山东省济南市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷含答案（word版+pdf版）

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注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1. 已知等比数列 an ,满足 a3=4,a4=6 ,则 a5=
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
2. 已知向量 a=3,−2,1,b=6,x,2 ，若 a//b ，则 x=
A. -10 B. -4 C. 4 D. 10
3. 椭圆 x2100+y236=1 的焦点坐标为
A. −8,0,8,0 B. −10,0,10,0
C. 0,−8,0,8 D. 0,−10,0,10
4. 已知直线 y=−x+2 与 mx−y+1=0 垂直，则 m=
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
5.2025 年 11 月 9 日至 21 日，第十五届全国运动会在广东、香港、澳门三地举办. 志愿者招募工作中，某高校每天报名的人数成等差数列，已知该高校前三天共报名 90 人，前五天共报名 225 人，则第一天报名的人数为
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
6. 已知圆 C:x2+y2=4 ,直线 l:x−ky+3=0 ,则圆 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
7. 双曲线具有如下光学性质: 从双曲线的一个焦点发出的光线, 经双曲线反射后, 反射光线的反向延长线经过另一个焦点. 已知 F1,F2 为双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点,从 F2 发出的光线经过双曲线右支上点 P 反射后,反射光线与入射光线垂直,且 F1F2=5PF2 ,则 C 的渐近线方程为
A. y=±55x B. y=±12x C. y=±x D. y=±2x
8. 在四棱锥 P−ABCD 中, AB=1,BC=3,AD=2,∠ABC=90∘,∠BAD=135∘ ,且 PA⊥ 底面 ABCD ,过点 A 的平面与侧棱 PB,PC,PD 分别交于点 E,F,G ,若四边形 AEFG 为矩形, 则此矩形的面积为
A. 63 B. 33 C. 263 D. 233
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多项符 合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知抛物线 C:y2=4x ,过焦点 F 的直线与 C 交于 A,B 两点,则
A. F 的坐标为 1,0 B. C 关于 x 轴对称
C. ∠AOB=π2 ( O 为坐标原点) D. 当 A 的坐标为 2,y0 时, AF=3
10. 在空间直角坐标系 Oxyz 中, A0,1,1,B1,1,2 ,则
A. AB=2 B. OA⋅OB=3
C. OA 在 OB 方向上的投影向量的模为 32 D. △OAB 的面积为 32
11. 已知数列 an 满足 an+1=2an−an2 ,则
A. 当 a1=1 时,数列 an 为常数列
B. 当 a1=12 时，数列 lg1−an 为等比数列
C. 当 a1∈1,2 时,数列 1an+1+1an−2 的前 n 项和 SnM 恒成立
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知圆 C:x2+y2+4y+3=0 ，则 C 的半径 r= _____.
13. 在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中， E 为 CC1 的中点，则直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为_____.
14. 已知 A1,A2 为双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右顶点,点 P 是 C 的右支上异于 A2 的一点，延长 PA2 交 y 轴于点 D ， A1P⊥A1D ，则 C 的离心率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
已知圆 C 过 O0,0,A0,2,B2,0 三点.
(1)求 C 的方程；
(2)求直线 x−y+1=0 被 C 所截得的弦长.
16. (本小题满分 15 分)
已知等比数列 an 的公比 q=3 ，且 a1a3=a4 .
(1)求 an 的通项公式；
(2)设 bn=n+an ，求数列 bn 的前 n 项和 Sn .
17. (本小题满分 15 分)
如图，四棱锥 P - ABCD 的底面 ABCD 是正方形， PD⊥ 平面 ABCD,PD=AD=4,E 为
PA 的中点.

(1)证明: AB⊥DE ；
(2)求平面 BDE 与平面 ABCD 夹角的余弦值；
(3)求点 P 到平面 BDE 的距离.
18. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 过点 M1,32 ，离心率为 12 .
(1)求 C 的标准方程；
(2)设 C 的左、右焦点为 F1 ， F2 ， C 的一条切线 l 与直线 x=−a ， x=a 分别交于 A ， B 两点.
(i) 若 l 过点 M ，直线 BF2 与 C 交于 G ， H 两点，求 △MGH 的面积；
(ii) 若直线 AF1 与 BF2 交于点 Q ,是否存在两个定点 F3,F4 ,使得 QF3+QF4 是定值? 如果存在,求出 F3,F4 的坐标; 如果不存在,请说明理由.
19. (本小题满分 17 分)
已知正项数列 an ,满足 a1=1,a2=13 ,且 an−1an=3an−1an+1−2anan+1,n≥2 .
(1)证明:数列 1an+1−1an 为等比数列；
(2)设 an 的前 n 项和为 Sn ，且数列 bn 满足: b1=1,anbn=Sn−1,n≥2 .
(i) 当 n≥2 时,证明: bn+1bn+1=1an+2 ;
(ii)若 1+1b11+1b21+1b3⋯1+1bn0,x1+x2=87,x1x2=−87 ,
所以 x1−x2=x1+x22−4x1x2=872−4×−87=87×367=1227 ,
所以 △MGH 的面积为 12×32x1−x2=34×1227=927 .
(ii) 设切点坐标 x0,y0 ,则 x0​24+y0​23=1,l:x0x4+y0y3=1 ,
所以 A−2,1+x02y03,B2,1−x02y03 ,即 A−2,6+3x02y0,B2,6−3x02y0 ,
直线 AF1:y=6+3x02y0−1x+1 ,即 y=6+3x0−2y0x+1 ,
直线 BF2:y=6−3x02y01x−1 ,即 y=6−3x02y0x−1 ,
压面两个式子相乘得: y2=36−9x02−4y02x2−1 ,
因为 x024+y023=1 ，所以 x2+y23=1 ，
所以点 Q 在以 0,−2,0,2 为焦点,长轴长为 23 的椭圆上,
所以存在 F30,−2,F40,2 或 F30,2,F40,−2 ,使得 QF3+QF4=23 .
19. 【解析】(1)由正项数列 an 可知， an 各项均不为 0，
将 an−1an=3an−1an+1−2anan+1 等式两边同时除以 an−1anan+1 ,
得 1an+1=3an−2an−1 ,
则 1an+1=1an+2an−2an−1 ,即 1an+1−1an=2an−2an−1=21an−1an−1,n≥2 ,
又 1a2−1a1=2≠0 ,所以 1an+1−1an1an−1an−1=2,n≥2 ,
故数列 1an+1−1an 是首项为 2,公比的 2 等比数列.
(2)由(1)可知, 1an+1−1an 是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列,
即 1an+1−1an=2⋅2n−1=2n ,
则 1an−1an−1=2n−1,1an−1−1an−2=2n−2,⋯,1a2−1a1=2 ,
即 1an−1an−1+1an−1−1an−2+⋯+1a2−1a1=2n−1+2n−2+⋯+2 ,
所以 1an−1a1=2n−1+2n−2+⋯+2=21−2n−11−2=2n−2 ,
又 a1=1 ,故 1an=2n−1 ,即 an=12n−1 ,
(i) 由 anbn=Sn−1⋯⋯ ①,可得 an+1bn+1=Sn⋯⋯ ②,
②- ①可知， an+1bn+1−anbn=Sn−Sn−1=an,n≥2 ，
则 an+1bn+1=an+anbn=anbn+1,n≥2 ,且 an=12n−1 ,
故 bn+1bn+1=an+1an=2n−12n+1−1=2n−122n−1+1=12+12n−1=1an+2,n≥2 ,
所以 bn+1bn+1=1an+2,n≥2 .
(ii) 设 Tn=1+1b11+1b21+1b3⋯1+1bn ,
则 Tn=b1+1b1⋅b2+1b2⋅b3+1b3⋯bn+1bn ,
又由 (i) 可知, n≥2 时, bn+1bn+1=an+1an ,
则 Tn=b1+1b1b2⋅b2+1b3⋅b3+1b4⋯bn+1bn+1⋅bn+1=b1+1b1b2⋅a3a2⋅a4a3⋯an+1an⋅bn+1=b1+1b1b2⋅an+1a2⋅bn+1=b1+1b1b2a2⋅an+1⋅bn+1 ,
又 n=2 时, a2b2=S1=a1=1 ,且由②可知, an+1bn+1=Sn ,
故 Tn=b1+1b1b2a2⋅an+1⋅bn+1=b1+1b1⋅Sn=2Sn ,
即 Tn=2Sn=2a1+a2+⋯+an=2121−1+122−1+⋯+12n−1=21+122−1+⋯+12n−1 ,
又 n≥2 时, 0