广东省深圳市龙岗区智民实验学校九年级上学期9月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省深圳市龙岗区智民实验学校九年级上学期9月月考数学试题（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共24分，把答案填在答题卡上）
1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 下列方程中一定是一元二次方程的是( )
A. ax2-x+2=0B. x2-2x-3=0C. D. 5x2-y-3=0
【答案】B
【解析】
【详解】A. ax2-x+2=0，当a=0时不是一元二次方程，故错误；B. x2-2x-3=0，是一元二次方程，正确；C. ，分母中含有字母，是分式方程，故错误；D. 5x2-y-3=0，含有两个未知数，是二元二次方程，故错误，故选B.
3. 用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意和图形可知第一个图形转到红色，同时第二个转到蓝色或者第一个转到蓝色，同时第二个转到红色，可配成紫色，从而可以求得可配成紫色的概率．
【详解】∵第一个转盘红色占
∴第一个转盘可以分为1份红色，3份蓝色
∴第二个转盘可以分为1份红色，2份蓝色
配成紫色的概率是.
故选C.
【点睛】此题考查了概率问题，熟练掌握列表法与树状图法是解题的关键.
4. 将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A. ，21B. ，11C. 4，21D. ，69
【答案】A
【解析】
【分析】根据配方法步骤解题即可．
【详解】解：
移项得，
配方得，
即，
∴a=-4，b=21．
故选：A
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
5. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. m＜﹣1B. m＞1C. m＜1且m≠0D. m＞﹣1且m≠0
【答案】D
【解析】
【分析】由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且Δ＞0，即，两个不等式的公共解即为m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得m＞﹣1且，
∴m的取值范围为m＞﹣1且．
∴当m＞﹣1且时，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，根据题意列出不等式组是解题的关键．
6. 下列说法不正确的是（ ）
A. 顺次连接任意四边形的各边中点都可得到平行四边形
B. 对角线互相垂直的矩形是正方形
C. 对角线相等、垂直的四边形是矩形
D. 两组对角相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据三角形的中位线，矩形，正方形，平行四边形的判定方法逐一判断即可．
【详解】解：A、顺次连接任意四边形的各边中点都可得到平行四边形，所以A选项正确；
B、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以B选项正确；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，所以C选项错误；
D、两组对角相等的四边形是平行四边形，所以D选项正确．
故选：C．
【点睛】本题考查中点四边形，正方形，矩形，平行四边形的判定．熟记判定方法是解本题的关键．
7. 据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，
根据题意得，．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
8. 如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接BE，BD，如图,利用菱形的性质得△BDC为等边三角形,在Rt△BCE中计算出BE=,接着证明BE⊥AB, 利用折叠的性质得到EF=AF.,设EF=AF=x, FG垂直平分AE,所以在Rt△BEF中利用勾股定理列方程求解即可.
【详解】解: 连接BE，BD，如图,
∵四边形ABCD菱形，∠A=60°,
∴△BDC为等边三角形， ∠C=∠A=60°,
∴∠CBE=90°-60°=30°.
∵E点为CD的中点，
∴CE=DE=1,BE⊥CD.
在Rt△BCE中，
BC=2CE=2，
BE= .
∵AB∥CD,
∴BE⊥AB.
∵菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处,
∴EF=AF.
设EF=AF=x,则BF=2-x,
在Rt△BEF中,
,
解得 .
故选A.
点睛:本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，求出BE的长并能利用Rt△BEF的三条边列方程是解答本题的关键.
二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分，把答案填在答题卡上）
9. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，把x=2代入方程计算即可求解，掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个解，
∴，
∴，
故答案为：．
10. 一元二次方程的解为，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，．根据一元二次方程根与系数的关系可得，，然后利用整体代入的方法计算即可得到答案．
【详解】解：一元二次方程两个根分别为，，
∴，，
∴，
故答案为：．
11. 如图， 一块长为米， 宽为米的矩形土地被踩出两条小路 （过，间任意一点作的平行线， 被每条小路截得的线段长都是 2 米） ． 若小路①，②的面积分别为，，则，的大小关系是_______．
【答案】＝
【解析】
【分析】根据题意可知小路①、②的面积都相当于长为米、 宽为 2 米的长方形的面积 ．本题考查了不规则图形的面积计算， 解题的关键是将不规则图形转化为规则图形 ．
【详解】解：过，间任意一点作的平行线， 被每条小路截得的线段长都是 2 米，
（平方米）；（平方米）．
．
故答案为：．
12. 如图所示，E，F分别在和上，，则________．
【答案】80
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，四边形内角和，平行线的判定与性质，根据已知可判定出四边形为菱形，得到，，根据平行线性质，等边对等角可得到，根据等边三角形的判定与性质可得，利用四边形内角和求出，利用平行线性质即可求出结果．
【详解】解：，
四边形为菱形，
，，
，
，
，
，
又，
，
同理，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：80．
13. 如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于________．
【答案】7
【解析】
【分析】连接EG，FH，根据题目数据可以证明△AEF与△CGH全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GH，同理可得EG=FH，然后根据两组对边相等的四边形是平行四边形可得四边形EGHF是平行四边形，所以△PEF和△PGH的面积和等于平行四边形EGHF的面积的一半，再利用平行四边形EGHF的面积等于矩形ABCD的面积减去四周四个小直角三角形的面积即可求解．
【详解】解：∵在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，AF=CG=2，BE=DH=1，
∴AE=AB-BE=4-1=3，
CH=CD-DH=4-1=3，
∴AE=CH，
在△AEF与△CGH中，，
∴△AEF≌△CGH（SAS），
∴EF=GH，
同理可得，△BGE≌△DFH，
∴EG=FH，
∴四边形EGHF是平行四边形，
∵△PEF和△PGH的高的和等于点H到直线EF的距离，
∴△PEF和△PGH的面积和=×平行四边形EGHF的面积，
平行四边形EGHF的面积
=4×6-×2×3-×1×（6-2）-×2×3-×1×（6-2），
=24-3-2-3-2，
=14，
∴△PEF和△PGH的面积和=×14=7．
故答案为7．
考点：矩形的性质；平行四边形的判定与性质．
三、解答题（共7小题，共61分，把答案填在答题卡上．）
14. 解下列方程：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）无解 （3）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解方程的方法是解本题的关键；
（1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解；
（2）根据公式法先计算，即可求解．
（3）把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可．
【小问1详解】
解：，
∴，
∴或，
解得：；
【小问2详解】
解：，
∴，，，
∴，
∴原方程无解．
【小问3详解】
解：，
∴，
∴，
∴或，
解得：．
15. 已知关于的方程．
（1）当为何值时，该方程是一元二次方程？
（2）当为何值时，该方程是一元一次方程？
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）根据一元二次方程的概念进行求解即可；
（）根据一元一次方程的概念进行求解即可；
本题考查了一元二次方程和一元一次方程的概念，正确理解概念是解题的关键．
【小问1详解】
解：根据题意，，
解得：，
故当时，该方程是一元二次方程；
【小问2详解】
解根据题意，且，
解得：，
故当时，该方程是一元一次方程．
16. 为增强学生国家安全意识，夯实国家安全教育基础、某校举行国家安全知识竞赛．竞赛结束后，对所有参赛学生的成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用a表示），其中记为“较差”，记为“一般”， 记为“良好”，记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图．
请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
（1）将直方图补充完整；
（2）已知这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是 ，众数是 ；
（3）若该校共有1200人，能否估计该校学生对国家安全知识掌握程度达到优秀的人数？
（4）本次知识竞赛超过95分学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取 2人去参加全市的安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率．
【答案】（1）见解析 （2）95，94
（3）能，192人 （4）
【解析】
【分析】（1）求出参赛学生的总人数，再求出一般对应的人数，最后补全图形即可；
（2）先将数据重新排列，再根据中位数和众数的概念求解即可；
（3）利用该校共有学生人数乘以优秀人数所占的比例即可；
（4）先画树状图，可知共有12种等可能的结果，其中恰好抽中2名女生参加知识竞赛的有6种结果，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：被调查的总人数为 (人)，
∴一般对应的人数为 (人)，
补全直方图如下：
．
【小问2详解】
解：将这组数据重新排列为91， 93， 94， 94， 96， 98， 99， 100，
所以其中位数为出现次数最多为94，即众数为94．
故答案为：95、94．
【小问3详解】
解：(人) ．
答：估计该校学生对国家安全知识掌握程度达到优秀的人数为192人．
【小问4详解】
解：根据题意画出树状图如下：
共有12种等可能情况，其中被抽取的2人恰好是女生的有6种结果，
所以恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率为
【点睛】本题主要考查了树状图法求概率、众数、中位数、扇形统计图、频数分布直方图、用样本估计整体等知识点，根据树状图不重不漏的列举出所有可能发生的情况数成为解题的关键．
17. 在中，，D是的中点，过点A作，且，连接．
（1）证明：四边形是菱形；
（2）若，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）24
【解析】
【分析】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的判定与性质等知识点，掌握菱形的判定定理是解题的关键．
（1）先证是四边形是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论；
（2）由菱形的性质得，再证，可证明,然后代入数据即可解答．
【小问1详解】
证明：∵，D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形．
【小问2详解】
解：∵平行四边形是菱形，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴．
18. 根据背景材料，探索问题．
【答案】任务1：；；任务2：①；②第二周的单价每袋应是元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用；
任务1：依据题意，由每袋清明果每降价元，超市平均可多售出10袋，又设第二周单价为每袋降低元，进而计算可以得解；
任务2：①依据题意，经两周后还剩余清明果为：，进而得解；
②依据题意，由第二周单价为每袋降低元，从而可得方程，解得值后再结合第二周最低每袋要盈利元，进而可以判断得解．
【详解】解：任务1：∵每袋清明果每降价元，超市平均可多售出10袋，
又设第二周单价为每袋降低元，
第二周的单价为元，销量是袋．
故答案为：；．
任务：①由题意，经两周后还剩余清明果为：
．
故答案为：．
②由题意得，第二周单价为每袋降低元，
．
或．
又第二周最低每袋要盈利元，
．
．
．
第二周的单价每袋应是．
答：第二周的单价每袋应是元．
19. 综合与实践
实践操作：如图1，在矩形纸片中，．
第一步：如图2，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．
第二步：如图3，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时，得到了线段．

解决问题
（1）在图3中，与的关系是 ． ．
（2）在图3中，连接，试判断的形状，并给予证明．
拓展应用
（3）已知，在矩形中，，，点P在边上，将沿着折叠，若点A的对应点恰落在矩形的对称轴上，求的长．
【答案】（1）；（2）等边三角形，见解析；（3）或
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质和勾股定理可求解；
（2）由折叠的性质可得，由线段中垂线的性质可得，可得结论；
（3）根据点A的对应点恰落在矩形的对称轴，分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解．
【详解】解：（1）∵对折矩形纸片，使与重合，
∴，，
∴垂直平分，
由折叠可得：，
∴在中， ；
（2）解：为等边三角形；
理由如下：
∵垂直平分，
∴，
又∵，
∴，
∴为等边三角形；
（3）解：如图，当点落在上时，

由折叠可知：cm，
，
∵由矩形性质可得：
∴点是的中点，
∴点在矩形的对称轴上，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
如图，当点落在上时

由（2）可知：是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵ ，，
∴或（舍去），
综上所述，的长为或；
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，二次根式的运算等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
20. 问题背景：如图，在正方形中，边长为，点，是边，上两点，且，连接，，与相交于点．
（1）探索发现：探索线段与的关系，并说明理由；
（2）探索发现：若点，分别是与的中点，计算的长；
（3）拓展提高：延长至，连接，若，请直接写出线段的长．
【答案】（1），且，见解析；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（）由四边形是正方形，得，，证明，根据全等三角形的性质即可求证；
（）连接并延长交于，连接，先证明，得，，则有，根据勾股定理求出即可；
（）过点作于点，由勾股定理求出，根据等面积，得出，最后由勾股定理和线段和差即可求解．
【小问1详解】
解：，且，
理由：∵四边形正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴线段和的关系为：，且；
【小问2详解】
解：连接并延长交于，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∵正方形的边长为，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图，过点作于点，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
清明果销售价格的探究
素材1
清明节来临之际，某超市以每袋30元的价格购进了500袋真空包装的清明果，第一周以每袋50元的价格销售了150袋．
素材2
第二周如果价格不变，预计仍可售出150袋，该超市经理为了增加销售，决定降价，据调查发现：每袋清明果每降价1元，超市平均可多售出10袋，但最低每袋要盈利15元，第二周结束后，该超市将对剩余的清明果一次性赔钱甩卖，此时价格为每袋25元．
解决问题
任务1
若设第二周单价为每袋降低x元，则第二周的单价每袋 元，销量是 袋．
任务2
①经两周后还剩余清明果 袋．(用的代数式表示)
②若该超市想通过销售这批清明果获利元，那么第二周的单价每袋应是多少元？