寒假复习巩固（三）有理数的乘法与除法 2025-2026学年人教版数学七年级上册（含答案）

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一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】本题考查有理数的除法运算，先把除法变成乘法，再计算乘法即可得到答案．
【详解】解：，
故选：C．
2．已知的相反数是a，则a的倒数为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】此题考查了相反数和倒数，根据相反数的定义求出a，再根据倒数的定义求解．
【详解】解：∵的相反数是a，
∴，
∴a的倒数为．
故选：C．
3．一条直线上依次有甲、乙、丙、丁四个煤场，相邻两个煤场之间的距离都是3千米，目前甲有煤100吨，乙有煤90吨，丙有煤12吨，丁没有煤．现在要将四个煤场的煤集中到一个煤场，已知1吨运输1千米的花费是10元，那么为使得运费最少，则应该把煤集中到煤场（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【分析】本题主要考查有理数的计算和有理数的大小比较，分别计算将煤集中到四个煤场需要的运费是解题的关键．
通过计算煤集中到每个煤场时的总运输费用，比较得出最小值．
【详解】解：集中到甲时：费用为元，
集中到乙时：费用为元，
集中到丙时：费用为元，
集中到丁时：费用为元，
∵，
∴集中到乙时运费最少，
故选：B．
4．居民生活用水通常按户计费．某城市居民生活用水的收费标准实行年度阶梯水价，计费标准如下表：
若某用户居民当年用水量为，则该用户居民需缴纳水费（ ）
A．1580元B．1420元C．1330元D．1250元
【答案】C
【分析】根据阶梯水价标准，分段计算用水量260立方米对应的水费．
本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵用水量260立方米＞240立方米，∴需分段计算：
第一阶梯水费：（元），
第二阶梯水费：（元），
第三阶梯水费：（元），
∴总水费：（元）．
故选：C．
5．下列计算①；②；③；④，正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】根据有理数乘除混合运算法则计算判断即可．
本题考查有理数的乘除运算，需根据运算法则逐一验证每个计算是否正确．
【详解】解：
① ∵
∴ 计算①错误;
② ∵,
∴ 计算②错误;
③ ∵ , ,
∴ 计算③正确;
④ ∵,
∴ 计算④正确.
综上，正确计算有2个，
故选：C．
6．已知，，且，则的值是（ ）
A．3或B．7或C．或D．10或
【答案】D
【分析】本题考查了绝对值的定义，有理数的加法，有理数的乘法．
根据绝对值的定义可知，，结合，筛选出满足条件的a和b的值，再计算的值．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴或，
当时，；
当时，；
∴的值为10或．
故选：D．
7．如图，数轴上，两点分别对应实数，，点为原点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查由数轴上点的位置关系判断代数式符号，数形结合是解决问题的关键．
由题意，结合图形可知，，且，逐项验证各个选项中结论的正误即可得到答案．
【详解】解：由题意，结合图形可知，，且，
A、由，且，知，选项中的结论错误，不符合题意；
B、由，知，选项中的结论错误，不符合题意；
C、由，知，，即，选项中的结论错误，不符合题意；
D、由，且，知，选项中的结论正确，符合题意；
故选：D．
8．有理数在数轴上的位置如图所示，下列各式：①；②；③；④，错误的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值的几何意义及有理数的运算，熟练掌握数轴上有理数的表示、绝对值的几何意义及有理数的运算是解题的关键；由数轴可知，，，，然后依次进行排除选项即可．
【详解】解：由数轴可知，，，
则①，正确；
②，，正确；
③，错误；
④因为，，所以，正确．
因此错误的有1个．
故选A．
二、填空题
9．已知互为相反数，互为倒数，则的值为 ．
【答案】−2025
【分析】本题考查相反数和倒数，根据相反数和倒数的定义，得到，再根据有理数的运算法则进行计算即可．
【详解】解：由题意，，
∴；
故答案为：−2025．
10．规定：，那么 ．
【答案】120
【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据定义的运算规则，先计算括号内的，再计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
则，
故答案为：．
11．规定，其中，是自然数，的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查新定义运算及有理数混合运算，正确理解新定义，熟练掌握有理数混合运算法则是解题关键．根据新定义的运算规则，将、的值代入表达式，根据有理数混合运算法则计算即可得答案．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：
12．为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．计费规则为：当月用电量中未超出第一档标准的部分按第一档单价计费，超出第一档但未超出第二档标准的部分按第二档单价计费，以此类推．下表是户月用电量及分档计费标准：
某户上一个月的用电量为，则该户上一个月的电费为 元．
【答案】165
【分析】本题主要考查了有理数混合运算的实际应用，理解题意是解本题的关键．
由于用电量为，处于第二档范围，因此电费需分段计算：第一档部分按单价元计算，第二档部分按单价元计算．
【详解】解：第一档电费：（元），
第二档电费：（元），
总电费：（元）．
故答案为：165．
13．若规定，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查有理数的运算，根据新定义，列出算式，进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：3
14．小明与小刚规定了一种新运算：，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算以及新定义运算的理解和应用．根据新运算的定义，先将化简为，然后分步计算内层运算，再计算其结果与的运算即可解答．
【详解】解：由新运算定义：，
先计算：，
再计算：，
所以，
故答案为：．
15．数学活动课上，小语设计了一个如图的程序图．若输入的，输出的数是a，若输入的，输出的数是b，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解流程图的运算方式是解题关键．
分别代入x的值进行运算，得到a和b，再相乘即可．
【详解】解：当时，输出的结果为；
当时，输出的结果为；
∴，，
∴，
故答案为： ．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了有理数的混合运算．
（1）直接根据有理数的加减运算法则计算即可；
（2）直接根据有理数的加减运算法则计算即可；
（3）先计算乘除，再计算减法即可；
（4）先计算括号内的加减运算，再计算除法．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
17．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)3
(2)4
(3)
(4)0
【分析】本题考查有理数的计算，熟练掌握有理数的混合运算法则和运算顺序，是解题的关键：利用有理数的混合运算法则和运算顺序，逐一进行计算即可．
（1）根据有理数的加减法即可求解；
（2）根据有理数的加减法即可求解；
（3）先算乘除，后算加法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；
（4）利用乘法分配律计算即可；
【详解】（1）解：原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
18．横山大明绿豆是陕西省榆林市横山区特产，中国地理标志产品，被誉为粮食中的绿色珍珠．某农户收获了30袋大明绿豆，每袋以20千克为标准，超过标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数，记录如下（单位：千克）：
(1)这30袋大明绿豆中，最轻的一袋重______千克，超过标准质量的有______袋；
(2)若大明绿豆的价格为10元/千克，求该农户售出这30袋大明绿豆的总收入．
【答案】(1)19，18
(2)该农户售出这30袋大明绿豆的总收入是6120元
【分析】本题主要考查正数和负数的应用，有理数的四则混合运算的应用，掌握正负数在题目中的实际意义是解答本题的关键．
（1）根据题意和表中的数据进行解答即可；
（2）根据题意列式进行解答即可．
【详解】（1）解：由题意得，
这30袋大明绿豆中，最轻的一袋重（千克），
超过标准质量的有（袋），
故答案为：19，18；
（2）解：
（千克），
（元），
答：该农户售出这30袋大明绿豆的总收入是6120元．
19．榆林山地苹果以“风味浓、蜡质厚、口感甜、硬度大、耐贮运”的特点，受到了大众的青睐．小李在某电商平台售卖榆林山地苹果，原计划每天卖100千克，但由于种种原因，每天的实际销售量与计划销售量相比有出入，某周的实际销售情况记录如下：（超出计划销售量的部分记为正，不足计划销售量的部分记为负，单位：）
．
若小李以元/千克的价格购进山地苹果，又按元/千克出售，且他需为买家按元/千克的价格支付山地苹果的运费，求小李本周销售榆林山地苹果的总利润．（除进价和运费外，不计其他成本）
【答案】元
【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用，用计划七天的销售量加上所给的实际销售情况记录可求出小李本周销售榆林山地苹果的重量，再根据利润等于总售价减去进价，再减去运费列式求解即可．
【详解】解：
（千克），
∴小李本周销售榆林山地苹果（千克），
（元），
答：小李本周销售榆林山地苹果的总利润为（元）．
20．已知a，b均为有理数，现定义一种新的运算，规定：，
例：．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)25
【分析】本题考查了新定义运算,有理数的混合运算．
（1）根据新定义计算即可；
（2）分别计算、，相减即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：，
，
．
21．在学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法：“除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数．”请根据所学知识完成下列问题．
(1)根据倒数的定义我们知道，若，则______；
(2)计算：；
(3)根据以上信息可知：______．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查有理数的除法运算以及倒数，理解并掌握倒数的意义是解题的关键．
（1）由题意直接根据倒数的定义即可求解；
（2）先将除法运算化为乘法运算，再利用乘法分配律进行计算即可求解；
（3）直接根据（2）的结果结合倒数的定义即可求解．
【详解】（1）解：，即，
，
即，
故答案为：；
（2）解：原式，
，
；
（3）解：由（2）可知，，
，
故答案为：．
22．在数学的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索规律、提出猜想的思想方法称为归纳．
特殊发现
（1）①填空：；______，______；
②填空：；______，_____．
简单猜想
（2）从上面的填空题可猜想：若一个两位数或三位数的各位数字之和能被3整除，则这个数_______（填写“能”或“不能”）被3整除．
归纳验证
（3）有一个三位数（a，b，c分别为其百位，十位，个位上的数字）．若可以被3整除，试说明这个三位数可以被3整除．
【答案】（1）①5；26；②7；256；（2）能；（3）见解析
【分析】本题考查通过观察、分析特殊情况来归纳总结规律，并对规律进行验证．
（1）直接计算出相应的结果即可；
（2）根据（1）中计算的结果，归纳总结出规律；
（3）将三位数表示为，然后通过变形，结合已知条件能被3整除来证明．
【详解】解：（1）①：；
②：；
（2）若一个两位数或三位数的各位数字之和能被3整除，则这个数能被3整除，
验证如下：
如（1）中两位数18，，各位数字之和9能被3整除，则这个数18能被3整除；
（3）已知这个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a、b、c，则这个三位数可以表示为，
将变形为，进一步整理为 ，
因为，所以能被3整除，
又因为已知可以被3整除，
由于和都能被3整除，所以它们的和 ，即也能被3整除，也就是这个三位数可以被3 整除．
收费方式
年用水量
费用（元）
第一阶梯
第二阶梯
6
第三阶梯
240以上
8
计费档
户月用电量
单价元
第一档
第二档
第三档
超过或不足的质量/千克
0
袋数/袋
1
5
6
8
7
3