湖南师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题（Word版附解析）

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时量：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C D.
3. 已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记m，＝n，则＝（ ）
A. 3m－2nB. －2m＋3n
C. 3m＋2nD. 2m＋3n
5. 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
6. 已知，且，则的最小值是（ ）
A 9B. 1C. 3D.
7. 若函数部分图象如图所示，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
8. 已知函数，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. “”是“”的充分条件B. 若，则
C. 若，则的最小值为2D. ，
10. 已知函数，把函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法不正确的是（ ）
A. 函数是奇函数B. 当时，函数的值域是
C. 函数图象关于直线对称D. 函数在区间上单调递增
11. 已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当，，则下列说法中正确的有（ ）
A. 函数的图象关于直线对称B. 4是函数的周期
C. D. 方程恰有4个不同的根
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知幂函数的图象过点，则___________．
13. ______
14. 如图，有一块扇形草地，已知半径为，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧上，且线段平行于线段，则矩形的面积S最大值为______．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知．
（1）利用诱导公式将化简，并求值；
（2）若，求的值．
16. 已知函数为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）设，若不等式对恒成立，求实数m的取值范围．
17. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，室温是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中a是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数，某日室温为，上午9点小泽使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到，9点分时，壶中热水自然冷却到．
（1）求9点起壶中水温（单位：）关于时间t（单位：分钟）的函数；
（2）若当日小泽在1升水沸腾（）时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态，已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值时，设备不加热，当壶内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致，问养生壶（在保温状态下）多长时间后第二次开始加热？（结果保留整数）
（参考数据：，）
18 已知，，函数．
（1）求函数的解析式及图象的对称中心；
（2）若，且，求的值；
（3）设，若方程在上有解，求实数m的取值范围．
19. 已知函数，．
（1）证明：对，；
（2）记，，证明：对，；
（3）若，直线分别与函数，，图象的交点的横坐标为判断的大小关系，并证明．