广东省江门市江海区礼乐街道第三初级中学2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题

这是一份广东省江门市江海区礼乐街道第三初级中学2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（3分）一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根是x＝1，则另一个根是（ ）
A．3B．﹣1C．﹣3D．﹣2
3．（3分）若方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣3B．x＝﹣2C．x＝﹣1D．x＝1
4．（3分）方程x（x+2）＝0的解是（ ）
A．x＝0B．x＝2C．x＝0或x＝2D．x＝0或x＝﹣2
5．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＞0且m≠1B．m＞0C．m≥0且m≠1D．m≥0
6．（3分）将抛物线y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+3B．y＝（x﹣2）2﹣3
C．y＝（x+2）2+3D．y＝（x+2）2﹣3
7．（3分）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+2x+1＝0B．x2+x+2＝0C．x2﹣1＝0D．x2﹣2x﹣1＝0
8．（3分）关于抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，下列说法中错误的是（ ）
A．开口方向向上
B．对称轴是直线x＝1
C．当x＞1时，y随x的增大而减小
D．顶点坐标为（1，﹣2）
9．（3分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛．如果设邀请x个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（ ）
A．2x＝15B．x（x+1）＝15
C．x（x﹣1）＝15D．12x(x−1)=15
10．（3分）如果关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，那么k的值等于（ ）
A．1B．2C．0D．﹣1
二、填空题（每题4分，共20分）
11．（4分）点P（﹣3，6）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．（4分）若抛物线y＝x2+（m+1）x+9与x轴只有一个交点，则m的值为 ．
13．（4分）如图，一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为 ．
14．（4分）抛物线y＝x2+x﹣2与x轴的交点坐标为 ，与y轴交点的坐标为 ．
15．（4分）m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m+2023的值为 ．
三、解答题（一）（每题6分，共24分）
16．（6分）x2﹣6x﹣9＝0（配方法）．
17．（6分）解方程：3x2+5x﹣2＝0．
18．（6分）2x2﹣3x+1＝0（十字相乘法）．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4）．画出与△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标．
三、解答题（二）（每题7分，共28分）
20．（7分）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
21．（7分）某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t，三月份的总产量为720t，若平均每月的增长率相同．
（1）第一季度平均每月的增长率；
（2）如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年5月份总产量能否突破1000t？
22．（7分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，为使利润最大，定价应为 ．
23．（7分）在一场足球比赛中，一球员从球门正前方10米处起脚射门，当球飞行的水平距离为6米时达到最高点，此时球高为3米．
（1）如图建立直角坐标系，当球飞行的路线为一抛物线时，求此抛物线的解析式．
（2）已知球门高为2.44米，问此球能否射中球门（不计其它情况）．
三、解答题（三）（共18分）
24．（8分）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点D是抛物线上一点，D点横坐标为3，连接AD，点P为AD上方抛物线上一点，连接PA，PD，请求出△PAD面积的最大值及此时点P的坐标．
2023-2024学年广东省江门市江海区礼乐三中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：第一个图是轴对称图形，是中心对称图形；
第二个图是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个图是轴对称图形，又是中心对称图形；
第四个图是轴对称图形，不是中心对称图形；
既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个，
故选：B．
2．（3分）一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根是x＝1，则另一个根是（ ）
A．3B．﹣1C．﹣3D．﹣2
【答案】C
【分析】根据根与系数的关系可得出两根的积，即可求得方程的另一根．
【解答】解：设m、n是方程x2+kx﹣3＝0的两个实数根，且m＝x＝1；
则有：mn＝﹣3，即n＝﹣3；
故选：C．
3．（3分）若方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣3B．x＝﹣2C．x＝﹣1D．x＝1
【答案】C
【分析】先根据题意得出抛物线与x轴的交点坐标，再由两点坐标关于抛物线的对称轴对称即可得出结论．
【解答】解：∵方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为（﹣3，0），（1，0）．
∵此两点关于对称轴对称，
∴对称轴是直线x=−3+12=−1．
故选：C．
4．（3分）方程x（x+2）＝0的解是（ ）
A．x＝0B．x＝2C．x＝0或x＝2D．x＝0或x＝﹣2
【答案】D
【分析】利用因式分解的方法得到x＝0或x+2＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：x＝0或x+2＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣2．
故选：D．
5．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＞0且m≠1B．m＞0C．m≥0且m≠1D．m≥0
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×[﹣（m﹣1）]＝4m＞0，
∴m＞0．
故选：B．
6．（3分）将抛物线y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+3B．y＝（x﹣2）2﹣3
C．y＝（x+2）2+3D．y＝（x+2）2﹣3
【答案】D
【分析】先得到抛物线y＝x2的顶点坐标（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到对应点的坐标为（﹣2，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣3．
故选：D．
7．（3分）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+2x+1＝0B．x2+x+2＝0C．x2﹣1＝0D．x2﹣2x﹣1＝0
【答案】B
【分析】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．
【解答】解：A、Δ＝22﹣4×1×1＝0，方程有两个相等实数根，此选项错误；
B、Δ＝12﹣4×1×2＝﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；
C、Δ＝0﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
D、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
故选：B．
8．（3分）关于抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，下列说法中错误的是（ ）
A．开口方向向上
B．对称轴是直线x＝1
C．当x＞1时，y随x的增大而减小
D．顶点坐标为（1，﹣2）
【答案】C
【分析】根据y＝（x﹣1）2﹣2可得抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），x＞1时y随x增大而增大，x＜1时y随x增大而减小，进而求解．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），x＞1时y随x增大而增大，x＜1时y随x增大而减小，
故选：C．
9．（3分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛．如果设邀请x个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（ ）
A．2x＝15B．x（x+1）＝15
C．x（x﹣1）＝15D．12x(x−1)=15
【答案】D
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数=x(x−1)2，由此可得出方程．
【解答】解：设邀请x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得，x(x−1)2=15，
故选：D．
10．（3分）如果关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，那么k的值等于（ ）
A．1B．2C．0D．﹣1
【答案】A
【分析】根据根的判别式得到Δ＝（﹣2）2﹣4k＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4k＝0，
解得k＝1．
故选：A．
二、填空题（每题4分，共20分）
11．（4分）点P（﹣3，6）关于原点对称的点的坐标是 （3，﹣6） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】关于原点对称的两个点的横纵坐标分别互为相反数．
【解答】解：点P（﹣3，6）关于原点对称的点的坐标是 （3，﹣6）．
故答案为：（3，﹣6）．
12．（4分）若抛物线y＝x2+（m+1）x+9与x轴只有一个交点，则m的值为 ﹣7或5 ．
【答案】﹣7或5．
【分析】利用抛物线与x轴只有一个交点，令y＝x2+m+1）x+9＝0，根据b2﹣4ac＝0进而求出m的值即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+（m+1）x+9与x轴只有一个交点，
∴令y＝x2+（m+1）x+9＝0，
∴b2﹣4ac＝（m+1）2﹣4×9＝0，
解得：m＝﹣7或5，
故答案为：﹣7或5．
13．（4分）如图，一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为 x1＝﹣1，x2＝4 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据图象求出抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标，进而写出一元二次方程ax2+bx+c＝0的解．
【解答】解：由图可知：抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（4，0），
则一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝4．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝4．
14．（4分）抛物线y＝x2+x﹣2与x轴的交点坐标为 （﹣2，0）、（1，0） ，与y轴交点的坐标为 （0，﹣2） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】抛物线与x轴的交点的纵坐标为零；抛物线与y轴交点的横坐标为零．
【解答】解：①当y＝0时，由原抛物线方程，得
x2+x﹣2＝（x+2）（x﹣1）＝0，
解得，x＝﹣2或x＝1，
则抛物线y＝x2+x﹣2与x轴的交点坐标为（﹣2，0）、（1，0）；
②当x＝0时，y＝0+0﹣2＝﹣2，
则抛物线y＝x2+x﹣2与y轴的交点坐标为（0，﹣2）；
故答案为：（﹣2，0）、（1，0）；（0，﹣2）．
15．（4分）m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m+2023的值为 2025 ．
【答案】2025．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝m代入已知方程后即可求得所求代数式的值．
【解答】解：把x＝m代入2x2+3x﹣1＝0，得
2m2+3m﹣1＝0，
则2m2+3m＝1．
所以4m2+6m+2023＝2（2m2+3m）+2023＝2+2023＝2025．
故答案为：2025．
三、解答题（一）（每题6分，共24分）
16．（6分）x2﹣6x﹣9＝0（配方法）．
【答案】x1＝3+32，x2＝3﹣32．
【分析】利用配方法解方程．
【解答】解：x2﹣6x﹣9＝0，
x2﹣6x＝9，
x2﹣6x+9＝18，
（x﹣3）2＝18，
x﹣3＝±32，
所以x1＝3+32，x2＝3﹣32．
17．（6分）解方程：3x2+5x﹣2＝0．
【答案】见试题解答内容
【分析】将方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，分别求出两个一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解：3x2+5x﹣2＝0，
因式分解得：（3x﹣1）（x+2）＝0，
可化为3x﹣1＝0或x+2＝0，
解得：x1=13，x2＝﹣2．
18．（6分）2x2﹣3x+1＝0（十字相乘法）．
【答案】x1=12，x2＝1．
【分析】先利用因式分解法把方程转化为2x﹣1＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：2x2﹣3x+1＝0，
（2x﹣1）（x﹣1）＝0，
2x﹣1＝0或x﹣1＝0，
所以x1=12，x2＝1．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4）．画出与△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标．
【答案】A1（5，﹣1）．
【分析】利用关于原点中心对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后连线得到△A1B1C1．
【解答】解：如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（5，﹣1）．
三、解答题（二）（每题7分，共28分）
20．（7分）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出Δ＞0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）结合（1）结论，令m＝1，将m＝1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4m+5＞0，
解得：m＞−54．
（2）m＝1，此时原方程为x2+3x＝0，
即x（x+3）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣3．
21．（7分）某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t，三月份的总产量为720t，若平均每月的增长率相同．
（1）第一季度平均每月的增长率；
（2）如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年5月份总产量能否突破1000t？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设第一季度平均每月的增长率为x，根据该厂一月份及三月份的总产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据五月份的总产量＝三月份的总产量×（1+增长率）2，即可求出今年五月份的总产量，再与1000进行比较即可得出结论．
【解答】解：（1）设第一季度平均每月的增长率为x，
根据题意得：500（1+x）2＝720，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：第一季度平均每月的增长率为20%．
（2）720×（1+20%）2＝1036.8（t），
∵1036.8＞1000，
∴该厂今年5月份总产量能突破1000t．
22．（7分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，为使利润最大，定价应为 65 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】设商品的定价为x元/件，总利润为y，根据总利润＝单件利润×销售量列出函数解析式，再根据二次函数的性质可得．
【解答】解：设商品的定价为x元/件，总利润为y，
则y＝（x﹣40）[300﹣10（x﹣60）]
＝﹣10x2+1300x﹣36000
＝﹣10（x﹣65）2+6250，
∴当x＝65时，y最大＝6250，
故答案为：65．
23．（7分）在一场足球比赛中，一球员从球门正前方10米处起脚射门，当球飞行的水平距离为6米时达到最高点，此时球高为3米．
（1）如图建立直角坐标系，当球飞行的路线为一抛物线时，求此抛物线的解析式．
（2）已知球门高为2.44米，问此球能否射中球门（不计其它情况）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（4，3），利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）求出当x＝0时，抛物线的函数值，与2.44米进行比较即可判断．
【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标是（4，3），
设抛物线的解析式是：y＝a（x﹣4）2+3，
把（10，0）代入得36a+3＝0，
解得a=−112，
则抛物线是y=−112（x﹣4）2+3；
（2）当x＝0时，y=−112×16+3＝3−43=53＜2.44米．
故能射中球门．
三、解答题（三）（共18分）
24．（8分）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；
（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据写出函数解析式．
（2）计算出本问可用两种方法求得，求x＝3米时求出水面求出此时y的值，A、B点的横坐标减去y此时的值到正常水面AB的距离与3.6相比较即可得出答案．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2，
因为抛物线关于y轴对称，AB＝20，所以点B的横坐标为10，
设点B（10，n），点D（5，n+3），
n＝102•a＝100a，n+3＝52a＝25a，
即n=100an+3=25a，
解得n=−4a=−125，
∴y=−125x2；
（2）∵货轮经过拱桥时的横坐标为x＝3，
∴当x＝3时，y=−125×9，
同理，当x＝10时，y＝﹣4，
∵−925−（﹣4）＞3.6
∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
答：在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点D是抛物线上一点，D点横坐标为3，连接AD，点P为AD上方抛物线上一点，连接PA，PD，请求出△PAD面积的最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1）y=−12x2+x+4；
（2）△PAD面积的最大值是12516，此时点P的坐标为（12，358）．
【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），可以求得该抛物线的解析式；
（2）根据题意，先求出点D的坐标，即可求出直线AD的解析式，然后即可表示出△PAD面积，再根据二次函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），
∴4a−2b+4=016a+4b+4=0，
解得a=−12b=1，
即抛物线的函数解析式为y=−12x2+x+4；
（2）当x＝3时，y=−12×32+3+4=52，
∴点D的坐标为（3，52），
设直线AD的解析式为y＝kx+d，
∵点A（﹣2，0），D（3，52）在直线AD上，
∴−2k+d=03k+d=52，
解得k=12d=1，
即直线AD的解析式为y=12x+1，
设点P的坐标为（m，−12m2+m+4），△PAD面积为S，
S＝[（−12m2+m+4）﹣（12m+1）]×[3﹣（﹣2）]×12=−54（m−12）2+12516，
∴当m=12时，S取得最大值，此时S=12516，点P的坐标为（12，358）．
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