辽宁省2025中考数学第六章圆第二十二课时圆的基本概念及性质讲课件

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一、圆的有关概念和性质
【例1】如图，已知A，B，C，D 四点都在⊙O 上，AB 为⊙O的直径，CD 与AB 相交于点E，连接OD，BD. (1) 若OBD=60°，则BOD 的度数为__________；(2) 若⊙O 中最长的弦是16 cm， 则⊙O 的半径是_______ cm；(3) 下列说法正确的是____________. ① AD是劣弧，ACD是优弧；②∠ AOD 是圆心角；③ AB 是⊙O 的对称轴；④AB是半圆.
二、弧、弦、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ⑦_________，所对的弦 ⑧ _________
推论1. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角 ⑨ _________ ，所对的弦 ⑩ _________ ；2. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 ⑪ _________ ，所对的优弧和劣弧分别 ⑫ _________【解题锦囊】在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么另外两组量也分别相等，即“知一推二”
【例2】如图， 点A，B，C，D 在⊙O 上， 连接OA，OB，OC，OD，AB，CD， 下列说法正确的有___________. ① 若∠ AOB= ∠ COD，则AB =CD ； ② 若AB =CD，则AB=CD；③若∠ B= ∠ D，则AB=CD.
三、垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径 ⑬ _________弦，并且 ⑭_________弦所对的两条弧推论平分弦(不是直径)的直径 ⑮ _________弦，并且 ⑯ _________弦所对的两条弧
【解题锦囊】1. 如图，根据圆的对称性，以下五个结 论：①AC=BC；②AD=BD；③AB⊥CD；④AE= BE；⑤CD是直径，只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即“知二推三”，但若由④⑤推其他结论要满足AB不是直径. 2. 应用：常借助半径、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形 (如图中的Rt△AOE)，利用勾股定理或三角函数求线段长
【例3】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB与CD交于点E，B是CD的中点，CD=8，连接OC. (1)若∠C=30°，则∠BOC= _______°，AE= _______；(2) 若BE=2，则⊙O的半径是_______.
四、圆周角定理及其推论定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ⑰ ________推论1. 同弧或等弧所对的圆周角相等；2. 半圆(或直径)所对的圆周角是 ⑱________，90°的圆周角所对的弦是 ⑲ ________. 【解题锦囊】在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦相等
【例4】如图，AB是⊙O的直径，点 C，D在⊙O上，CD平分∠ACB，∠ADC=30°. (1) ∠ABC= ________°，∠AOC= ________°；(2) 若⊙O的半径是4，则BC=________ ，AD=________.
五、圆内接四边形概念如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆性质圆内接四边形的对角 ⑳_______，如图，∠A+∠D= ㉑ _______【解题锦囊】圆内接四边形的任意一个外角都等于它的内对角. 如图，∠DCE= ㉒ _________
【例5】如图，四边形ABCD是O的内接四边形，∠A∶∠B∶∠D = 3∶4∶5，则∠DCE的度数是_______.
命题点1 弧、弦、圆心角之间的关系1. [人教九上P85练习第2题改编]如图，AB为半圆O的直径，点C，D为AE的三等分点，若∠COD=50°，则∠BOE的度数是( )A. 25° B. 30° C. 50° D. 60°
2. 如图，在⊙O中，如果∠AOB=2∠AOC(均小于180°)，那么下列关系正确的是 ( )A. AB=2AC B. AB＞2ACC. AB＜2AC D. AB=AC
命题点2 垂径定理及其推论3. [2024 营口一模] 月洞门为中国古典建筑中常见的过径门,因圆形如月而得名. 某地园林中有一个圆弧形月洞门(如图),高为2. 5m,地面入口宽为1 m，则该月洞门门洞的半径为______m.
命题点3 圆周角定理及其推论4. [2024 大连三十四中一模] 如图，在⊙O 中，弦AB=5 cm，∠ ACB=3 0 °，则⊙O 的半径是( )A. 5 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm
点拨：连接OA，OB，∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝2∠ACB＝60°.∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形．∴AB＝AO＝BO＝5 cm，∴⊙O的半径是5 cm.
5. [2024 沈阳实验中学模拟改编] 如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AB 是直径，D 是AC 的中点. 若∠ B=40°，则∠ C 的大小为( )A. 100° B. 110° C. 120° D. 130°
6. [2024 鞍山二模] 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E，∠ ACD=70 °，∠ ADC=4 0°，则∠ AED 的度数为 ( )A. 110°B. 115°C. 12 0°D. 10 5°
命题点4 圆的性质综合题7. [北师九下P84 习题第3 题改编] 如图，⊙O 的内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别交于点E，F. (1) 若∠ E= ∠ F，求证：∠ ADC= ∠ ABC；(2) 若∠ E=40°，∠ F=42°，求∠A 的度数.
证明：∵∠E＝∠F，∠ECD＝∠FCB，∴∠E＋∠ECD＝∠F＋∠FCB，∴∠ADC＝∠ABC.
解：∵∠A＋∠BCD＝180°，∠ECD＋∠BCD＝180°，∴∠A＝∠ECD.∵∠EDC＝∠A＋∠F，且∠EDC＋∠E＋∠ECD＝180°，∴2∠A＋∠E＋∠F＝180°.∵∠E＝40°，∠F＝42°，∴∠A＝49°.