湖南师范大学附属中学2026届高三上学期月考（6）数学试题解析版

这是一份湖南师范大学附属中学2026届高三上学期月考（6）数学试题解析版，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ，则 的元素个数为
A. 3 B. 4C. 5 D. 6
【答案】C
2. 若 ,则在复平面内 对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
3.已知向量 在网格中的位置如图所示. 若网格纸上小正方形的边长为 1,则
A. 8 B. C. D.
【答案】C
【解析】如图,建立直角坐标系,
则 ,
所以 ,那么 .
4.已知实数 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】已知 ,若 ,当 时, ,无意义,故充分性不成立; 若 ,则 ,因为 ,所以 ,当 时,满足要求,但此时 ,故必要性不成立；所以 “ ” 是 “ ” 的既不充分也不必要条件.
5.小明在某个不透明的盒子中放入 4 红 4 黑共 8 个球, 随机摇晃后, 小明从中取出一个小球丢掉 (未看被丢掉小球的颜色). 现从剩下 7 个小球中取出 2 个小球, 结果都是红球, 则丢掉的小球也是红球的概率为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】用 表示丢掉一个小球后任取两个小球均为红球,用 表示丢掉的小球为红球, 表示丢掉的小球为黑球,则 ,由全概率公式可得 ,所以 .
6.已知椭圆 和双曲线 有公共焦点 为左焦点), 与 在第三象限交于点 ,直线 交 轴于点 ，且 平分 ，则 的离心率为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可知, ,即 得
设 ,因为 平分 ,由角平分线定理可知, ,
即 ,整理得 .
在 中,设 ,根据余弦定理,有:
,
又因为在 中, ,
故可得 ,整理得 ,
解得 ,故 的离心率 .
7.设函数 若关 的方程 有四个实根 ,则下列结论正确的是
A. B.
C. D. 的最小值为 16
【答案】D
【解析】作出函数 的图象,如图所示,
由图象知: ,
对于 不对;
对于 ,因为方程 有四个实根,所以 不对;
对于 ,由 ,则 ,
即 ,则 ,
由对数均值不等式 (证明略),可得 ,
又 ,所以 ,
从而有 不对;
对于 ,由二次函数对称性可知, ,又由 得, ,
所以 , 当且仅当 ,即 时,等号成立,此时 .
8.已知数列 是公比为 的等比数列,点 在圆 上,且满足 ,若 是圆 的切线,则
A. B. C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】如图,设点 分别为圆 的圆心,
依题意不妨设 ,
由题意知 ,因为 是圆 的切线,
根据勾股定理可得 ,
所以 ,因为点 在圆 上,
故可设点 ,又 ,
代入化简得 ,
整理得 ,则 ,解得 或 (舍去).
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.对于函数 和 ,下列说法中正确的有
A. 与 有相同的最小正周期
B. 与 有相同的最大值
C. 与 有相同的零点
D. 与 的图象有相同的对称轴
【答案】AB
【解析】对于 因为 ,可得最小正周期 ,
令 ,得零点为 ,
令 ,解得 ,故对称轴为直线 ;
对于 : 因为 ,可得最小正周期 ,
令 ,得零点为 ,
令 ,解得 ,故对称轴为直线 ;
综上可得, 和 的最小正周期和最大值相同.
10.已知点 ,直线 为坐标原点,动点 到点 的距离是点 到直线 的距离的一半. 若某直线上存在这样的点 ,则称该直线为“最远距离直线”,则下列结论中正确的是
A. 点 的轨迹方程是
B. 直线 是 “最远距离直线”
C. 满足 的点 有且仅有 4 个
D. 若点 形成的轨迹为曲线 ，且矩形 内接于曲线 ，则矩形 面积的最大值为
【答案】ACD
【解析】设动点 ,由题得 ,
两边平方得 ,展开得 ,
移项合并得 ，两边除以 12 得 ，故 正确；
联立 与 ,由直线方程得 ,
代入椭圆方程得 ,化简得 ,
判别式 ,方程无实数解,故 B 错误;
由 得 ,联立 ,
由椭圆方程得 ,将 代入得 ,
化简得 ,解得 ,对应 ,
即 ,共 4 个点,故 正确;
设椭圆 上第一象限内点 ,
矩形面积 ,
当 ,即 时, ,故 D 正确.
11.如图，在三棱锥 中，侧棱 两两垂直，且 为底面 内一动点 (含边界),点 到三个侧面的距离分别为 ,直线 和三条侧棱所成的角分别为 , 直线 和三个侧面所成的角分别为 ,则
A. 该三棱锥的外接球半径为
B.
C.
D. 当 时， 点的轨迹长度为
【答案】ACD
【解析】对于 ,由三条侧棱 两两垂直,且 ,则该三棱锥可补成正方体,
如图 1 所示,该三棱锥的外接球也就是补成的正方体的外接球,
则外接球半径 ,故 A 正确;
对于 ,过 作三个侧面的垂线,连接相应的线段构成如图 2 所示的长方体,
则直线 与 所成角为 记为 ,
与 所成角为 记为 ,与 所成角为 记为 ,
则 ,
则 ,故 B 错误;
对于 ,直线 与平面 ,平面 ,平面 所成角分别为 ,
则 ,
故
, 故 C 正确;
对于 ,在该长方体中, ,则 ,故 点的轨迹为以 为球心,半径为 的球面被三角形面 所截得的圆弧,设点 到平面 的距离为 ,则 ,
由 ,可得 ,解得 ,
则截面圆半径 .
设 内切圆半径为 ,则由 ,解得 ,
因为 ,所以轨迹为三段圆弧,
如图，设 ， 分别为其中一段圆弧的两个端点， 为点 在底面 的投影，
则 ， 由对称性易得 ,由正弦定理, 的外接圆半径 ,
在 中,由余弦定理, ,
即 ,解得 或 (由对称性,此时 ,故舍去),
所以 ,所以弧 对应的圆心角为 ,其长度为 ,
所以 点的轨迹长度为 ,故 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.若指数函数 满足 ，则 ________.
【答案】27
【解析】设指数函数 ,由 得 ,解得 (舍去) 或 ,所以 ,则 .
13.数学家波利亚说:“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理,又称为富比尼原理. 由等式 利用算两次原理可得 _____. (结果用组合数表示)
【答案】
【解析】 展开式中 的系数为 展开式中 的系数为 ，因为等式左右两边相等，故 的系数也相等，
即 .
14.草坪上有一个带有围栏的边长为 的正三角形活动区域 ,点 在边 上，且 ，小闵同学在该区域玩耍，他在 处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角(任两条光线的最大夹角)为 ， 则手电筒在 内部所能照射到的地面的最大面积为_____ .
【答案】
【解析】依题意,要使手电筒在 内部所能照射到的地面的面积最大,则光线必须经过 边,如图,
在正 中, ,
设 ,
由正弦定理得: ，则 ，
,则 ,
当且仅当 ,即 ,即 时取等号,
所以手电筒在 内部所能照射到的地面的最大面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.记数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 求数列 的前 项和 ．
【解析】(1)在数列 中， ， ，则 ，
当 时, ,
则数列 是以 为首项,2 为公比的等比数列,
因此,当 时, ,而 不满足上式,
所以数列 的通项公式为
(2)由(1)得
则 ,

16.幸福农场生产的某批次 20 件产品中含有 件次品,从中一次任取 10 件,其中次品恰有 件.
(1)若 ，求取出的产品中次品不超过 1 件的概率；
(2)记 ，则当 为何值时， 取得最大值.
【解析】(1)记“取出的产品中次品不超过 1 件”为事件 ，
则 .
因为 ,
所以 .
故取出的产品中次品不超过 1 件的概率是 .
(2)因为 ,所以 .
若 ,
则 ,解得 .
故当 时, ; 当 时, ;
所以当 时, 取得最大值 .
17.如图，在三棱台 中，平面 平面 .
(1)求证: ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
【解析】
(1)取 的中点 ，连接 ，
因为 为 中点,所以 ,
又因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
所以 平面 ,而 平面 ,则 .
因为 ,所以四边形 是菱形, ,
而 平面 ,因此 平面 ,
因为 平面 ,所以 .
(2)取 的中点 ，则 ，
由平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
则 平面 ,又 平面 ,所以 ,
则 两两垂直,依题可建立如图所示空间直角坐标系 .
在平面 内作 于 ,连接 .
因为平面 平面 ,所以 平面 .
在梯形 中,由题意 .
在 Rt 中, .
在 Rt 中, ,
,
设平面 的法向量 ,
则
取 ,得 .
设平面 的法向量 ,
则
取 ,得 ,
所以 ,
因此平面 和 夹角的余弦值是 .
18.已知椭圆 过点 ，离心率为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设 ，过椭圆 的右焦点 的直线 交椭圆于 两点，点 在 轴上方.
( i )求证: ；
(ii)设点 在椭圆 上， 平分 ，点 是 的外接圆与椭圆 的另一个交点 ，且 ，求 的值.
【解析】(1)由椭圆 的离心率为 ,得 ,则 ,
由椭圆 过点 ，得 ，解得 ， ，
所以椭圆 的标准方程是 .
(2)(i)记 ， ，依题意， ，
设直线 的方程为 ，代入椭圆方程得: ，
则有 ①,
设 与 的斜率分别为 ,
则 ,
所以 .
(ii) 设 满足 ,
则 ②,
将 代入②，
并化简得 ③,
将(2)(i)中①代入③得: ，
即 ,又直线 和直线 的交点为 ,
因此满足 的 点都在以 为直径的圆上,
又 都在以 为直径的圆上,则 是 的角平分线,
则 ,
于是 .
则 ,解得 ,
所以 .
19.已知函数 .
(1)求 的图象在点 的切线方程；
(2) ，求实数 的取值范围；
(3)请阅读下列两段材料:
材料 1: 阶导数定义: 设函数 的 阶导数 仍是可导函数,则 的导数 称为 的 阶导数,记为 ,即 .
材料 2: 一般地,函数 在 处的 阶帕德逼近函数定义为: ,且满足
请根据以上材料回答下列问题:
记 为 在 处的 阶帕德逼近函数,当 时,求函数 的最小值; 并证明: . (其中 为自然对数的底数).
【解析】(1) ,
又 ,
切线方程: ,即切线方程为: .
(2) 在区间 内恒成立,
令 ,
注意到 ,则 ,
当 时， 恒成立，
所以 在区间 内单调递减,则 符合题意.
当 时,令 ,
,故当 时, ,即 ,
则 在区间 内单调递增,故 ,与已知矛盾.
所以实数 的取值范围是 .
(3)由题意得 ,
由 ,得 ,
所以 ,则 ,
由 ,得 ,
所以 ,
由 ,得 ,则 ,
故 ,
则 ,
所以 在区间 内单调递增,所以 .
当 时, ,即 ,整理得 ,
由 (2) 可知当 时, ,则 ,
当 时, .
令 ,得 ,
即 .