2025-2026学年人教版数学八年级上册寒假作业03全等三角形(含答案）

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目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27774" 题型一、全等三角形的性质 PAGEREF _Tc27774 \h 1
\l "_Tc14343" 题型二、全等三角形的判定 PAGEREF _Tc14343 \h 4
\l "_Tc16267" 题型三、构造条件，证得三角形全等 PAGEREF _Tc16267 \h 7
\l "_Tc20567" 题型四、结合尺规作图全等三角形问题 PAGEREF _Tc20567 \h 11
\l "_Tc14045" 题型五、垂直模型 PAGEREF _Tc14045 \h 19
\l "_Tc19385" 题型六、倍长中线模型 PAGEREF _Tc19385 \h 26
题型一、全等三角形的性质
1．已知△ABC≌△DEF，∠A=55∘，∠E=65∘，则∠C的度数为（ ）
A．55∘B．60∘C．65∘D．70∘
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，两个三角形全等，对应角相等是解题的关键．
利用全等三角形的对应角相等和三角形内角和定理计算∠C的度数．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠D=55∘，∠B=∠E=65∘（全等三角形对应角相等），
在△ABC中，
∵∠A+∠B+∠C=180∘（三角形内角和定理），
∴55∘+65∘+∠C=180∘，
∴∠C=180∘−120∘=60∘．
故选：B．
2．如图，已知△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则BF的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形全等的性质、线段的加减，利用全等三角形得到对应边相等是解题的关键．
首先根据△ABE≌△ACF得到AE=AF=2即可求解BF的长．
【详解】解：∵△ABE≌△ACF，
∴AB=AC=5，AE=AF=2，
∴BF=AB−AF=5−2=3，
故选：B．
3．如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，DE=5,CD=9，则AB等于 （ ）
A．4B．5C．9D．14
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．由全等三角形的性质推出AB=CD=9即可．
【详解】解：∵△ABC≌△CDE，
∴AB=CD，
∵CD=9，
∴AB=9．
故选：C．
4．根据图中及相应的条件，下列四个选项中，不能判定两个三角形全等的是（ ）
A．如图1，线段AD、BC相交于点O，AO=DO，BO=CO，△ABO和△DCO
B．如图2，AC=AD，BC=BD，△ABC和△ABD
C．如图3，线段AC、BD相交于点E，已知AB=DC，BE=CE，△ABE和△DCE
D．如图4，已知∠CAB=∠DBA，∠1=∠2，△ABC和△BAD
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法成为解题的关键．根据全等三角形的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：A. 在图1中，由AO=DO,∠AOB=∠DOC,BO=CO，根据“SAS”证明△ABO≌△DCO，可判断A不符合题意；
B. 在图2中，由AC=AD,BC=BD,AB=AB，根据“SSS”证明△ABC≌△ABD，可判断B不符合题意；
C. 在图3中，AB=DC,BE=CE,∠AEB=∠DEC不符合全等三角形判定定理的条件，因此不能判断△ABE与△DCE全等，可判断C符合题意；
D. 在图4中，由∠CAB=∠DBA,AB=BA,∠2=∠1，根据“ASA”证明△ABC≌△BAD，可判断D不符合题意；
故选：C.
5．如图，在4×4方形网格中，与△ABC有一条公共边且全等（不与△ABC重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，利用方格的特点和全等三角形的判定正确作图是解题的关键．
根据方格的特点和全等三角形的判定结合轴对称图形作图即可解答．
【详解】解：如图：
以BC为公共边可以画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等；
以AB为公共边可以画出△ABG一个三角形和原三角形全等；
以AC为公共边不能画出三角形与原三角形全等，
所以一共可以画出4个三角形和原三角形全等．
故选：A．
题型二、全等三角形的判定
6．下列说法：①周长相等的两个三角形全等；②面积相等的两个三角形全等；③两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）分别对应相等的两个三角形全等；④两角和其中一角的平分线（或第三角的平分线）分别对应相等的两个三角形全等；⑤两边和其中一边上的高（或第三边上的高）分别对应相等的两个三角形全等．其中正确的说法有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】本题考查三角形全等的判定条件，熟练掌握三角形全等的判定条件是解题的关键．
根据全等三角形的判定定理，逐一判断即可．
【详解】解；说法①：周长相等的两个三角形不一定全等，如三边分别为3、4、5和4、4、4的三角形，周长均为12但不全等，故①错误；
说法②：面积相等的两个三角形不一定全等，如底和高相同但形状不同的三角形，故②错误；
说法③：两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等，可通过构造辅助线证明全等，如延长中线倍长后利用SSS或SAS证明，故③正确；
说法④：两角和其中一角的平分线（或第三角的平分线）对应相等，由两角相等得三角对应相等，再结合角平分线相等，利用AAS或ASA可证明全等，故 ④正确；
说法⑤：两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等，但高可能落在三角形外部导致夹角不同，如两边及一边的高相等时可能形成锐角或钝角三角形而不全等，故⑤错误；
综上所述，正确的说法有③和④，共2个，
故选：C．
7．如图，△ABC≌△ADE，∠D=25°，∠C=105°，∠CAE=70°，则∠BAE的度数是 ．
【答案】20°
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握全等三角形的对应角相等；由全等三角形性质推出，由三角形内角和定理求出，即可求出的度数．
【详解】解：∵△ABC≌△ADE，∠D=25°，∠C=105°，∠CAE=70°
∴∠B=∠D=25°
∴∠DAE=∠BAC=180°−∠B−∠C=50°
∴∠BAE=∠CAE−∠BAC=20°
故答案为：20°．
8．已知：如图，点D，B在线段AE上，AD=BE，∠CAB=∠FDE，AC=DF．求证：△ABC≌△DEF．
【答案】证明见详解
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握其判定方法是关键．
根据题意得到AB=DE，运用边角边即可求证．
【详解】证明：∵AD=BE，
∴AD+DB=BE+DB，即AB=DE，
在△ABC,△DEF中，
AC=DF∠CAB=∠FDEAB=DE，
∴△ABC≌△DEFSAS．
9．如图，△ABC≌△DEB，点E在边AB上，DE与AC相交于点F．
(1)若DE=13，BC=7，求线段AE的长；
(2)若∠AFE=50°，∠DEB=80°，求∠DBC的度数．
【答案】(1)AE=6；
(2)∠DBC=10°．
【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质、外角性质、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质．
（1）根据全等三角形的性质可得AB=DE=13，EB=BC=7，再由AE=AB−EB即可得解；
（2）先由外角性质求出∠A，再结合全等三角形的性质、三角形内角和定理求出∠ABC、∠DBE即可求解．
【详解】（1）解：∵△ABC≌△DEB，
∴AB=DE=13，EB=BC=7，
∴AE=AB−EB=13−7=6；
（2）解：∵∠DEB是△AEF的外角，
∴∠DEB=∠AFE+∠A，
又∠AFE=50°，∠DEB=80°，
∴∠A=∠DEB−∠AFE=30°，
∵△ABC≌△DEB，
∴∠A=∠D=30°，∠DEB=∠ABC=80°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠ABC=70°=∠DBE，
∴∠DBC=∠ABC−∠DBE=80°−70°=10°．
10．如图，FC∥AB，点E是AC的中点，FE的延长线交AB于点D．
求证：△ADE≌△CFE．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是做题的关键．根据全等三角形的判定定理和平行线的性质，即可证明．
【详解】证明：∵ FC∥AB，
∴ ∠A=∠ECF，∠ADE=∠F．
∵点E是AC的中点，
∴ AE=CE．
在△ADE和△CFE中，
∠A=∠ECF∠ADE=∠FAE=CE，
∴ △ADE≌△CFE(AAS)．
题型三、构造条件，证得三角形全等
11．点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AD两侧,AE=DF,EC=FB.
(1)在不添加辅助线的前提下,以下条件能利用“SSS”证明△AEC≌△DFB的是 .
①∠AEC=∠DFB；②AB=DC；③BE=CF.
(2)根据（1）中添加的条件,若∠A=30°,∠BCF=45°,求∠DFC的度数.
【答案】(1)②，理由见解析
(2)15°
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质定理；
（1）根据全等三角形的判定定理进行判断即可；
（2）由△AEC≌△DFBSSS得出∠A=∠D=30°，再由∠DFC=∠BCF−∠D即可求解．
【详解】（1）解：①∠AEC=∠DFB作为条件，再结合已知条件：AE=DF,EC=FB，
能利用“SAS”证明△AEC≌△DFB，故①不符合题意；
②AB=DC作为条件，可得出AB+BC=DC+BC，即AC=DB，再结合已知条件：AE=DF,EC=FB，就能利用“SSS”证明△AEC≌△DFB，故②符合题意；
③BE=CF作为条件，无法证明△AEC≌△DFB，故③不符合题意；
故答案为：②．
（2）解：根据（1）中添加的条件,
∵AB=DC，
∴AB+BC=DC+BC，即AC=DB，
又∵AE=DF,EC=FB，
∴△AEC≌△DFBSSS，
∴∠A=∠D=30°，
∵∠DFC=∠BCF−∠D=45°−30°=15°．
12．如图，点D，E分别是线段AB，AC上的点，且AD=AE，连接BE，CD交于点F．
(1)从“① BE=CD，② ∠B=∠C”中选择一个作为条件，使得结论“△ABE≌△ACD”成立，并证明；
(2)若△ABE≌△ACD，当∠C=15°，∠ADC=105°时，求∠EFC的度数．
【答案】(1)选择② ∠B=∠C，见解析；
(2)90°．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据题意可得添加①不能证明△AEB≌△ADC，添加选择② ∠B=∠C，通过“AAS”即可求证；
（2）根据全等三角形的性质可得∠AEB=∠ADC=105°，然后通过三角形的外角性质即可求解．
【详解】（1）解：添加① BE=CD，不能证明△AEB≌△ADC；
选择② ∠B=∠C，
证明：在△ADC与△AEB中，
∠B=∠C∠A=∠AAD=AE，
∴△ABE≌△ACDAAS；
（2）解：∵△ABE≌△ACD，
∴∠AEB=∠ADC=105°，
∴∠EFC=∠AEB−∠C=105°−15°=90°．
13．如图，点C，F在线段BE上，∠ABC=∠DEF=90°，BF=CE，请只添加一个合适的条件，使△ABC≌△DEF．
(1)根据“SAS”，需添加的条件是 ；根据“HL”，需添加的条件是 ．
(2)请从（1）中选择一种加以证明．
【答案】(1)AB=DE，AC=DF
(2)选择及证明过程见解析
【分析】本题考查添加条件使两个三角形全等，并证明，熟记两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键．
（1）由题中条件可知∠ABC=∠DEF=90°，BC=EF，按照“SAS”，“HL”，使△ABC≌△DEF所缺的条件添加即可得到答案；
（2）由（1）中不同的判定定理及添加的条件，利用两个三角形全等的判定定理证明即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：
∵ ∠ABC=∠DEF=90°，BF=CE，CF=CF，
∴ BC=EF，
根据“SAS”，使△ABC≌△DEF，需添加的条件是AB=DE；
根据“HL”，使△ABC≌△DEF，需添加的条件是AC=DF；
故答案为：AB=DE，AC=DF；
（2）解：选择“SAS”，添加AB=DE，
证明过程如下：
∵BF=CE，CF=CF，
∴BF−CF=CE−CF，即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠ABC=∠DEF=90°BC=EF
∴△ABC≌△DEFSAS；
选择“HL”，添加AC=DF，
证明过程如下：
∵ ∠ABC=∠DEF=90°，BF=CE，CF=CF，
∴BF−CF=CE−CF，即BC=EF，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
AC=DFBC=EF
∴Rt△ABC≌Rt△DEFHL．
14．如图，已知AD=CB，点E，F在线段BD上，且BF=DE．请从①∠B=∠D；②AF=CE；选择其中一个选项作为已知条件，使得△ADF≌△CBE．
(1)你选的条件为______（只填写一个序号）；
(2)添加条件后，证明AF∥CE．
【答案】(1)①（①或②都可以）
(2)见解析
【分析】本题考查添加条件后使两个三角形全等、两条直线平行的判定定理，熟记全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
（1）添加①∠B=∠D，由两个三角形全等的判定定理SAS得到△ADF≌△CBESAS；添加②AF=CE，由两个三角形全等的判定定理SSS得到△ADF≌△CBESSS.
（2）添加①∠B=∠D，由两个三角形全等的判定定理SAS得到△ADF≌△CBESAS，从而由性质得到∠AFE=∠CEB，再由内错角相等两直线平行判定即可得证；
添加②AF=CE，由两个三角形全等的判定定理SSS得到△ADF≌△CBESSS，从而由性质得到∠AFE=∠CEB，再由内错角相等两直线平行判定即可得证．
【详解】（1）解：添加①或②都可以
（2）证明：若添加①∵BF=DE，
∴BF+EF=DE+EF，
∴BE=DF，
在△ADF与△CBE中，
AD=CB∠D=∠BDF=BE
∴△ADF≌△CBESAS，
∴∠AFE=∠CEB，
∴AF∥CE；
若添加②∵BF=DE，
∴BF+EF=DE+EF，
∴BE=DF，
在△ADF与△CBE中，
AD=CBAF=CEDF=BE
∴△ADF≌△CBESSS，
∴∠AFE=∠CEB，
∴AF∥CE．
题型四、结合尺规作图全等三角形问题
15．在①AD=AE，②∠ABE=∠ACD，③FB=FC这三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB边上，点E在AC边上，连接BE，CD，BE与CD相交于点F．若_____，求证：BE=CD．
【答案】①，证明见解析（答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是关键．若选择条件①，根据“边角边”证明△ABE≌△ACD，即可得到结论；若选择条件②，根据“角边角”证明△ABE≌△ACD，即可得到结论；若选择条件③，连接AF，先证明△ABF≌△ACF，得到∠ABE=∠ACD，再根据“角边角”证明△ABE≌△ACD，即可得到结论．
【详解】解：选择条件①的证明：
在△ABE和△ACD中，
AE=AD∠A=∠AAB=AC，
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
∴BE=CD；
选择条件②的证明：
在△ABE和△ACD中，
∠A=∠AAB=AC∠ABE=∠ACD
∴△ABE≌△ACD(ASA)
∴BE=CD；
选择条件③的证明：连接AF，
在△ABF和△ACF中，
BF=CFAB=ACAF=AF，
∴△ABF≌△ACF(SSS)，
∴∠ABE=∠ACD，
在△ABE和△ACD中，
∠BAE=∠CADAB=AC∠ABE=∠ACD，
∴△ABE≌△ACD(ASA)，
∴BE=CD．
16．已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm，一个内角为40°．

(1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；
(2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由．
友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．
(3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有__________个．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)4
【分析】（1）在角的两边上分别以顶点为圆心截取1cm和2cm的线段，连接即可得到符合条件的三角形；
（2）能，可在40°角的一边上以顶点为圆心截取1cm的线段，然后以1cm线段的另一个端点为圆心，2cm长为半径作弧，与40°角的另一边交于一点，也得符合条件的三角形；
（3）分情况考虑即可：40°角可以是已知两边的夹角，也可以是其中一边的对角．
【详解】（1）作一个角等于已知角40°，然后在角的两边上分别以顶点为圆心截取1cm和2cm的线段，连接即可得到符合条件的三角形，
如图1所示；

（2）能，可在40°角的一边上以顶点为圆心截取1cm的线段，然后以1cm线段的另一个端点为圆心，2cm长为半径作弧，与40°角的另一边交于一点，所得三角形也符合条件，
如图2所示；

（3）40°角是边长为3cm与4cm两边的夹角，
如图3所示的△ABC；
40°角是4cm边的对角，如图4所示的两个三角形：△AB1C及△AB2C；40°角是3cm边的对角，如图5中的△ABC，故共有4个这样的三角形满足条件．
故答案为：4．
【点睛】本题是一道开放性的探索题，也考查了尺规作图，在已知两边与一角的情况下，所作的三角形不唯一，注意不同的情况所作的三角形个数不同．
17．作一个角等于已知角的方法：
已知：∠AOB
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB，

作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．
请你根据提供的材料完成下列问题．
(1)请你证明∠A′O′B′=∠AOB．
(2)这种作一个角等于已知角的方法的依据是________________________．
【答案】(1)见解析
(2)SSS
【分析】（1）由作图过程得到相应条件，再根据SSS证明即可；
（2）根据作图过程可得这种作一个角等于已知角的方法的依据是SSS．
【详解】（1）解：证明：在△C′O′D′和△COD中，
O′C′=OCO′D′=ODC′D′=CD，
∴ △C′O′D′≌△COD(SSS)，
∴∠A′O′B′=∠AOB．
（2）这种作一个角等于已知角的方法的依据是SSS．
故答案为：SSS
【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法．
18．我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一个△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即两边和其中一边所对的角分别相等）．
(1)动手画图：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）：
①画EF=BC；
②在线段EF的上方画∠F=∠C；
③画DE=AB；
④顺次连接相应顶点得所求三角形．
(2)观察：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有____个；其中三角形____（填三角形的名称）与△ABC明显不全等；
(3)小结：经历以上探究过程，可得结论：______．
【答案】(1)见解析
(2)2，D′EF；
(3)两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等
【分析】（1）根据尺规作线段，作一个角等于已知角的步骤作图即可；
（2）根据所画图形填空即可；
（3）根据探究过程结合全等三角形的判定可得出结论．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）观察所画的图形，发现满足条件的三角形有2个；其中三角形D′EF（填三角形的名称）与△ABC明显不全等，
故答案为：2，D′EF；
（3）经历以上探究过程，可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，
故答案为：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等．
【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，熟练掌握尺规作图的方法和全等三角形的判定定理是解题的关键．
19．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）
(1)在图①中的边BC上找一点E，使得BE=EC；
(2)在图②中画出一个△ABD，使S△ABD=S△ABC，D为格点（点D不与点C重合）；
(3)在图③中的边AC上找一点E，连接BE，使BE⊥AC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了格点作图，全等三角形的性质，根据相关知识点正确作图是解题关键．
（1）取格点M、N，由全等的性质可得BE=EC；
（2）由S△ABD=S△ABC可知，△ABD和△ABC同底等高，则过点C与AB平行的直线上的格点为点D，可作△ABD；
（3）取格点M、E，由全等的性质可得∠CAM=∠NBA，进而得出BN⊥AC，则BN与AC的交点即为点E．
【详解】（1）解：如图，点E即为所求作；
（2）解：如图，△ABD即为所求作；
（3）解：如图，点E即为所求作．
20．如图，方格纸上有一个△ABC，请你在方格纸内画出满足条件A1B1=AB，B1C1=BC，∠A1=∠A的△A1B1C1，并判断△A1B1C1与△ABC是否一定全等．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定定理，根据题意画出不同的三角形再进行判断.判定全等三角形的方法有 (SSS， AAS， ASA， SAS， HL) 五种判定方法，但SSA不能判定三角形全等．
【详解】解：如图所示，△ABC与 △A1B1C1不一定全等．
题型五、垂直模型
21．阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90∘，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
(1)问题解决：
如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，则CD与BE的数量关系是___________；
(2)问题探究：
如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E，AD=3cm，DE=1.8cm，求BE的长；
(3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，A−1,0，C1,2.5，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90∘，AC=BC，求B点坐标．
【答案】(1)CD=BE
(2)1.2cm
(3)3.5,0.5
【分析】（1）通过“一线三垂直”模型，证明△ACD≌△CBE，得CD=BE．
（2）同理证△ACD≌△CBE，得CE=AD，再通过CD=CE−DE计算BE的长度．
（3）作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型，证△ACM≌△CBN，结合A、C的坐标差得到线段长度，即可计算B点坐标．
【详解】（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ACB=∠D=∠E=90°，AC=BC，
又∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
∴△ACD≌△CBEAAS，
∴CD=BE．
故答案为：CD=BE．
（2）解：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∠ACB=90∘，
∴∠ADC=∠E=90∘，
∴∠ACD+∠CAD=90∘，∠ACD+∠BCE=90∘，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ACD与△CBE中，
∠CAD=∠BCE∠ADC=∠EAC=BC，
∴△ACD≌△CBEAAS，
∴BE=CD，CE=AD=3cm，
又∵DE=1.8cm，
∴BE=CD=CE−DE=3−1.8=1.2(cm)；
（3）解：如图3过点B作EF∥y轴，过点A作AD∥y轴，
过点C作DE∥x轴，DE分别与EF、AD交于点E、D，
∵AD∥y轴，DE∥x轴，EF∥y轴，
∴AD⊥CE，BE⊥CE，AD=EF，
又∵∠ACB=90∘，
∴∠D=∠E=90∘，∠ACD+∠CAD=90∘，∠ACD+∠BCE=90∘，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ACD与△CBE中，
∠CAD=∠BCE∠D=∠EAC=BC，
∴△ACD≌△CBEAAS，
∴DC=BE，AD=CE，
∵A−1,0，C1,2.5，
∴AD=EF=CE=2.5，DC=BE=2，
∴BF=EF−BE=0.5，OF=1+2.5=3.5，
∴B点坐标为3.5,0.5．
【点睛】考查 “一线三垂直”模型、全等三角形的判定（AAS）、等腰直角三角形的性质、平面直角坐标系中点的坐标计算．解题关键识别“一线三垂直”模型，准确找到全等三角形的对应边、对应角；坐标系中利用垂直辅助线将点的坐标差转化为线段长度．
22．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．
(1)如图1，过点A作AH⊥BC于点H，求证：AH=12BC；
(2)如图2，在△ADE中，AD=AE，∠DAE=90°，点B，D，E在同一条直线上，AH为△ADE中DE边上的高，连接CE．则∠AEC的度数为多少？并用线段AE，CE表示BE，并说明理由；
(3)在图3，图4中，在同一平面内有一点P，满足PC=1，PB=6，且∠BPC=90°，请求出点A到PC边上的高．
【答案】(1)证明见详解
(2)135°，BE=CE+2AE
(3)72或52
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，通过构造全等三角形转化线段和角度是解题关键．
（1）利用等腰直角三角形 “三线合一” 及斜边中线性质，证明中线与斜边的数量关系；
（2）通过角的等量代换证明三角形全等，结合等腰直角三角形的角度、边长特征，推导角度和线段表达式；
（3）分点P在不同位置的情况，构造全等三角形，将所求高转化为已知线段的一半，计算得到高的长度．
【详解】（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，AH⊥BC，
∴BH=HC，
∴AH是斜边BC上的中线，
∴AH=12BC；
（2）解：∵AB=AC，∠BAC=90°，AD=AE，∠DAE=90°，
∴∠BAD=90°−∠DAC=∠CAE，∠ADE=∠AED=45°，∠ABC=∠ACB=45°，
DE=AD2+AE2=2AE，
∵AC=AB∠CAE=∠BADAE=AD
∴△BAD≌△CAESAS，
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
∵∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠ABD+∠CBE+∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠CBE+∠ACB=90°，
∴∠BEC=90°，
∴∠AEC=∠BEC+∠AED=135°，
∵BE=BD+DE，
∴BE=CE+2AE；
（3）①如图3，连接AP，作AD⊥AP交BP于点D，设AC与BP交于点E，
∵∠BAC=∠DAP=∠BPC=90°，∠AEB=∠PEC，PC=1，PB=6，
∴∠BAD=∠CAP=90°−∠DAC，∠ABD=90°−∠AEB=90°−∠PEC=∠ACP，
在△BAD和△APC中，
∠BAD=∠CAPAB=AC∠ABD=∠ACP
∴△BAD≌△APCASA，
∴AD=AP，DB=PC=1，
∴DP=PB−DB=6−1=5，
作AF⊥DP交DP于点F，AG⊥CP交CP延长线于点G，
则DF=PF，∠AFB=∠G=90°，
∴AF=12DP=52，
在△ABF和△ACG中，
∠ABF=∠ACG∠AFB=∠GAB=AC
∴△ABF≌△ACGAAS，
∴AF=AG=52，
∴点A到PC边上的高为52；
②如图4，连接AP，作AQ⊥AP交PB延长线于点Q，
∠BAC=∠QAP=∠BPC=90°，
∴∠BAQ=∠CAP=90°−∠BAP，∠ACP+∠ABP=360°−2×90°=180°，
∵∠ABQ+∠ABP=180°，
∴∠ABQ=∠ACP，
在△BAQ和△CAP中，
∠BAQ=∠CAPAB=AC∠ABQ=∠ACP
∴△BAQ≌△CAPASA，
∴AQ=AP，QB=PC=1，
∴∠APQ=∠Q=45°，QP=PB+QB=6+1=7，
∴∠APC=∠APQ=45°，
作AM⊥PC交PC延长线于点M，AN⊥PQ交PQ于点N，
则NQ=NP，
∴AN=12QP=72，
∵PA平分∠CPQ，AM⊥PC，AN⊥PQ，
∴AM=AN=72，
∴点A到PC边上的高为72；
∴点A到PC边上的高为52或72．
23．（1）如图1，C、A、E在一条直线上，∠BAD=90°,AB=AD,BC⊥CA于点C，DE⊥AE于点E．求证：BC=AE．
（2）如图2，EA⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD，计算图中实线所围成的图形ABCDE的面积．
（3）如图3，∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AC=AE，连接BC、DE，且BC⊥AF于点F，DE与AF交于点G，若BC=21,AF=12，求△ADG的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）50；（3）63
【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．
（1）证明△ABC≌△DAEAAS，根据全等三角形的对应边相等得到BC=AE；
（2）根据全等三角形的性质得到AP=BG=3，AG=EP=6，CG=DH=4，CH=BG=3，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案；
（3）过点D作DP⊥AG于P，过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q，推导出DP=EQ， ∠DPG=∠EQG=90°，即可证明△DPG≌△EQGAAS，得到PG=GQ，再根据全等三角形的性质推导出BC=BF+FC=AP+AQ=2AP+PG=21进而求出AG，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】证明：（1）证明：∵∠BAD=90°
∴∠BAC+∠DAE=90°，
∵BC⊥AC，DE⊥AC，
∴∠ACB=∠DEA=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠DAE，
在△ABC和△DAE中，
∠ABC=DAE∠ACB=∠DEABA=AD，
∴△ABC≌△DAEAAS，
∴BC=AE；
（2）解：由（1）中模型可知，△AEP≌△BAG，△CBG≌△DCH，
∴AP=BG=3，AG=EP=6，CG=DH=4，CH=BG=3，
则S实线围成的图形ABCDE=124+6×3+6+4+3−12×3×6−12×3×6−12×3×4−12×3×4=50；
（3）解：过点D作DP⊥AG于P，过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q，
由（1）中模型可知，△AFB≌△DPA，△AFC≌△EQA，
∴DP=AF，EQ=AF，BF=AP，FC=AQ，
∴DP=EQ=AF=12，
∵DP⊥AG,EQ⊥AG，
∴∠DPG=∠EQG=90°，
∵∠DGP=∠EGQ
∴△DPG≌△EQGAAS，
∴DG=GE，PG=GQ，
∵BF=AP，FC=AQ，
∴BC=BF+FC=AP+AQ，
∵BC=21，
∴AP+AQ=21，
∴AP+AP+PG+GQ=21，
∴AP+AP+PG+PG=21，
∴AP+PG=10.5，
∴AG=10.5，
∴S△ADG=12AG⋅DP=12×10.5×12=63．
题型六、倍长中线模型
24．【背景问题】老师提出了如下问题：
如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=7，AC=5，则AD的取值范围是多少？
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使AD=DE，连接BE．由已知和作图能得到△EDB≌△ADC，所以AC=BE．
（1）请根据小明的方法思考，直接写出AD的取值范围是___________；
【感悟方法】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
【问题应用】（2）如图2，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，AC平分∠DAE，∠E=∠BAD，试探究线段AE与AD的数量关系．
【拓展延伸】（3）如图3，在△ABC和△CDE中，CA=CB，CD=CE，且∠ACB=∠DCE=90°，连接AD、BE，Q为AD中点，连接QC并延长交BE于K，求证：QK⊥BE．
【答案】（1）1