云南省大理白族自治州大理市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量监测数学试卷（解析版）

这是一份云南省大理白族自治州大理市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量监测数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知得，所以.
故选：C.
2. 已知，则（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，.
故选：D.
3. 若关于实数的不等式的解集是或，则关于的不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵关于的一元二次不等式的解集是或，
∴，2是一元二次方程的两个实数根，
∴由韦达定理得：，，即，，
不等式化为，即，
解得，∴不等式的解集为.
故选：D.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，得，
由，得，故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 函数，则零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】易知是上的增函数，且，，
由零点存在定理知，零点所在区间为.
故选：C.
6. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为正实数，满足，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.
故选：C.
7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数是增函数，
函数的图象开口向下，对称轴为，
所以要使函数在上单调递增，
则，解得，
因此的取值范围是.
故选：B.
8. 已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A. 是以为周期的函数
B. 当时，函数的最大值为，最小值为
C. 直线是曲线图象的一条对称轴
D. 函数在上没有零点
【答案】B
【解析】对于A，因为与不恒相等，
所以不是的周期，故A错误；
对于B，当时，，
令，则，转化为，
易知在区间上的最大值为，最小值为，
此时函数的最大值为，最小值为，故B正确；
对于C，又与不恒相等，故C错误；
对于D，，，，函数在上有零点，故D错误.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 把函数图象上所有点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. 的最小正周期为B.
C. 在上单调递增D. 的图象关于直线对称
【答案】ACD
【解析】把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，
再向左平移个单位长度，得到的图象.
对于A：函数的最小正周期为，故A正确；
对于B：当时，，故B错误；
对于C：当时，，故函数在该区间上单调递增，故C正确；
对于D：当时，，故D正确.
故选：ACD.
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 命题：“，都有”的否定为“，使得”
B. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则
C. 函数的单调递增区间是
D. 已知，，，则，，的大小关系为
【答案】BC
【解析】对于A：命题：“，都有”的否定为“，使得”，故A错误；
对于B：由是定义在上的奇函数可知，故B正确；
对于C：由题可得，解得或，所以的定义域为.
二次函数的对称轴为，且在的单调递增区间为，
根据复合函数的单调性可知：函数的单调递增区间是，故C正确；
对于D：因为，，
而，所以，所以，故D错误.
故选：BC.
11. 已知函数，函数，，则（ ）
A. 为偶函数，为奇函数
B. 对任意实数，
C. 存在实数，使得
D. 对任意实数，，都有
【答案】ABC
【解析】由函数奇偶性定义知：定义域为，，所以为偶函数，
的定义域为，，所以为奇函数，故A正确；
已知函数，函数，，
则，故B正确；
当时，，，此时满足，故C正确；
，
，
故对任意实数，，与不一定相等，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，若的周期为，则______________.
【答案】
【解析】因为周期为，所以，，
则.
13. 函数的值域是______________.
【答案】
【解析】令，则，
当且仅当“”取等号，即原函数的值域为.
14. 设函数，若且，则的取值范围是______________.
【答案】
【解析】函数，如图画出函数的大致图象，
若且，
则，，，
又，，于是，
构造函数，
由对勾函数的性质可知，在内单调递增， ，
，.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集为，集合，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，说明它是的什么条件（充分必要性）？
解：（1）集合，
集合，
由，得，，
若，，故只需使，
所以，故实数的取值范围为.
（2）由（1）可知的充要条件是，
由于，
则是的必要不充分条件.
16. 在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系如下表：
根据表格中的数据画出散点图如下：
为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③.
（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
（2）请选取表格中的，两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测至少培养多少个小时，细菌数量达到5百万个.
解：（1）最符合实际的函数模型为①，理由如下：
根据图象知函数解析式需满足函数在有定义，所以②不满足；
又随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度增长缓慢，所以③不符合，
只有①满足，故最符合.
（2）将，代入，
得，即，解得.
则.
当时，，即，解得.
所以可预测至少需培养81个小时，细菌数量达到5百万个.
17. 已知、为锐角，，.
（1）求的值；
（2）求的大小.
解：（1）因为，，所以，
所以，
，
所以.
（2）因为，所以，
因为，且，所以，
由（1）知，因为，且，所以；
所以，
所以，所以.
18. 已知函数.
（1）若为偶函数，求的值；
（2）在（1）的条件下，若，使成立，求的取值范围.
解：（1），
当函数为偶函数，所以，
即，即，
即，，此时恒成立，
的定义域为，满足题意，
.
（2）由题意得，成立，
即成立，
，，由，得，
由，可得成立，
令，
令，则，则，
，由于函数在上单调递减，故，
.
19. 已知函数.
（1）将化成的形式；
（2）求的对称中心及单调递减区间；
（3）若在上的值域为，求的取值范围.
解：（1）由题意可得：
所以.
（2）令，，解得，，
所以对称中心为，，
令，，解得，，
所以的单调递减区间为，.
（3）由题意得的最小正周期，
令，，解得，.
图象的对称轴为直线，，
若在上单调，则，，
解得，，
则
，
因为，，
可得，所以，
若在上不单调，则在上的图象上必定有一个最高点或最低点，
且在上的图象无论经过任何一个最高点或任何一个最低点，的取值范围均相同.
假设在上的图象的最高点为，则，
当，即时，，
此时取得最小值，且最小值是，
又因为，则，所以，
综上所述：的取值范围为.