湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高一上学期1月期末考试 数学试题 Word版含答案

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一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的．
1. 设集合 为奇数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A. B. C. D.
3. 若 ，则 为（ ）
A. B. C. D.
4. 若一个扇形的圆心角为 ，半径为 7，则其弧长为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 下列 是 的必要不充分条件的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 美国生物学家雷蒙德•皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的
“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为 的形式．已知
描述的是一种植物的高度随着时间 （单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物
的高为 1 米，经过 1 年，该植物的高为 3 米，则（ ）
A. B. C. D.
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8. 已知 ，若 ，则（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数 的定义域为 B. 函数 的零点为
C. D.
10. 若函数 的图象为曲线 ，则（ ）
A. 曲线 关于点 对称
B. 将曲线 沿着 轴向右平移 个单位长度得到曲线
C. 将曲线 沿着 轴向下平移 2 个单位长度得到曲线
D. 将曲线 上所有点的横坐标压缩到原来的一半（纵坐标不变）得到曲线
11. 若函数 是定义域为 的奇函数，当 时， ，则（ ）
A
B 当 时，
C. 当 时， 的单调递增区间为 和
D. 当 时， 的单调递增区间为 和
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 在平面直角坐标系 xOy 中，角 的顶点为原点 ，始边为 轴的非负半轴，终边过点 ，则
___________．
13. 函数 （ ，且 ）的图象必经过的定点是__________.
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14. 在研究集合时，我们把含有限个元素的集合 叫做有限集，用 表示有限集合 中元素的个数．设
集合 ，若
，则实数 的取值集合用列举法表示为___________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设实数 x，y 满足 ．
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）当 x，y 均为正实数时，求 最小值，并求取得最小值时 的值．
16. （1）已知实数 a，b 满足： ，求 的值；
（2）已知 ，求 值．
17. 已知函数 为奇函数．
（1）求实数 的值；
（2）求证： 在 上单调递增；
（3）若 在区间 上有解，求实数 的取值范围．
18. 已知函数 ．
（1）把 化为 的形式；
（2）求 的单调递减区间和图象的对称轴方程；
（3）令 ，求实数 的取值范围．
19. 对于函数 ，若其定义域内 满足 ，则称 为“弱奇函数”， 为函数
的“弱奇函数点”．
（1）设 ，证明： 为“弱奇函数”；
（2）设 ，若 为定义在区间 上的“弱奇函数”，且在 上
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存在两个“弱奇函数点” ．
（i）求实数 的取值范围；
（ii）证明： ．