浙江丽水市2025--2026学年第一学期九年级数学期末试卷（试卷+解析）

这是一份浙江丽水市2025--2026学年第一学期九年级数学期末试卷（试卷+解析），共30页。试卷主要包含了本次考试不得使用计算器等内容，欢迎下载使用。
1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式．
2．全卷分为卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷Ⅰ的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上．
3．请用黑色字迹钢笔或签字笔在答题纸上先填写姓名和准考证号．
4．本次考试不得使用计算器．
卷Ⅰ
说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在答题纸上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满．
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 已知圆的半径为，则圆中一条弦的长度不可能的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知线段，，则，的比例中项线段等于（ ）
A B. C. D.
3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 任意画一个三角形，其内角和B. 打开电视机，正在播放体育节目
C. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上D. 篮球运动员罚球一次，进框得分
4. 在中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，相似比为，若的周长为，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
7. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴是直线
C. 与轴相交于点D. 顶点坐标是
8. 如图所示，小丽将含的直角三角板放置在中，斜边恰好是一条弦，直角顶点在圆外，与相交于点，连接，测得，，则的半径是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，已知菱形，，点是上一点，连接，沿翻折，点的对称点刚好落在边上，，与对角线分别交于点，，若，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知二次函数的图象过，，，四点，以下推断：①若，则；②若，则；③若，则．以上推断正确的个数是（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
卷II
说明：本卷共有2大题，14小题，共90分．请用黑色字迹钢笔或签字笔将答案写在答题纸的相应位置上．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11. 正六边形的一个内角的度数为________°．
12. 二次函数的最小值为___________．
13. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中飞镖游戏板空白部分的概率是________．
14. 如图将矩形绕着点顺时针旋转得到矩形，点落在中点上，若，则的长度为________．
15. 如图1，用边长为4个单位长度的正方形制作而成的七巧板，拼成如图2所示的“小马图”放置在平面直角坐标系中，点，点（小马尾巴）在轴上，点，点，点（小马脚蹄）在轴上，则点（小马嘴巴）的坐标为________．
16. 某数学兴趣小组在用“悬挂法”找三角形重心的探究活动中，如图1，剪一个直角三角形纸板，在它的直角顶点处系一根线，悬挂起来，在纸板上画出悬线的延长线．如图2所示，再次在直角三角形纸板点处系一根线，其中为边上的一点，画延长线，交于点，即可找到该直角三角形纸板的重心．若，的面积为，则的面积为________．
三、解答题（本题有8小题，第题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分）
17. 已知二次函数的图象与轴交于点和点．
（1）求的值．
（2）将点沿轴平移到点，求平移的距离．
18. 如图，在中，．
（1）请在边上作一点，并连接，使与相似（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若，，根据你画出的图形，求的长．
19. 随着技术的不断发展，无人机在生活中的应用日渐普及．在某次消防演习中，消防员用无人机探测到楼顶点有被困人员，此时无人机离地面的高度米，测得点俯角为，点的俯角为，地面的距离为米．
（1）求无人机处到大楼的水平距离．
（2）若消防云梯的最大高度为米，此时点的被困人员能否成功获救？()
20. 小明参加浙江省城市篮球联赛（浙）丽水赛区赛后粉丝抽奖活动，活动规则如下：抽奖箱中有个红球和个黄球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球．若两次摸出的球颜色相同，则奖励篮球一个；若两次摸出的球颜色不同，则奖励球衣一件．
（1）用适当的方法列举摸球所有可能的结果．
（2）求出小明同学获得篮球的概率．
21. 图1是公路隧道，其轮廓是圆形的一部分，图2的是其示意图．某学习小组用一根长为的笔直竹竿去辅助测量，点在圆弧上，点在地面上，且，测得，．
（1）若于点，求的长．
（2）求公路隧道轮廓的最大高度．
22. 在中，点是上的动点，点是上的动点，连接交于点．
（1）如图1，当点和点重合，若，求证：点是的中点．
（2）如图2，当点为中点，若时，求的值（用含的代数式表示）．
23. 已知二次函数（，是常数，）．
（1）若时．
①试判断点是否在此二次函数的图象上？
②已知点，在二次函数图象上，求的值．
（2）已知对称轴为直线，若点和在该抛物线上，满足，求的取值范围．
24. 如图，内接于，，点是上的动点，点在上．连接，交于点，，且，延长，交于点，连接．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
（3）若，求最大值．2025学年第一学期初中教学质量监测九年级数学试题卷
考生须知：
1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式．
2．全卷分为卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷Ⅰ的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上．
3．请用黑色字迹钢笔或签字笔在答题纸上先填写姓名和准考证号．
4．本次考试不得使用计算器．
卷Ⅰ
说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在答题纸上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满．
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 已知圆的半径为，则圆中一条弦的长度不可能的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆的基本概念，先计算出直径长度，再根据圆中最长的弦为直径，判断各选项弦长是否合理，即可．
【详解】解：∵圆的半径为，
故圆的直径为，
故圆中弦长的取值范围是弦长；
又∵，
∴弦长不可能是．
故选：D．
2. 已知线段，，则，的比例中项线段等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了比例中项的概念，熟练掌握“比例中项的平方等于另外两个数的乘积”是解题的关键．直接根据比例中项的公式计算即可．
【详解】解：设，的比例中项线段为，
∵是，的比例中项，
∴．
∵，，
∴．
∵线段长度为正数，即，
∴．
故选：B．
3. 下列事件中，属于必然事件是（ ）
A. 任意画一个三角形，其内角和为B. 打开电视机，正在播放体育节目
C. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上D. 篮球运动员罚球一次，进框得分
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、根据三角形内角和定理，任意一个三角形的内角和一定为，是必然事件，故A选项符合题意；
B、打开电视机正在播放体育节目，是随机事件，故B选项不符合题意；
C、抛掷硬币正面朝上，是随机事件，故C选项不符合题意；
D、篮球运动员罚球进框得分，是随机事件，故D选项不符合题意．
故选：A．
4. 在中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，先由勾股定理求出的长，再根据正弦的定义求解即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴，
故选：B．
5. 已知，相似比为，若的周长为，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质．利用相似三角形周长的比等于相似比来计算即可求解．
【详解】解：∵，相似比为，
∴的周长的周长，
∵的周长为，
设的周长为，则，
即，
解得．
故选：C．
6. 如图，是半圆直径，点在半圆上，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理(直径所对的圆周角为直角，圆周角的度数等于所对弧度数的一半)，关键是利用直径的性质和圆周角与弧的度数关系求解．
【详解】解：如图，连接．
∵是半圆的直径，
∴．
∵，
在中，．
∴的度数为；
故选：C．
7. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴是直线
C. 与轴相交于点D. 顶点坐标是
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的解析式可以得到开口方向、对称轴、顶点坐标与轴的交点．根据抛物线的解析式，由的值可得到开口方向，由顶点式可以得到顶点坐标和对称轴，即可得出答案．
【详解】解：抛物线中对称轴为直线，顶点坐标是，
故选项B、D说法错误，
∵，
∴抛物线的开口向上，
故选项A说法错误，
令，则，
所以抛物线与轴相交于点，
故选项C说法正确．
故选：C．
8. 如图所示，小丽将含的直角三角板放置在中，斜边恰好是一条弦，直角顶点在圆外，与相交于点，连接，测得，，则的半径是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，证明是等边三角形是解答的关键．
连接、，根据圆周角定理和直角三角形的性质得到，，证明是等边三角形，利用等边三角形的性质得到，再根据勾股定理求得，，进而可得答案．
【详解】解：连接、，则，
∵，，，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，，
在中，，
∴，即的半径是，
故选：A．
9. 如图，已知菱形，，点是上一点，连接，沿翻折，点的对称点刚好落在边上，，与对角线分别交于点，，若，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形、相似三角形、平行线的判定与性质，灵活运用相关判定与性质是解题的关键．
先证，得到，再证，设，结合相似比建立方程求解即可．
【详解】解：由题可知，，
，
在和中，
，
，
，
，
在菱形中，，为的角平分线，
，则，
，
，
解得，则，
，
即，则，
，
，
，
设，则，
，
，
，即，
整理得，解得或（舍去），
即．
故选：D．
10. 已知二次函数的图象过，，，四点，以下推断：①若，则；②若，则；③若，则．以上推断正确的个数是（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象性质，需结合开口方向、对称轴与点的距离关系，分析函数值大小的推断是否成立．
【详解】解：设二次函数的对称轴为，
∵对于二次函数，当时，点到对称轴的距离越远，函数值越大；当时，点到对称轴的距离越远，函数值越小．
①若：
当时，
∵，
∴，两边平方得，展开化简得，
∴，
∵，
∴，结合的性质，
∴；
当时，
∵，
∴，两边平方化简得，
∴，
∵，
∴，结合的性质，
∴，
综上，①正确；
②若：
当时，
∵，
∴，平方化简得，
∴，
取（满足），
∵且，
∴，与矛盾，故②错误；
③若：
当时，
∵，
∴，平方化简得，
∴，
取（满足），
∵且，
∴，与矛盾，故③错误；
综上，正确的推断只有1个，
故选：B．
卷II
说明：本卷共有2大题，14小题，共90分．请用黑色字迹钢笔或签字笔将答案写在答题纸的相应位置上．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11. 正六边形的一个内角的度数为________°．
【答案】120
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，
先求出正六边形的内角和，再根据每一个内角都相等得出每个内角的度数．
【详解】解：正六边形的内角和为，
所以每一个内角的度数为．
故答案为：120．
12. 二次函数的最小值为___________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．根据顶点式得到它的顶点坐标是，再根据其，即抛物线的开口向上，则它的最小值是．
【详解】解：二次函数的解析式为，
根据二次函数的性质可知，抛物线开口向上，对称轴为，
当时，二次函数有最小值，最小值为；
故答案为3．
本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中飞镖游戏板空白部分的概率是________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】本题考查了几何概率的求法．掌握几何概率的求法是解题的关键．
根据几何概率的求法：击中飞镖游戏板空白部分的概率就是空白部分的面积与总面积的比值，即可求解．
【详解】解：设小正方形的边长为，则总面积为，
其中空白部分的面积为，
∴击中飞镖游戏板空白部分的概率是；
故答案为：．
14. 如图将矩形绕着点顺时针旋转得到矩形，点落在的中点上，若，则的长度为________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查旋转性质、矩形的性质、锐角三角函数、弧长公式等知识，熟记弧长公式，得到是解答的关键．
先利用矩形的性质得到，，再由旋转性质和中点定义得，，利用特殊角的锐角三角函数求得，则，然后利用弧长公式求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
由旋转性质得，
∵点落在的中点上，
∴，
在中，，
∴，则，
∴．
故答案为：．
15. 如图1，用边长为4个单位长度的正方形制作而成的七巧板，拼成如图2所示的“小马图”放置在平面直角坐标系中，点，点（小马尾巴）在轴上，点，点，点（小马脚蹄）在轴上，则点（小马嘴巴）的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理和平面内点的坐标的确定．先根据正方形边长和七巧板分割规则，用勾股定理算出各板块的边、高、斜边，横坐标从轴向右累加各板块的水平分量，纵坐标从轴向上累加各板块的垂直高度即可求解．
【详解】解：七巧板由边长为4的正方形分割而成，各板块边长可通过勾股定理和分割规则确定：
①②大等腰直角三角形：直角边，斜边；
④中等等腰直角三角形：直角边，斜边；
⑥⑦小等腰直角三角形：直角边，斜边；
③正方形：边长；
⑤平行四边形：短边，长边．
点横坐标,
点纵坐标，
∴点的坐标为．
故答案为：．
16. 某数学兴趣小组在用“悬挂法”找三角形重心的探究活动中，如图1，剪一个直角三角形纸板，在它的直角顶点处系一根线，悬挂起来，在纸板上画出悬线的延长线．如图2所示，再次在直角三角形纸板点处系一根线，其中为边上的一点，画延长线，交于点，即可找到该直角三角形纸板的重心．若，的面积为，则的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，关键是利用重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为(需证明)，结合相似三角形求出与的比例，再通过面积公式计算面积．根据直角三角形面积公式得到的值；利用重心性质得到重心到的距离与的关系；过重心作的垂线，通过相似三角形的判定得到；通过线段比例求出与的比例；最后代入直角三角形面积公式计算的面积．
【详解】解：的面积为，
，即．
如图，延长交于，连接
∵点为直角三角形纸板的重心，
∴是中点，是中点，
∴是的中位线，
∴，且．
∴，
∴，
∴．
作于，则，
∴．
∴，，，
∴．
，
，设，则，，
．
，
，
，
．
的面积为．
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，第题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分）
17. 已知二次函数的图象与轴交于点和点．
（1）求的值．
（2）将点沿轴平移到点，求平移的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的平移，二次函数的性质；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法求抛物线解析式，即可；
（2）令，求出抛物线与轴的交点坐标，即可求解．
【小问1详解】
解：将代入，得，
解得．
【小问2详解】
解：由（1）得，
令，得，
解得，，
所以点的坐标为，
故点沿轴平移了2个单位到点．
18. 如图，在中，．
（1）请在边上作一点，并连接，使与相似（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若，，根据你画出的图形，求的长．
【答案】（1）作图见详解
（2）
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质及尺规作图，核心是“两角对应相等的两个三角形相似”和相似三角形的对应边成比例性质．
（1）已知是等腰三角形，，与有公共角，根据相似三角形的判定定理，只需作，此时，因此作的垂直平分线交边于点，据此用尺规完成作图；
（2），结合公共角，可得到对应边的比例关系，即可计算出的长度．
【小问1详解】
解：∵与相似，，
∴需要，，
∴作的垂直平分线交边于点即为所求，如图所示：
【小问2详解】
解：，为公共角，，，
，即
．
19. 随着技术的不断发展，无人机在生活中的应用日渐普及．在某次消防演习中，消防员用无人机探测到楼顶点有被困人员，此时无人机离地面的高度米，测得点俯角为，点的俯角为，地面的距离为米．
（1）求无人机处到大楼的水平距离．
（2）若消防云梯的最大高度为米，此时点的被困人员能否成功获救？()
【答案】（1）
（2）能够成功获救，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用——俯角问题，涉及锐角三角函数的定义、等腰直角三角形的性质及矩形的判定与性质．关键是通过作辅助线构造直角三角形，将俯角转化为直角三角形的内角，再利用三角函数求解．
（1）构造垂直辅助线将“无人机到大楼的水平距离”转化为直角三角形的边，通过俯角和无人机高度计算出的长度，再用地面总距离减去得到水平距离；
（2）利用俯角计算出的长度，再通过无人机高度减去得到大楼被困点的高度，最后与云梯最大高度比较判断能否获救．
【小问1详解】
解：如图，过点作于点．
∵地面，地面，，
∴四边形是矩形，
∴．
由题意可知：，，．
在中，，
∴．
∴()．
又∵，
∴．
答：无人机处到大楼的水平距离为．
【小问2详解】
解：由题意可知：，
∴是等腰直角三角形，
∴．
由（1）得，
∴．
∵四边形是矩形，
∴(米)．
∵消防云梯最大高度，且，
∴点的被困人员能够成功获救；
答：点的被困人员能够成功获救．
20. 小明参加浙江省城市篮球联赛（浙）丽水赛区赛后粉丝抽奖活动，活动规则如下：抽奖箱中有个红球和个黄球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球．若两次摸出的球颜色相同，则奖励篮球一个；若两次摸出的球颜色不同，则奖励球衣一件．
（1）用适当的方法列举摸球所有可能的结果．
（2）求出小明同学获得篮球的概率．
【答案】（1）种，列表见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了列举随机试验的所有可能结果，概率公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（）直接用列表法列举出两次摸球可能出现的各种结果即可；
（）由（）得，两次摸出的球颜色相同的结果有种，然后通过概率公式即可求解．
【小问1详解】
解：（1）列表如下：
所以摸球所有可能的结果共有种；
【小问2详解】
解：由（）得，两次摸出的球颜色相同的结果有种，
所以小明同学获得篮球的概率．
21. 图1是公路隧道，其轮廓是圆形的一部分，图2的是其示意图．某学习小组用一根长为的笔直竹竿去辅助测量，点在圆弧上，点在地面上，且，测得，．
（1）若于点，求的长．
（2）求公路隧道轮廓的最大高度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的实际应用，关键是通过作辅助线构造矩形和直角三角形，利用“同圆半径相等”的性质设未知数列方程，将实际问题转化为几何线段计算．
（1）利用垂径定理确定的中点，结合已知的长度，通过线段的差计算的长；
（2）先作构造矩形转化线段，再用勾股定理分别表示两个直角三角形中的半径，根据半径相等列方程求，最后结合半径求出隧道最大高度．
【小问1详解】
解：，，
，
又，
；
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，连接、，延长交弧于点，．
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，．
由（1）知，故；
设，则．
∴．
在中，根据勾股定理，；
在中，同理得．
∵，
∴，
解得，即．
在中，，
即的半径．
∴；
答：公路隧道轮廓的最大高度为．
22. 在中，点是上的动点，点是上的动点，连接交于点．
（1）如图1，当点和点重合，若，求证：点是的中点．
（2）如图2，当点为的中点，若时，求的值（用含的代数式表示）．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线构造全等或相似三角形，将线段比例关系进行转化．
（1）根据平行四边形对边平行的性质，得到与相似，利用已知的线段比例，结合，推出，从而证明是中点；
（2）延长交的延长线于，利用平行四边形的性质证明，得到且，再由得到，结合的比例关系，设，通过线段代换建立方程求解，进而得到的比值．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，即，
∴点是的中点；
【小问2详解】
解：如图，延长交延长线于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，即，则，
∵，
∴，
∴，
∴，解得，
即．
23. 已知二次函数（，是常数，）．
（1）若时．
①试判断点是否在此二次函数的图象上？
②已知点，在二次函数图象上，求的值．
（2）已知对称轴为直线，若点和在该抛物线上，满足，求的取值范围．
【答案】（1）①在；②
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）①将代入，得出二次函数表达式为，令，求出，即可判断；
②根据抛物线的对称性得出，即可求出，再将点的坐标代入解析式计算，即可求解；
（2）将点，的坐标代入函数解析式，结合，可得，进而求得，根据抛物线的对称轴和的取值范围，推得，即可求解．
【小问1详解】
解：①当时，二次函数表达式为，
令，则，
∴点在二次函数的图象上．
②∵点，的纵坐标相同，且，
故抛物线的对称轴为，
解得，
故点的坐标为，代入，得．
【小问2详解】
解：将，代入函数，得，，
故，
∴，
则．
抛物线的对称轴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故，
即．
24. 如图，内接于，，点是上的动点，点在上．连接，交于点，，且，延长，交于点，连接．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
（3）若，求的最大值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
（1）先根据等腰三角形的性质得到，再利用三角形的外角性质得到，结合圆周角定理可证得结论；
（2）证明得到，进而求得，，．推导出，利用等角对等边可得答案；
（3）作于点，于点，于点，连接、．可设，．利用等腰三角形的性质、勾股定理和等面积法求得，，．由勾股定理得求得，证明，得到．故要使最大，只要最大即可，即点是弧的中点时，最大．利用勾股定理求得，进而可求解．
【小问1详解】
证明：因为，所以．
因为是的外角，所以．
因为与都是弧所对的圆周角，
所以，
因为
所以．
【小问2详解】
解：因为，所以．
因为与都是弧所对的圆周角，
所以，
所以．
因为，所以．
因为，，，
所以，
因为，
所以．
因为，，
所以，即；
【小问3详解】
解：作于点，于点，于点，连接、．
由，可设，．
在中，，
所以，
所以边上的高线长，
因为，，
所以．
因为，，
所以垂直平分，又，
所以A、O、P三点共线，
在中，，，
由勾股定理得,
解得，
因为，，
所以，
所以．
故要使最大，只要最大即可，即点是弧的中点时，最大．
此时，垂直平分，
在Rt中，，
．
所以的最大值．
所以的最大值．
红
红
黄
黄
红
红红
红黄
红黄
红
红红
红黄
红黄
黄
黄红
黄红
黄黄
黄
黄红
黄红
黄黄