四川省叙永第一中学2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题（Word版附解析）

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注意事项:
1.答卷前，考生务必把自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上.
2.考生作答时，选择题用 2B 铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用 0.5 毫米黑
色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.
3.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 抛物线 的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
2. 复数 满足 （ 为虚数单位），则 的虚部为（ ）
A. B. 1 C. D.
3. 设 ， 为平面上两个定点，动点 满足 ，则动点 P 的轨迹为
（ ）
A. 直线 B. 两条射线 C. 椭圆 D. 双曲线
4. 已知 与 是相互独立的随机事件，且 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 在直三棱柱 中，若 ， ， ，则 （ ）
A B. C. D.
6. 黄山市境内风光奇绝，拥有 12 处国家级重点风景名胜区，在五一假期期间展现出独特的旅游魅力．对于
两个旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择 景点出游的概率为 ，选择 景点出游的概率为
， 两个景点都不选的概率为 ，则 两个景点都选的概率为（ ）
A. B. C. D.
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7. 已知某圆锥的侧面展开图是面积为 的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知点 F 为椭圆 的右焦点，点 P 是椭圆 C 上的动点，点 Q 是圆 上的
动点，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B. 直线 在 轴上的截距是
C. 直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是
D. 点 关于点 的对称点为
10. 如图，棱长为 2 的正方体 中， 为 的中点，点 满足 ，
，则（ ）
A. 当 时， 平面
B. 对于任意 ，三棱锥 的体积是定值
C. 存在 ，使得 与平面 所成的角为
D. 的取值范围为
11. 已知过抛物线 焦点 的直线 与抛物线交于 两点，则下列结论正确的是（ ）
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A. 以 为直径的圆与准线相切
B. 若点 ，则 最小值为 5
C. 若直线 的倾斜角为 ，则
D. 点 为线段 中点，则点 的坐标可以是
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 椭圆 的焦距等于______.
13. 已知某中学老年教师的“亚健康”率为 50％，中年教师的“亚健康”率为 30％，青年教师的“亚健康”率为
15％．若该中学共有 60 名老年教师，100 名中年教师，200 名青年教师，则该校教师的“亚健康"率为______
．
14. 已知直四棱柱 的各棱长均为 2， ，设棱 ， 的中点分别为 ，
，若底面 内一动点 满足 ，则 的运动轨迹长度为_____.
15. 已知定点 ，点 为圆 上的动点， 为 的中点．
（1）求 的轨迹方程；
（2）若过定点 的直线 与 的轨迹交于 两点，且 ，求直线 的方程．
16. 为进一步推进农村经济结构调整，某村推出乡村文化旅游项目，在水果成熟之际举办“水果观光采摘节”
活动.现统计了 4 月份 200 名游客购买水果 情况，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）试估计消费金额的 84%分位数.
（2）若将消费金额不低于 80 元的游客称为“水果达人”，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本的“水
果达人”中抽取 5 人，再从 5 人中抽取 2 人作为幸运客户免费参加乡村旅游项目，求 2 人中至少有 1 人消费
金额不低于 100 元的概率.
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（3）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案.
方案一：每满 80 元可减 8 元；
方案二：金额超过 50 元但又不超过 80 元的部分打 9 折，金额超过 80 元但又不超过 100 元的部分打 8 折，
金额超过 100 元的部分打 7 折.
若水果的价格为 11 元/千克，某游客要购买 10 千克水果，应该选择哪种方案更优惠.
17. 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA⊥平面 ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M 为
PC 的中点．
（1）求异面直线 AP，BM 所成角的余弦值；
（2）点 N 在线段 AD 上，且 AN＝λ，若直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ，求λ的值．
18. 已知双曲线 （ ， ）的渐近线方程为 ，且经过点 ．
（1）求 的方程；
（2）直线 与 有且只有一个公共点，求 值；
（3）直线 与 交于 两点， 是坐标原点．若 的面积为 ，求 的值．
19. 已知椭圆 的焦点坐标为 ，双曲线 的渐近线方程为
.
（1）求椭圆 和双曲线 方程；
（2）直线 与椭圆 有唯一公共点 M，过点 M 且与 l 垂直的直线分别交 x 轴、y 轴于不同的两
点 ， ，当点 M 运动时，求点 的轨迹 C 的方程.
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