【数学】四川省内江市东兴区三校2026届高三上学期1月联考试题（学生版+解析版）

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一、单选题（每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求的）
1. 设，若，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
2. 已知复数（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D. 2
3. 已知向量，，且，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D.
4. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种
5. 空间两个平面满足，，是空间两条不重合的直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 核酸检测主要采用荧光定量PCR方法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该标本的扩增效率p约为（参考数据：，）（ ）
A. 36.9%B. 41.5%C. 58.5%D. 63.1%
7. 已知函数，若等差数列的前项和为，且=，，则（ ）
A. B. 0C. 2026D. 4052
8. 已知三次函数的极小值点为，极大值点为，则等于（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的按正确选项比例给分）
9. 豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0-10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字，国庆爱国影片《长津湖》豆瓣得分是7.4分，截止至2021年10月24日，共计有437181人参与评分，豆瓣评分表如下．根据猫眼实时数据，该片的票房为53.1亿元，按照平均票价50元来计算，大约有1亿人次观看了此片，假如参与评分观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（ ）
A. m的值是32%
B. 随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星
C. 若以频率当作概率，记事件A为“评价是一星”，事件B为“评价不高于二星”，则
D. 若从已作评价的观众中随机抽出3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件
10. 已知函数，满足，且，则（ ）
A.
B. 的图象关于对称
C. 在区间单调递减
D. 的图象关于点对称
11. 已知，则下列选项一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（每小题5分，共计15分）
12. 在二项式的展开式中，项的系数是15，则实数a的值为_______.
13. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，半径为的扇形．则该圆锥的体积为______．
14. 曲线在处的切线与曲线相切于点，若且，则实数的值为_______.
四、解答题（共5个题，77分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15. 记为数列的前项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若成等比数列，求．
16. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且+，，.
（1）求角；
（2）若为锐角三角形，且，求的面积.
17. 已知函数在点处的切线与直线垂直．
（1）求；
（2）求的单调区间和极值．
18. 交通信号灯中的红灯与绿灯交替出现.某汽车司机在某一线路的行驶过程要经过两段路，若已知路段共要过个交通岗，且经过交通岗时遇到红灯或绿灯是相互独立的，每次遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，在路段的行驶过程中，首个交通岗遇到红灯的概率为，且上一交通岗遇到红灯，则下一交通岗遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为；若上一交通岗遇到绿灯，则下一交通岗遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，记段线路中第个交通岗遇到红灯的概率为.
（1）求该司机在路段的行驶过程中遇到红灯次数的分布列与期望；
（2）①求该司机在路段行驶过程中第个交通岗遇到红灯的概率的通项公式；
②试判断在最后离开路段时的最后一个交通岗遇到红灯的概率大于，还是小于，请用数据说明.
19. 对于数列，定义，满足，记，称为由数列生成的“-函数”．
（1）试写出“2-函数”，并求的值；
（2）若“1-函数”，求的最大值；
（3）记函数，其导函数为，证明：“-函数”=.