卷命题范围：高考范围．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知全集，集合，则集合中元素的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
3 已知随机事件和相互独立，且，则（ ）
A. 0.4B. 0.6C. 0.7D. 0.9
4. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费时间，为此进行了5次试验，收集的数据如下表所示：
由上表的数据求得关于的经验回归方程为，则（ ）
A. 1.1B. 1.2C. 1.3D. 1.4
5. 已知向量满足，则最小值为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
6. 已知过原点且斜率为的直线与交于、两点，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数的最小值为，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在棱长为2的正方体中，是AB的中点，动点在正方体内部或表面上，若平面，则动点的轨迹所形成的区域面积为（ ）
A. 4B. C. 6D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知中，内角所对的边分别为，则（ ）
A.
B.
C. 的面积为
D. 外接圆的面积为
10. 已知函数，则（ ）
A. 函数在上单调递减
B. 曲线在点处的切线方程为
C. 恒成立
D. 恒成立
11. 已知椭圆的左，右顶点分别为是上位于第一象限内的一点，直线分别与轴交于点为坐标原点，则（ ）
A. 的离心率为
B.
C. 若是的上顶点，则存在点，使得是线段的中点
D. 当四边形的面积最大时，点的横坐标为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知角的终边经过点，则__________.
13. 已知双曲线的左焦点为是右支上的一个动点，记点到双曲线过第一象限的渐近线的距离为，则的最小值为__________.
14. 已知数列的通项公式，给出定义：使得数列的前项和为正整数的叫做“好数”，则在内所有的好数之和为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调区间；
（3）求函数在区间上的值域.
16 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有且仅有两个零点，求的取值范围.
17. 如图，在直三棱柱中，是上靠近点的五等分点.
（1）证明：平面；
（2）若是四棱锥的外接球的球心，求直线BO与平面所成角的正弦值.
18. 小张抛掷一枚硬币，若硬币正面朝上，则得1分；若硬币背面朝上，则得0分.已知小张的初始积分为0分.记小张重复拋掷一枚硬币次后的总得分为．
（1）求；
（2）当奇数时，证明：；
（3）记，求数列的前项和.
19. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率存在的直线与交于两点，点是以线段为直径的圆的圆心，点在圆上（在的右边），且轴，直线与交于另一点，直线与交于另一点.
（1）证明：圆与的准线相切；
（2）证明：；
（3）求.
零件数个
10
20
30
40
50
加工时间
40
50
60
70
90
云南普洱市2025-2026学年高三上学期期末教学质量监测数学试卷
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4.本卷命题范围：高考范围．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的乘法运算，结合复数的意义求解.
【详解】依题意，，
由复数为纯虚数，得，解得，
所以实数的值为.
故选：A
2. 已知全集，集合，则集合中元素的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】求解一元一次不等式得到，再结合补集的性质求解即可.
【详解】令，解得，
而，则，因为，所以，
则集合中元素的个数为3，故D正确.
故选：D
3. 已知随机事件和相互独立，且，则（ ）
A. 0.4B. 0.6C. 0.7D. 0.9
【答案】B
【解析】
【分析】根据乘法公式以及并事件的概率求法，即可求得答案.
【详解】因为事件和相互独立，，
∴
故选：B.
4. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集的数据如下表所示：
由上表的数据求得关于的经验回归方程为，则（ ）
A. 1.1B. 1.2C. 1.3D. 1.4
【答案】B
【解析】
【分析】由表格中的数据求得样本数据的样本中心，代入回归方程，求得即可.
【详解】由题意得，，
因为经验回归直线必过点，即点，
所以可得，解得.
故选；B
5. 已知向量满足，则的最小值为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】利用数量积的定义得，根据数量积的运算律可得，进而求出最小值.
【详解】由，得，而，则，，
因此，
当且仅当时取等号，所以的最小值为2.
故选：C
6. 已知过原点且斜率为的直线与交于、两点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析可知是腰长为的等腰直角三角形，于是得出圆心到直线的距离，可知直线的方程为，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】圆心为，半径为，易知，
因为，所以是腰长为的等腰直角三角形，
且，
故圆心到直线的距离为，
由题意可知直线的方程为，即，
由点到直线的距离公式可得，解得.
故选：D.
7. 已知函数的最小值为，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本不等式确定当时的最小值为，再利用当时的最小值为并结合分离参数法求解参数范围即可.
【详解】由题意得，当时，，
由基本不等式得，
当且仅当时取等号，此时解得，
此时的最小值为，符合题意，当时，可得，
由题意得的最小值为，则，即恒成立，
可得恒成立，令，解得，
令，解得，令，解得，
当时，可得恒成立，令，
则恒成立，可得在上单调递增，
此时，得到，
当时，恒成立，符合题意，此时，
当时，恒成立，由已知得，
则在上单调递增，当时，，此时，
综上，可得，即的取值范围为，故C正确.
故选：C
8. 如图，在棱长为2的正方体中，是AB的中点，动点在正方体内部或表面上，若平面，则动点的轨迹所形成的区域面积为（ ）
A. 4B. C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别取中点，求证平面平面，接着取中点求证四点唯一确定一个平面得到平面即为平面，再由题意得到动点的轨迹为平面四边形，求出四边形为等腰梯形即可计算求解.
【详解】分别取中点，连接，
则由正方体结构性质可知，，
所以四边形、、均为平行四边形，
所以，所以，
因为平面，在平面外，
所以平面，平面，
又，所以平面平面，
取中点，连接，则，则，
所以四点唯一确定一个平面，所以平面即为平面，
所以由题意若平面，则动点轨迹为平面四边形，
因为，
所以四边形为等腰梯形，且该梯形的高为，
由正方体结构性质可得面积为.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知中，内角所对的边分别为，则（ ）
A.
B.
C. 的面积为
D. 外接圆的面积为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用二倍角公式判断A，利用余弦定理判断B，利用三角形面积公式判断C，利用正弦定理求出外接圆的半径，再结合圆的面积公式求解面积判断D即可.
【详解】因为，所以由二倍角公式得，
在中，可得，则，得到，
解得，得到，故A正确，
对于B，由题意得，由余弦定理得，
解得（负根舍去），故B错误，
对于C，由三角形面积公式得，
则的面积为，故C正确，
对于D，设外接圆的半径为，外接圆面积为，
由正弦定理得，解得，
由圆的面积公式得，
则外接圆的面积为，故D错误.
故选：AC
10. 已知函数，则（ ）
A. 函数在上单调递减
B. 曲线在点处的切线方程为
C. 恒成立
D. 恒成立
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用指数和对数的运算化简，再利用求导判断单调性，利用求导来求切线斜率，利用导数来证明不等式即可作出选项判断.
【详解】由，得，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，故A错误；
由，,
可得在点处的切线方程为，故B正确；
由，
构造，则，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
即，故恒成立，故C正确；
由，求导得，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以，即，则，
当时,上式两边取对数可得:，
则由，可知恒成立，故D正确.
故选：BCD
11. 已知椭圆左，右顶点分别为是上位于第一象限内的一点，直线分别与轴交于点为坐标原点，则（ ）
A. 的离心率为
B.
C. 若是的上顶点，则存在点，使得是线段的中点
D. 当四边形的面积最大时，点的横坐标为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用椭圆的离心率公式判断A，作出符合题意的图形，并求出直线的方程，进而得到的坐标，进而结合在椭圆上求出定值判断B，利用中点坐标公式结合点在椭圆上建立方程组，求出进而判断C，将四边形面积合理拆分并将其表示为一元函数，利用导数求出其在处取得最大值，进而判断D即可.
【详解】对于A，由题意得，则离心率为，故A正确，
对于B，如图，作出符合题意的图形，连接，由题意得，，
设，则，，
可得的方程为，的方程为，
对于，令，解得，即，
对于，令，解得，即，
得到，，
故，
因为是上位于第一象限内的一点，所以，
化简得，则，故B正确，
对于C，由题意得，若是线段的中点，
则由中点坐标公式得，
化简得，联立方程组，
解得，即，此时不在第一象限，
即不存在点，使得是线段的中点，故C错误，
对于D，设四边形的面积为，由题意得，
而，，
则，
因为，解得，
可得，
令，则，
而，即，
令，，令，，
则在上单调递增，在上单调递减，
可得在处取得最大值，
即当四边形的面积最大时，点的横坐标为，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知角的终边经过点，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用三角函数定义，结合诱导公式、二倍角的正切公式计算得解.
【详解】依题意，，
所以.
故答案为：
13. 已知双曲线的左焦点为是右支上的一个动点，记点到双曲线过第一象限的渐近线的距离为，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】作出符合题意的图形，结合双曲线的定义对目标式合理转化得则即可.
【详解】如图，作出符合题意的图形，作出双曲线的右焦点，
作垂直于渐近线，连接，可得，
由题意得，则，
由双曲线的定义得，则，
则，当且仅当共线时取等，
因为垂直于渐近线，所以垂直于渐近线，
由题意得渐近线方程为，
由点到直线的距离公式得，
则.
故答案为：
14. 已知数列的通项公式，给出定义：使得数列的前项和为正整数的叫做“好数”，则在内所有的好数之和为__________.
【答案】6108
【解析】
【分析】根据给定条件，结合对数运算法则求出数列的前项和，再找到使其为正整数的，进而求和即得.
【详解】依题意，数列前项和
，由正整数为数列的“好数”，
得，且为正整数，由，得，
由，得，即，而数列是递增数列，
，因此，在内所有的好数之和为
.
故答案为：6108
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调区间；
（3）求函数在区间上的值域.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用两角差的正弦公式结合辅助角公式化简原函数，再利用最小正周期公式求解最小正周期即可.
（2）利用整体代入法求解单调区间即可.
（3）利用给定的自变量范围并结合正弦函数的性质求解值域即可.
【小问1详解】
由题意得
，
则函数的最小正周期为.
【小问2详解】
令，
解得，
令，
解得，
综上可得，的单调递增区间为，
的单调递减区间为.
【小问3详解】
因为，所以，
则，即函数在区间上的值域为.
16. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有且仅有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，分和两种情况讨论其单调性；
（2）结合第一问分和两种情况讨论，应用单调性结合最小值及零点存在性定理可判断零点个数；
【小问1详解】
函数，定义域为，则，
若，则，故函数在上单调递增，
若，则 得；得，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
当时，函数在上单调递增，
故函数至多有一个零点；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
且最小值为，
，
若函数有且仅有两个零点， 则， ，
所以，即，
当时，函数在上有一个零点，
且函数在内有一个零点，
所以当时，函数有且仅有两个零点.
17. 如图，在直三棱柱中，是上靠近点五等分点.
（1）证明：平面；
（2）若是四棱锥的外接球的球心，求直线BO与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）分别求证、即可由线面垂直判定定理求证平面；
（2）求出圆心位置，建立适当空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量，再由线面角的向量法公式计算即可得解.
【小问1详解】
由题可得，
所以，即，
又由直棱柱性质可知平面，平面，
所以，因为且平面，
所以平面；
【小问2详解】
分别取中点，连接，则，
所以平面，
由（1）可知即，连接交于点O，
则且为中点，，
则由题意可知四棱锥的外接球的球心为点O，
取中点，则点为外接圆圆心，
连接，则平面，
建立如图所示空间直角坐标系，则，
所以，为平面的一个法向量，
所以直线BO与平面所成角的正弦值为
.
18. 小张抛掷一枚硬币，若硬币正面朝上，则得1分；若硬币背面朝上，则得0分.已知小张的初始积分为0分.记小张重复拋掷一枚硬币次后的总得分为．
（1）求；
（2）当为奇数时，证明：；
（3）记，求数列的前项和.
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）由，再由二项分布的概率公式计算可得；
（2）先设，将所证不等式转化为，再结合二项分布的概率公式即可证明；
（3）由二项分布的期望公式可得，进而可得，再结合分组求和可得.
【小问1详解】
因为每次抛掷硬币正面朝上的概率为，且各次抛掷相互独立，
所以服从参数为的二项分布，即，
所以，
得
【小问2详解】
当为奇数时，设，则，，
所以只需证.
根据二项分布的概率公式，
，
所以，故原不等式成立.
【小问3详解】
由二项分布的期望公式为，其中，即
所以，
得
所以
.
故.
19. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率存在的直线与交于两点，点是以线段为直径的圆的圆心，点在圆上（在的右边），且轴，直线与交于另一点，直线与交于另一点.
（1）证明：圆与的准线相切；
（2）证明：；
（3）求.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）3
【解析】
【分析】（1）对的情况分类讨论，再结合韦达定理与中点坐标公式求出，利用焦半径公式求出，最后结合相切的定义求解即可.
（2）先求出，再将转化为，利用韦达定理结合题意求出，得到，最后结合两直线不重合判断平行即可.
（3）利用弦长公式得到，再构造并结合韦达定理得到，最后求出，利用焦半径公式得到，进而得到的值即可.
【小问1详解】
如图，作出符合题意的图形，
当的斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意，排除，
当的斜率不为0时，设方程为，，
联立，消得，，
则，得到，
由中点坐标公式得线段的中点坐标为，
则到准线的距离为，
由焦半径公式得，
则，即圆与的准线相切.
【小问2详解】
设，而点在圆上，
且轴，可得，设，
因为在抛物线上，所以，，
则，
设的方程为，的方程为，
联立方程组，得到，
由韦达定理得，即，
联立方程组，得到，
由韦达定理得，即，
则，
而，
，
得到，，
而
，
则，即，
可得，且不重合，故.
【小问3详解】
由已知得，，，
由弦长公式得
，
因为，，
所以
，而，则，
由题意得，
因为，所以，
由题意得，
可得
，即，
得到，可得，，
则，
而，，
可得，
，
则
，
可得
故.
零件数个
10
20
30
40
50
加工时间
40
50
60
70
90