湖南省长沙市长郡中学2026届高三上学期月考（四）（12月）数学试题（Word版附解析）

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本试卷共8页.时量120分钟.满分150分.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知为虚数单位，则（ ）
A B. C. 1D.
2. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3. 从数字4，5，6，7，8中随机抽取两个数，则这两个数都是奇数的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，为边的中点，为的中点，设，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则（ ）
A. 2B. C. D.
6. 已知圆台的高为4，上、下底面的半径分别为3和6，现在该圆台中挖去一个圆柱，圆柱的上、下底面分别在圆台的上、下底面上，要使得到的几何体的表面积最大，则圆柱的半径为（ ）
A. 3B. 2C. 1D.
7. 已知正数，满足，则（ ）
A. B. C. D.
8. 设是抛物线的焦点，，是上不同于的顶点的两点，以和为切点的两条切线相交于点，若，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 的图象关于点对称
C. 是图象的一条对称轴D. 在上单调
10. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，点，是椭圆上两点，交轴于点，线段的中点为，平分，，则（ ）
A. B. 的周长为
C. D. 椭圆的离心率为
11. 对于定义域为的函数，若存在，使得，则称为的不动点.已知有三个零点，，，则（ ）
A. 当，时，是的不动点
B. 当时，
C. 若，，则为定值
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则______.
13. 已知函数，若仅存在一个正整数，使得，则实数的取值范围为___________.
14. 设，是随机事件，已知，，，则下列四个结论中，正确的是__________.
①；②事件，相互独立；
③；④
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为研判新能源汽车的销售变化情况，现统计了某市2025年第二、三季度每个月销售量（单位：万辆）如下表：
（1）求这6个月销售量数据的平均数和上四分位数；
（2）已知该市销售量与月份代号具有很强的线性相关关系，求y关于的经验回归方程，并预测2025年10月份的销售量.
附：经验回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：，.，.
16. 设数列满足，.
（1）求通项公式；
（2）若，为数列的前项和，证明：.
17. 如图，在棱长都为的正三棱柱中，为侧面的中心，为的中点，点为棱上一动点（不包含端点）.
（1）证明：平面；
（2）若直线与直线所成角的余弦值为，求.
18. 已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）当时，设，证明：，.
19. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为150°，且经过点.
（1）求双曲线标准方程；
（2）设为坐标原点，动点满足过能作出的两条互相垂直的切线，记切点分别为点，.
（ⅰ）求动点的轨迹方程；
（ⅱ）若记的面积为，的面积为，求的最大值.
月份
4月
5月
6月
7月
8月
9月
月份代号
1
2
3
4
5
6
销售量
15
2.3
2.8
32
3.7
4.5