浙江省杭州市2026学年第一学期高二年级期末学业水平测试数学试题（含答案）

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12
13.-2
14.
四 、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (本参考答案中仅给出部分评分标准，其他解法参照赋分)
15.解析(1)圆C:(x-2)²+(y-3)²=5, 圆心为C(2,3)·····2 分
点 P(3,5) 在圆上 · · · · · · · · 3分
kcp=2, 故切线所在直线斜率
所求切线方程 即 x+2y-13=0 · · · · · · · · · ·6 分
(2)直线1的斜率为1, · · · · · · 7分
过点P(3,5),它的直线方程为x-y+2=0, ··········· 分
圆心C 到直线的距离为, · · · · · · · · · · · · · · 11分
所以直线l被圆C 所截得的半弦长为
即直线I 被圆C 所截得的弦长为3 √2. · · · · · · · · · · 13分
由 asinC=2bsin A,得sin AsinC=2sin Bsin A,其中A∈(0,π),sin A>0,
得sinC=2sin B.················5分
(2)
\l "bkmark1" 由三角形边长关系知 , 故b 7分
\l "bkmark2" 由余弦定理得， 10分
\l "bkmark3" 由 ( 1 ) sinC=2sin B, 得c=2b12 分
16. 【解析】
在平行四边形ABCD 中 ，AB=1,AD=√5, 则BC=AD=√5
因为A₁C=√ 6, 所以A₁B²+BC²=A₁C², 即A₁B⊥BC……………………1 分
又因为A₁B⊥BD,BD∩BC=B, 所以A₁B⊥ 面BCD, … … … … …………3 分
由于CDc 面BCD, 所以A₁B⊥CD … … 分
又因为CD⊥BD,A₁B∩BD=B, 所以CD⊥ 面A₁BD … … … …………6 分
(2)在平面BCD内，过B作BD的垂线，建立如图所示空间直角坐标系，
平行四边形ABCD 中，由AB⊥BD,AB=1,AD=√5, 有 BD=2, 则B(0,0,0),A₁(0,0,1),D(0,2,0),C(1,2,0)……………………7分
E 在线段A₁C上，设A₁E=λA₁C,λ∈[0,1],
则BE=BA₁+A₁E=BA₁+λA₁C=(0,0,1)+2(1,2,-1)=(1,2λ,1-2),……………………8 分 设面BDE 的法向量为n=(x,y,z), 则
令x=1-λ, 则n=(1-λ,0,-λ),……………………10 分
易知面A₁BD的法向量为m=(1,0,0),
设锐二面角E-BD-A₁ 的平面角为θ,由 , 得
,得 或入=- 1(舍) …… … …13分
所 以 , 设E 到 直 线BD 的距离为d
则 ……………………14分
……………………15分
18.解 析
( 1 ) 离 心 率 ,…… … ……1分 椭圆过点经过点 , …… … ………2分
得 到a²=4,b²=1,……………………4 分
椭圆方程
(2)
, 此 时 ，
当直线l 斜率不存在时，易知
设直线1斜率存在时，方程为y=k(x-1), 点 E(x₁,y₁),F(x₂,y₂),
,整理得(1+4k²)x²-8k²x+4k²-4=0,………………………8 分
则 △ = 4 8k²+16,
点 R到 直 线l 的距离为
令t=4k²+1≥1
则
综上， ,SAREF 的最大值为 …… ……17分
(注，其他解法参考赋分)
19.解析： (1)由题意得： 得p=2,………………………2 分
所以标准方程为y²=4x………………………………………………………………………3 分
(2)设直线l 的方程为x=my+1,A(x,y₁),B(x₂,y₂)
联立方程 整理得y²-4my-4=0,………………5 分
所以
设C(x3,y₃),D(x₄,y4)
所以 , 即y(y²-8)=v₃(y²-8)
y₁y₃ (y₃-y₁)=8(y₁-y₃),
所以y₁y₃=-8, 得
同理
……………………………………
13分
即
所以直线过定点(4,0).…………………………………………………………17分 【注】11分以后也可以按照下面方法处理，参考以上赋分
设直线CD 的方程为x=ty+n,联 得 y²-4ty-4n=0, ∴y₃y4=-4n=-16,∴n=4,
∴直线CD 过定点(4,0)