四川省叙永第一中学校2024-2025学年高一下学期开学考试数学试卷（含解析）

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这是一份四川省叙永第一中学校2024-2025学年高一下学期开学考试数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出集合元素的范围，再结合交集运算得到结果.
【详解】，
又，所以.
故选：B.
2. “”是“”的（）
A. 必要且不充分条件B. 充分且不必要条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的定义计算即可.
【详解】显然由不能推出，此时可以为0，即不满足充分性；
而可以推出，满足必要性.
故选：A
3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（）
A. 与B. 与（且）
C. 与D. 与
【答案】B
【解析】
【分析】
分析各个选项中每组函数的定义域和对应关系，若定义域和对应关系均相同则为同一个函数，由此判断出正确选项.
【详解】A．的定义域为，的定义域为，所以不是同一个函数；
B．与的定义域均为，且即为，所以是同一个函数；
C．的定义域为，的定义域为，所以不是同一个函数；
D．的定义域为，的定义域为，所以不是同一个函数，
故选：B.
【点睛】思路点睛：同一函数的判断步骤：
（1）先判断函数定义域，若定义域不相同，则不是同一函数；若定义域相同，再判断对应关系；
（2）若对应关系不相同，则不是同一函数；若对应关系相同，则是同一函数.
4. 命题“，”的否定为（）
A ，B. ，
C ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，判断即可.
【详解】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论可得，
命题“”的否定为：.
故选：B.
5. 下列函数中最小正周期为且是奇函数的为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦函数、余弦函数，正切函数的奇偶性以及周期公式逐项判断即可.
【详解】对于A，的最小正周期，故A错误；
对于B，为非奇非偶函数，故B错误；
对于C，为奇函数，且最小正周期为，故C正确；
对于D，为偶函数，故D错误.
故选：C.
6. 生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把已知代入丰富度指数公式，然后两式消去后，由对数运算可得结论．
【详解】由已知，，所以，即，∴，
故选：D．
7. 已知正实数满足，则的最小值为（）
A. 6B. 8C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得到，进而化简，然后用基本不等式求得答案.
【详解】因为，所以，当且仅当时取“=”.
故选：B.
8. 已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，设，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由奇函数的性质可得在上为减函数，比较的大小，结合函数的单调性分析可得答案.
【详解】根据题意，函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，
则在上也是减函数，则在上为减函数，
.
所以，
所以.
故选：C
二、选择题：本大题共小3题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选的得0分.
9. 下面说法正确的有（）
A. 化成弧度是
B. 终边在直线上角的取值集合可表示为
C.
D. 若角为第四象限角，则，
【答案】AD
【解析】
【分析】化度为弧度判断A；求出角的集合表示判断B；求出正弦值判断C；确定正余弦值的符号判断D.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，终边在直线上的角的取值集合可表示为，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，角为第四象限角，则，，D正确.
故选：AD
10. 若，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用不等式的性质、结合基本不等式逐项判断即可.
【详解】对于A，由，得，A正确；
对于B，由，得，B错误；
对于C，由，得，则，，C正确；
对于D，由，得，则，D错误.
故选：AC
11. 函数满足：.已知当时，，则（）
A. B. 为周期函数
C. 为偶函数D. 方程恰有3个解
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数周期、偶函数的定义，结合赋值法，数形结合思想逐一判断即可.
【详解】A：在中，令中，
有，所以本选项不正确；
B：由，
所以由，
所以是周期为的周期函数，因此本选项正确；
C：时，，而，
显然当时，函数偶函数，
又因为函数的周期为，所以函数是实数集上的偶函数，因此本选项正确；
D：因为函数的周期为，且为偶函数，
所以函数图象如下图所示：

由数形结合思想可知：函数的图象与一次函数的图象有三个交点，
因此方程恰有3个解，所以本选项正确，
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断函数的奇偶性和周期性，运用转化思想和数形结合思想判断方程解的个数问题.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知幂函数的图象过原点，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用幂函数的定义和性质可得出关于实数的等式与不等式，即可得出实数的值.
【详解】因为幂函数的图象过原点，则，解得.
故答案为：.
13 若，且，则______．
【答案】6
【解析】
【分析】根据指对互化，结合换底公式即可求解.
【详解】由可得，
故，
由于，故，
故答案为：6
14. 若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数单调性，结合函数零点存在定理即可得到答案.
【详解】因为在上均为增函数，
则函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断，
故若在区间上存在零点，则，可得．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，，．
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据交集运算求解；
（2）根据子集关系列式运算得解.
【小问1详解】
，
．
【小问2详解】
因为成立，．
由得，解得.
所以实数的取值范围为.
16. 已知不等式的解集为．
（1）求，的值；
（2）若不等式对于均成立，求实数取值范围．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得和是关于的方程的两根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；
（2）依题意可得不等式对于均成立，分与两种情况讨论，分别计算可得.
【小问1详解】
因为不等式的解集为，
所以和是关于的方程的两根，
由根与系数的关系知，，解得，；
【小问2详解】
由（1）知，不等式对于均成立，
当时，不等式为恒成立，
当时，应满足，解得
综上，实数的取值范围是．
17. 已知.
（1）化简；
（2）若是第三象限的角，且，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式化角,约分化简即可；
（2）由诱导公式得，根据同角三角函数平方关系及角的范围得,代入数值得.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
因为，所以，又是第三象限的角，
所以，故.
18. 某公司的股票在交易市场过去的一个月内（以30天计），第天每股的交易价格满足函数关系（单位：元），第天的日交易量（万股）的部分数据如下表，给出以下四个函数模型：
①；②；③；④.
（1）请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票日交易量（万股）与时间第天的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式；
（2）根据（1）的结论，求出该股票在过去一个月内第天的日交易额的函数关系式，并求其最小值.
【答案】（1）选择模型②，
（2），441（万元）
【解析】
【分析】（1）股票价格不可能是单调的得出选择模型②，代入具体值求出函数解析式；
（2）首先写出的解析式，然后再根据函数单调性和基本不等式求出最值.
【小问1详解】
由表格数据知，当时间变换时，先增后减，而①③④都是单调函数所以选择模型②，
由，可得，解得，
由，解得，
所以与时间的变化的关系式为.
【小问2详解】
由（1）知：
所以.
当时，由基本不等式，可得，
当且仅当时，即时等号成立，
当时，为减函数，
所以函数的最小值为，
综上，当时，函数取得最小值441（万元）.
19. 经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是．
（1）已知函数，且，求的值；
（2）证明函数图象的对称中心为；
（3）已知函数，求的值．
【答案】（1）；
（2）证明见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）由知，，根据易求的值；
（2）根据题意，要证函数图象的对称中心为，只需证，其中是奇函数；
（3）通过待定系数法求出函数的对称中心，得到，进而利用倒序相加法求得解.
【小问1详解】
∵，∴，
∴，∴，∴；
∵函数为奇函数，∴函数的图象关于点对称，
∴，∴，∴；
【小问2详解】
∵，
令，则
∵，定义域关于原点对称，，
∴为奇函数.
∴函数图象的对称中心为
【小问3详解】
假设函数图象有对称中心且对称中心为，
则，∴，
∴，∴∴，，
∴函数有对称中心，∴，
令，，
相加得，
∴．
10
15
20
25
30
50
55
60
55
50