浙江省湖州市2025-2026学年高一上学期2月期末数学试题（试卷+解析）

这是一份浙江省湖州市2025-2026学年高一上学期2月期末数学试题（试卷+解析），共22页。试卷主要包含了 已知函数，则在上的最小值为， “函数在上单调递增”是“”， 下列不等式正确的是， 已知函数，则下列结论正确是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答.
2.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边在直线上，则（ ）
A B. C. D. 3
3. 已知函数，则在上的最小值为（ ）
A. B. C. D.
4. “函数在上单调递增”是“”（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 下列选项中满足最小正周期为，且在上单调递减的函数为（ ）
A. B.
C. D.
6. 从盛有1升纯酒精的容器中倒出升，然后用水填满，再倒出升，又用水填满，重复进行上述操作，至少经过n次后，容器中的纯酒精少于升，则（ ）
（参考数据：，）
A. 10B. 12C. 14D. 16
7. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为（ ）
A. B. 1C. D.
8. 设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，.若，则（ ）
A. B. 2C. 3D. 6
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列不等式正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
10. 已知函数，则下列结论正确是（ ）
A. 函数的图象关于直线对称
B. 把曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到的图象
C. 若函数在有且只有3个零点，则
D. 若函数在上单调递减，则
11. 已知是函数的零点（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C D.
第Ⅱ卷（非选择题部分，共92分）
注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数为奇函数，则________.
13. 在中国古代扇子文化中，扇子不仅是纳凉用品，还是装饰品、艺术品、身份地位的象征.如图扇形中，，，，则该扇面的面积为________.

14. 已知实数满足，则的最小值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，集合，.
（1）若，求，；
（2）是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.
16. 设函数的最小正周期为，且.
（1）求和的值；
（2）填写下表，并在给定坐标系中作出函数在一个周期内的简图；
（3）求函数，的值域.
17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
（1）若，求边c的值；
（2）若.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求的面积.
18. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.
（1）判断函数的奇偶性，并证明；
（2）求函数的解析式并写出其单调性（无需证明）；
（3）令，且对于任意的恒成立，求实数m的取值范围.
19. 已知函数，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且.（其中为自然对数的底数）
（1）求的值；
（2）若函数存在零点，求k的取值范围；
（3）设函数，若对任意的，的函数值非负，求的最小值.0
x
湖州市2025学年第一学期期末调研测试卷
高一数学
注意事项：
1.本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答.
2.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集运算的定义，即可得答案.
【详解】因为，，
所以.
故选：C
2. 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边在直线上，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】在直线上取一点，根据正切函数的定义，即可得答案.
【详解】在直线上取点，
则.
故选：D
3. 已知函数，则在上的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，可得的单调性，进而可得的单调性，代入数据，分析计算，即可得答案.
【详解】因为为开口向上，对称轴为的抛物线，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则在上单调递增，在上单调递减，
又，
所以在上的最小值为.
故选：A
4. “函数在上单调递增”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，可得m的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.
【详解】函数为开口向上，对称轴为的抛物线，
由上单调递增，可得，
所以“函数在上单调递增”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5. 下列选项中满足最小正周期为，且在上单调递减的函数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据周期公式及三角函数的单调性，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】选项A：的最小正周期为，故A错误；
选项B：的最小正周期，当，，
由正弦函数的性质可得，在单调递增，故B错误；
选项C：的最小正周期为，且在上单调递增，故C错误；
选项D：最小正周期为，
由B项得在单调递减，故D正确.
故选：D
6. 从盛有1升纯酒精的容器中倒出升，然后用水填满，再倒出升，又用水填满，重复进行上述操作，至少经过n次后，容器中的纯酒精少于升，则（ ）
（参考数据：，）
A. 10B. 12C. 14D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】分析可得第n次后，纯酒精剩余升，根据条件，结合对数的运算性质，化简计算，即可得答案.
【详解】第一次倒出升，纯酒精剩余升，
第二次倒出升，纯酒精剩余升，
第n次后，纯酒精剩余升，则，
两边同取以10为底的对数得，
则，所以，
则的最小值为12.
故选：B
7. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件，结合二倍角公式和正弦定理，可得，根据余弦定理，可得a值，根据勾股定理，可得角，代入面积公式，即可得答案.
【详解】因为，所以，
由正弦定理得，
又，则，所以，
由余弦定理得，
整理得，解得或（舍），
所以，即角，
所以的面积.
故选：C
8. 设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，.若，则（ ）
A. B. 2C. 3D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件，整理变形，可得的周期和对称中心，结合的解析式，代入求解，可得a，b的值，根据的周期，即可求得答案.
【详解】因为为偶函数，所以，则，
因为为奇函数，所以，则，
所以，则，
所以，则，
所以，则的周期为8，
所以，
又为奇函数，图象关于对称，
所以的图象关于对称，即，则，
所以，解得，则，
所以.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列不等式正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据不等式性质，可判断A的正误；根据指数函数的单调性，可判断B的正误；代入特殊值检验，可判断C的正误；利用作差法，可判断D的正误.
【详解】选项A：若，则，故A正确；
选项B：因为在R上单调递增，且，所以，故B正确；
选项C：当时，满足，
此时，，则，故C错误；
选项D： ，
因为，所以，
所以，即，故D正确.
故选：ABD
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的图象关于直线对称
B. 把曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到的图象
C. 若函数在有且只有3个零点，则
D. 若函数在上单调递减，则
【答案】BC
【解析】
【分析】利用函数的性质，通过对称轴公式、平移规则、零点存在条件和单调区间的推导，逐一验证四个选项的正确性.
【详解】选项A：函数的对称轴满足，
将代入，，不是的奇数倍，选项A错误；
选项B：曲线向左平移个单位长度，根据“左加右减”原则，得到，选项B正确；
选项C：函数的零点满足，
在有且只有三个零点，即第三个零点，第四个零点：，，且，由此算出，选项C正确；
选项D：的递减区间为，
当时，，取，解得，选项D错误.
故选：BC
11. 已知是函数的零点（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据零点存在性定理，可判断A的正误；根据的范围，结合指数函数的单调性，可判断B的正误；根据零点存在性定理，可得的范围，结合条件及二次函数的性质，可判断C的正误；根据对数的运算性质，结合的范围，可判断D的正误.
【详解】选项A：因为函数，都是增函数，
所以函数为增函数，
又，则，
所以零点，故A正确；
选项B：因为，所以，
因为当时，在R上单调递减，
所以，故B错误；
选项C：，，
所以，
由已知，即，
所以，故C正确；
选项D：
由题意得，两边取自然对数得，所以，
再将代入上式，可得，
因为，所以，即，故D正确；
故选：ACD
第Ⅱ卷（非选择题部分，共92分）
注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数为奇函数，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数的性质，可得，可得a值，代入检验，即可得答案.
【详解】因为为奇函数，，所以，解得，
当时，，
此时，符合题意.
故答案为：
13. 在中国古代扇子文化中，扇子不仅是纳凉用品，还是装饰品、艺术品、身份地位的象征.如图扇形中，，，，则该扇面的面积为________.

【答案】
【解析】
【分析】设，圆心角，根据弧长、圆心角和半径的关系，可得的值，代入面积公式，即可得答案.
【详解】设，圆心角，
则，解得，
所以该扇面的面积.
故答案为：
14. 已知实数满足，则的最小值为________.
【答案】5
【解析】
【分析】令，得到，再令，得到，结合基本不等式即可求解.
【详解】由，可得，
令，
则，
令，则，
则，
当且仅当时，取等号，
即当时，的最小值为5，
即当时，取得最小值5.
故答案为：5
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 已知，集合，.
（1）若，求，；
（2）是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1），
（2）存在，或0
【解析】
【分析】（1）当时，可得集合A、B，根据交集、并集运算的定义，即可得答案.
（2）当时，分析可得不符合题意，则，由题意，可得，分别讨论和两种情况，根据集合的性质，即可求得答案.
【小问1详解】
当时，集合，集合，
则，.
【小问2详解】
当时，集合，集合，不合题意，舍去，
当时，集合，集合，
因为，所以，又，只需，
情况①，，符合题意；
情况②，解得（1舍去），此时，符合题意，
综上可得或0.
16. 设函数的最小正周期为，且.
（1）求和的值；
（2）填写下表，并在给定坐标系中作出函数在一个周期内的简图；
（3）求函数，的值域.
【答案】（1），
（2）表格见解析，作图见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据周期公式，可得值，代入解析式，根据条件，化简计算，可得值.
（2）由（1）知，，根据余弦函数的图象与性质，完成表格，作出图象即可.
（3）根据诱导公式、两角差的余弦公式、辅助角公式，化简整理，可得的解析式，根据x的范围，可得的范围，根据余弦函数的性质，即可得值域.
【小问1详解】
由，得，
由，即，
又，所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
表格为
再作出图象
【小问3详解】
，
由，得，
当时，，
当时，，
所以，即值域为.
17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
（1）若，求边c的值；
（2）若.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求的面积.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）15
【解析】
【分析】（1） 应用两角和的正弦值公式，再应用正弦定理计算求解；
（2）（ⅰ）应用正弦定理结合诱导公式计算求解边长比；（ⅱ）应用余弦定理结合（ⅰ）的结论得出，再应用面积公式求解.
【小问1详解】
，
由正弦定理，，
得.
【小问2详解】
（ⅰ）由正弦定理及，
得，
即，
又，
所以，
所以，即.
（ⅱ）由余弦定理，，
把，，代入，
得，
即，解得，
所以，
所以.
18. 已知函数图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.
（1）判断函数的奇偶性，并证明；
（2）求函数的解析式并写出其单调性（无需证明）；
（3）令，且对于任意的恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）偶函数，证明见解析
（2）；在上单调递减，在上单调递增
（3）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义，即可得证.
（2）根据条件及的性质，可得a，b的值，根据复合函数单调性的求法，即可得答案.
（3）由（2）得解析式，根据基本不等式，可得的范围，代入条件，结合基本不等式，即可得答案.
【小问1详解】
为偶函数，证明如下：
∵函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，∴为偶函数；
【小问2详解】
∵该函数图象过原点，∴，
当时，，
∵无限接近直线但又不与该直线相交，
∴，∴，∴，
∵是减函数，在上递减，在上递增，，
根据复合函数单调性“同增异减”原则，
可得在上单调递减，在上单调递增.
【小问3详解】
由（2）知，当时，，
∴，即，
又，
由，
可得，
又由基本不等式知，当且仅当，即取等号，
故可得.
综上，实数m的取值范围为.
19. 已知函数，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且.（其中为自然对数的底数）
（1）求的值；
（2）若函数存在零点，求k的取值范围；
（3）设函数，若对任意的，的函数值非负，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用奇偶性，结合恒等式可分别求解，，从而可求解定值；
（2）利用分离参变量思想，研究函数值域，即可得参数范围；
（3）利用换元法，结合二次函数分类讨论，即可求出的最小值.
【小问1详解】
由可得：，
因为为奇函数，为偶函数，所以①，
与②，由①②，解得，，
所以.
【小问2详解】
由，可得，
分离参变量得：，
记，由，
知，从而，即，
又在上单调递增，
当时，函数与函数的图象有交点，即函数存在零点，
所以.
【小问3详解】
由于在上单调递增，
所以由，可知，
又由（1）知，，
所以等价于，
令，则不等式对恒成立，
①当即时，函数在上单调递增，
，即，
所以，当且仅当，时等号成立；
②当即时，函数在上单调递减，
，即，
所以，当且仅当，时等号成立；
③当即时，
函数在上单调递减，在上单调增，
，即，
所以，当且仅当，时等号成立.
综合①②③，可知的最小值为.0
x
0
x
1
0
0
1