四川省泸州市叙永县2025_2026学年高二数学上学期1月期末试题含解析

这是一份四川省泸州市叙永县2025_2026学年高二数学上学期1月期末试题含解析，共19页。试卷主要包含了 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1.答卷前，考生务必把自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上.
2.考生作答时，选择题用 2B 铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用 0.5 毫米黑
色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.
3.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 抛物线 的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程.
【详解】抛物线的方程可化为 x2 y
故
其准线方程为 y
故选：D
2. 复数 满足 （ 为虚数单位），则 的虚部为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数代数形式的除法运算求出复数，可明确其虚部.
【详解】因为 .
所以复数 的虚部为 .
故选：B
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3. 设 ， 为平面上两个定点，动点 满足 ，则动点 P 的轨迹为
（ ）
A. 直线 B. 两条射线 C. 椭圆 D. 双曲线
【答案】B
【解析】
分析】由 即可判断.
【详解】由题可知， ，
因此动点 P 的轨迹为两条射线，
故选：B.
4. 已知 与 是相互独立的随机事件，且 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】根据和事件、相互独立事件概率计算公式求得正确答案.
【分析】依题意， 与 是相互独立的随机事件，
.
故选：D
5. 在直三棱柱 中，若 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用棱柱的结构特征及向量的加减法则，应用空间向量的基本定理，用基底表示向量即可.
【详解】根据棱柱的结构特征及向量的加减法则知 .
故选：B
6. 黄山市境内风光奇绝，拥有 12 处国家级重点风景名胜区，在五一假期期间展现出独特的旅游魅力．对于
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两个旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择 景点出游的概率为 ，选择 景点出游的概率为
， 两个景点都不选的概率为 ，则 两个景点都选的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】记事件 为“选择景点 ”，事件 为“选择景点 ”，先由对立事件求得 再根据一般
事件的概率加法公式即可求得结果.
【详解】记事件 为“选择景点 ”，事件 为“选择景点 ”，
则事件 为“ 两个景点都不选”，事件 为“ 两个景点都选”.
由题意得，
由 得， ，
∴ .
故选：B.
7. 已知某圆锥的侧面展开图是面积为 的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，由题意结合圆锥的特征计算可得 ， ，再由圆锥体
积公式计算即可求解.
【详解】设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，
则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以圆锥的高为 ，
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则该圆锥的体积为 ，
故选：D.
8. 已知点 F 为椭圆 的右焦点，点 P 是椭圆 C 上的动点，点 Q 是圆 上的
动点，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出图形，利用椭圆的定义和几何性质以及圆的几何性质可得 、 、
，进而 ，即可求解.
【详解】如下图所示：
在椭圆 中， ，则 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
圆心 为椭圆 C 的左焦点，
由椭圆定义可得 ，
由椭圆的几何性质可得 ，即 ，
由圆的几何性质可得 ，
所以 ，
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所以 的最小值是 ．
故选：C．
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B. 直线 在 轴上的截距是
C. 直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是
D. 点 关于点 的对称点为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A 选项根据倾斜角和斜率概念可知，B 选项将 代入求解 即可，
C 选项求出横纵截距再代入面积公式即可，D 选项根据中点坐标公式可以求解.
【详解】当倾斜角 90°时，斜率不存在，A 正确；
直线 与 轴的交点是 ，故在 轴上的截距是 ，B 正确；
直线 与两坐标轴的交点坐标为 与 ，故与两坐标轴围成的三角形的面积为
，C 错误；
设对称点为 ，则 ，可得对称点为 ，D 正确．
故选：ABD
10. 如图，棱长为 2 的正方体 中， 为 的中点，点 满足 ，
，则（ ）
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A. 当 时， 平面
B. 对于任意 ，三棱锥 的体积是定值
C. 存在 ，使得 与平面 所成的角为
D. 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据空间中点线面的位置关系，以及线面垂直的判定定理，判断选项 A 的正误；根据三棱锥的体
积公式，判断选项 B 的正误；根据向量法求线面角，判断选项 C 的正误；根据正方体的性质，建立空间直
角坐标系，根据空间向量数量积的坐标表示，判断选项 D 的正误；判断结果即可.
【详解】对 A 选项，当 时， 与 重合，平面 即平面 ，
根据三垂线定理可知 ，
因为 ，所以 平面 ，所以 A 选项正确；
对 B 选项，由正方体性质可知，点 到平面 的距离为定值，即三棱锥 的高为定值，但
的面积是变化的，
所以对于任意 ，三棱锥 的体积不是定值，所以 B 选项错误；
对 C 选项，以 为坐标原点，以 分别为 轴建系，如图所示：
则 ，设 ，
所以 ， ，
设面 的法向量为 ，
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则 ，即 ，
令 ，则 ，即面 的法向量为 ，
设 与平面 所成的角为 ，则 ，
当 时，可得 ，
化简得 ，解得 或 （舍），
所以存在 ，使得 与平面 所成的角为 ，所以 C 选项正确；
对 D 选项，可知 ，
所以 ，
所以 ，所以 D 选项正确.
故选：ACD.
11. 已知过抛物线 焦点 的直线 与抛物线交于 两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 以 为直径的圆与准线相切
B. 若点 ，则 的最小值为 5
C. 若直线 的倾斜角为 ，则
D. 点 为线段 中点，则点 的坐标可以是
【答案】ABD
【解析】
【分析】计算 和 中点到准线的距离可判断 A；根据抛物线的定义结合距离和最小计算可判断 B；
应用韦达定理计算面积可判断 C；根据点差法可判断 D.
【详解】由题意可知抛物线的焦点 ，准线方程为 ；
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设 ， 的中点 ，
则 到准线 的距离为 ， ，
所以以 为直径的圆与准线相切，故 A 正确；
过点 作 垂直于准线，垂足为 ，
则 ，当且仅当 三点共线时取等号，
所以 的最小值为 5，故 B 正确；
若直线 的倾斜角为 ，则直线 的方程为 ，即 ，
则点 到直线 的距离 ，
由 得 ，
所以 ， ，
所以 ，故 C 错误；
假设点 的坐标为 ，则 ，
由直线 与抛物线交于 两点得 ，两式相减得 ，
即 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，
即 ，点 在直线 上，
由 得 ， ，故 D 正确.
故选：ABD
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 椭圆 的焦距等于______.
【答案】4
【解析】
【分析】根据椭圆的方程，求得 的值，即可求解.
【详解】由题意，椭圆 ，可得 ，则 ，
所以椭圆的焦距为 .
故答案为： .
13. 已知某中学老年教师的“亚健康”率为 50％，中年教师的“亚健康”率为 30％，青年教师的“亚健康”率为
15％．若该中学共有 60 名老年教师，100 名中年教师，200 名青年教师，则该校教师的“亚健康"率为______
．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意直接求出该校教师的“亚健康"率即可.
【详解】根据题意，该校教师的“亚健康”率为：
％．
故答案为： .
14. 已知直四棱柱 的各棱长均为 2， ，设棱 ， 的中点分别为 ，
，若底面 内一动点 满足 ，则 的运动轨迹长度为_____.
【答案】 ##
【解析】
【分析】先根据 ，得出点 在以 为直径的球与底面 的交线上，再通过建立空间直
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角坐标系得出球心的坐标，最后根据平面几何关系即可求出.
【详解】由 ，知 ，所以点 在以 为直径的球与底面 的交线上.
以 为坐标原点，垂直于 方向， 方向， 方向分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ，故球的直径 长为 ，
球心为 的中点 .
因为球心到底面 的距离为 1，
所以底面 截球所得圆的半径为 ，圆心为 ，
则 在以 为直径的圆与菱形 的交线上，
如图，由平面几何关系得，菱形 中 ，则 ，
实际交线为劣弧 和劣弧 ，
易知 和 为等边三角形，劣弧 和劣弧 相等，
则 ，
故 的运动轨迹长为 .
故答案为: .
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15. 已知定点 ，点 为圆 上的动点， 为 的中点．
（1）求 的轨迹方程；
（2）若过定点 的直线 与 的轨迹交于 两点，且 ，求直线 的方程．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）设 点的坐标为 ，表达出点 的坐标，将其代入 中，整理可得
的轨迹方程；
（2）考虑直线 的斜率不存在和斜率存在两种情况，由点到直线距离和弦长公式进行求解，得到答案.
【小问 1 详解】
设 点的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
点 为圆 上的动点，
，化简得 ，
故 的轨迹方程为 ．
【小问 2 详解】
圆 的圆心坐标为 ，半径 ，
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，
此时圆心到直线 的距离是 ，所以 ，满足条件；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
化简得 ，
因为 ，所以圆心到直线 的距离 ，
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由圆心到直线 的距离公式得 ，
所以 ，即 ，平方得 ，
整理得 ，解得 ，故直线 的方程为 ，即 ．
综上，直线 的方程为 或 ．
16. 为进一步推进农村经济结构调整，某村推出乡村文化旅游项目，在水果成熟之际举办“水果观光采摘节”
活动.现统计了 4 月份 200 名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）试估计消费金额的 84%分位数.
（2）若将消费金额不低于 80 元的游客称为“水果达人”，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本的“水
果达人”中抽取 5 人，再从 5 人中抽取 2 人作为幸运客户免费参加乡村旅游项目，求 2 人中至少有 1 人消费
金额不低于 100 元的概率.
（3）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案.
方案一：每满 80 元可减 8 元；
方案二：金额超过 50 元但又不超过 80 元的部分打 9 折，金额超过 80 元但又不超过 100 元的部分打 8 折，
金额超过 100 元的部分打 7 折.
若水果的价格为 11 元/千克，某游客要购买 10 千克水果，应该选择哪种方案更优惠.
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【答案】（1）92 （2）
（3）方案二更优惠
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图估计百分位数.
（2）利用古典概型求对应事件的概率.
（3）分别求出两个方案的费用，进行比较，可得答案.
【小问 1 详解】
先计算各区间的频率：
：频率为 ； ：频率为 ；
：频率为 ； ：频率为 ；
：频率为 ； ：频率为 .
因为 ， .
所以消费金额的 分位数位于 之间.
由 .
所以消费金额的 分位数为 .
【小问 2 详解】
5 名“水果达人”中，消费不低于 100 元的人数为： （人），
从 5 名“水果达人”中随机抽取 2 人的抽法有 种，
至少有 1 人消费不低于 100 元的抽法有： 种，
设事件 ：2 人中至少有 1 人消费金额不低于 100 元，则 .
【小问 3 详解】
游客按方案一，购买 10 千克水果，需花费： 元；
按方案二，购买 10 千克水果，需花费： 元.
所以游客应该选择方案二更优惠.
17. 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA⊥平面 ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M 为
PC 的中点．
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（1）求异面直线 AP，BM 所成角的余弦值；
（2）点 N 在线段 AD 上，且 AN＝λ，若直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ，求λ的值．
【答案】（1） .（2）1
【解析】
【分析】（1）先根据题意建立空间直角坐标系，求得向量 和向量 的坐标，再利用线线角的向量方
法求解.
（2，由 AN＝λ，设 N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则 ＝(－1，λ－1，－2)，再求得平面 PBC 一个法向量，利用
直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ，由|cs〈 ， 〉|＝ ＝ ＝ 求
解.
【详解】（1） 因为 PA⊥平面 ABCD，且 AB，AD⊂平面 ABCD，所以 PA⊥AB，PA⊥AD.
又因为∠BAD＝90°，所以 PA，AB，AD 两两互相垂直．
分别以 AB，AD，AP x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
则由 AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4 可得
A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．
又因为 M 为 PC 的中点，所以 M(1，1，2)．
所以 ＝(－1，1，2)， ＝(0，0，4)，
所以 cs〈 ， 〉＝
＝ ＝ ，
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所以异面直线 AP，BM 所成角的余弦值为 .
（2） 因为 AN＝λ，所以 N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，
则 ＝(－1，λ－1，－2)， ＝(0，2，0)， ＝(2，0，－4)．
设平面 PBC 的法向量为 ＝(x,y,z)，
则 即
令 x＝2，解得 y＝0，z＝1，
所以 ＝(2，0，1)是平面 PBC 的一个法向量．
因为直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ，
所以|cs〈 ， 〉|＝ ＝ ＝ ，
解得λ＝1∈[0，4]，
所以λ的值为 1.
【点睛】本题主要考查了空间向量法研究空间中线线角，线面角的求法及应用，还考查了转化化归的思想
和运算求解的能力，属于中档题.
18. 已知双曲线 （ ， ）的渐近线方程为 ，且经过点 ．
（1）求 的方程；
（2）直线 与 有且只有一个公共点，求 的值；
（3）直线 与 交于 两点， 是坐标原点．若 的面积为 ，求 的值．
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【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据渐近线方程代入点 计算即可求出标准方程；
（2）联立直线和双曲线方程，对方程类型进行分类讨论即可求得 的值；
（3）联立直线 与双曲线方程，利用弦长公式以及点到直线距离求出三角形面积表达式，解方程可得 的
值.
【小问 1 详解】
由已知 ，则 ，
代入点 得 ，
所以双曲线 的方程为 ．
【小问 2 详解】
直线 与双曲线 有且只有一个公共点，
所以方程组 只有一组解，即 只有一个解，
当 ，即 时，满足题意．
当 时， ，解得 ；
所以
【小问 3 详解】
设 ， ，如下图所示：
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联立 ，化简得 ，
由 ，解得 ，且 ；
所以
原点 到直线 的距离
所以 的面积为 ；
解得 .
19. 已知椭圆 的焦点坐标为 ，双曲线 的渐近线方程为
.
（1）求椭圆 和双曲线 的方程；
（2）直线 与椭圆 有唯一公共点 M，过点 M 且与 l 垂直的直线分别交 x 轴、y 轴于不同的两
点 ， ，当点 M 运动时，求点 的轨迹 C 的方程.
【答案】（1）椭圆 ： ，双曲线 ： ；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆、双曲线几何性质求出 值，即可得方程；
（2）联立直线与椭圆方程，根据 得 ，求出 ， 坐标代入上式即
可.
【小问 1 详解】
对于椭圆 ，已知焦点坐标为 ，
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则 ， .
对于双曲线 ，渐近线方程为 ，所以 ，即 .
联立 ，将 代入 得 ，解得 ， ，
所以椭圆 的方程为 ，双曲线 的方程为 .
【小问 2 详解】
联立 ，消去 y 得 .
因为直线 l 与椭圆 有唯一公共点 M，所以 ，
化简得 .
设 ，由韦达定理 ，则 .
当 时，无不同的两点 A，B，与题意不符；
当 时，过点 M 且与 l 垂直的直线方程为 .
可得 ， ，即 ，
代入 得： ，
故点 N 的轨迹方程 .
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