四川省内江市东兴区2025届高三下学期2月联考数学试卷（解析版）

这是一份四川省内江市东兴区2025届高三下学期2月联考数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】因为，所以复数对应的点位于第四象限.
故选：D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得：，
且，所以.
故选：D.
3. 已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以与向量同向的单位向量的坐标为：，
故选：B
4. 已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得，，
即，，
又，
则，，
所以为直角三角形，，
所以，
故选：B.
5 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由可得，① ，
由可得，② ，
联立①，② ，解得，，
故.
故选：A.
6. 若是函数的极小值点，则的极大值为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以.
又是函数的极小值点，所以，解得或.
当时，恒成立，函数单调递增，不符合题意，舍去.
当时，，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
是的极小值点，所以，.
由以上分析知，当时，取得极大值，且.
故选：B.
7. 某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（ ）
（参考数据：）
A. 964万元B. 2980万元C. 3940万元D. 5170万元
【答案】C
【解析】该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列，
依题意，当时，，即，
因此数列是首项为90，公比为1.3的等比数列，，即，
则，
所以从2024年到2033年该产品的销售总额约为3940万元.
故选：C
8. 如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AB＝1，CD＝2，AD⊥DC，O是AD的中点，以AD为直径的半圆O与BC相切于点P．以AD为旋转轴旋转一周，可以得到一个球和一个圆台．给出以下结论，其中正确结论的个数是（ ）
①圆台母线长为3；
②球的半径为；
③将圆台的母线延长交的延长线于点，则得到的圆锥的高为；
④点的轨迹的长度是．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】圆台上、下底半径分别为，设母线长为，高为，则球的直径为，
因为与半圆相切于点，则，所以，①正确；
过作于，则1，
所以，即球的半径为，②正确；
因为，易得，则，③错误；
过作于，延长与交于，则轨迹以为圆心，为半径的圆．
作于，得，则，即，得，
所以，点的轨迹的长度是，④错误，
故选：B
二、多选题
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 数据的第70百分位数是23.
B. 随机变量X服从二项分布，则
C. 一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60.
D. 随机变量X服从正态分布，且，则
【答案】BC
【解析】对选项A：数据共10个数，
从小到大排列为，由于，
故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即，
所以第70百分位数是23.5，故A错误；
对选项B：.故B正确；
对选项C：由方差的公式可知，该组数据的平均数是3，这组样本数据的总和为，故C正确；
对选项D：服从正态分布，
所以，故D错误.
故选：BC.
10. 已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则数列为等差数列
B. 若，则数列是公差为的等差数列
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AD
【解析】对于A，当时，，数列为等差数列，A正确；
对于B，，则是公差为的等差数列，B错误；
对于C，当时，，则，，
因此，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：AD
11. 设函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 当 时， 在点 处的切线方程为
B. 当 时， 有三个零点
C. 若 有两个极值点，则
D. 若 在 上有解，则正实数 取值范围为
【答案】ACD
【解析】选项A,当时，，所以，，
又，所以在点处的切线方程为 ，故A正确；
选项B，，令，得；
当时，，当时，，
所以在上单调递增；在上单调递减；
的极小值为，的极大值为，
要使有三个零点，则，即，解得，故B错误.
选项C,，则
若 有两个极值点，
则在有两个不同的正根，
则，解得，故C正确；
选项D, 令，则,
所以,即
可整理为
即
令,，
所以单调递增，
所以，即，
令，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
，所以的取值范围为
所以D正确。
故选：ACD
三、填空题
12. 圆与圆相交于A、B两点，则两圆公共弦AB所在直线的方程为______.
【答案】
【解析】圆，即，圆心为，半径；
圆，即，圆心为，半径，
又，所以，所以两圆相交，
则两圆方程作差得到，即公共弦所在直线的方程为.
故答案为：
13. 在正三棱柱每条棱的中点中任取2个点，则这两点所在直线平行于正三棱柱的某个侧面或底面所在平面的概率为______.
【答案】
【解析】如图，将直线分成3种情况：，，均平行于上底面或下底面所在平面，有条；
，均不平行于正三棱柱的侧面或底面所在平面；
，均平行于某个侧面，有条，
故满足要求的直线共有条，
又直线总数为条，故所求概率为.
故答案为：
14. ，是双曲线的左，右焦点，点为双曲线右支上一点，，的角平分线交轴于点，若，则双曲线的离心率为_____．
【答案】
【解析不妨设，，，，
则由题，且，故，
有，得，
故．故，所以，
故，所以，
故即，双曲线的离心率．
故答案为：.
四、解答题
15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）若，求B；
（2）若，，求c.
解：（1）已知，由正弦定理可得.
因为，所以，此时.
在直角中，，所以.
那么，移项可得.
根据正切函数的定义，因为且是三角形内角，所以，从而得出.
（2）已知，且，所以.
根据余弦定理，将代入可得.
化简可得.
将，代入，得到.
即，因为，所以.
16. 如图1，在矩形中，，连接，将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2，若点在线段上且.
（1）求证：平面；
（2）若点在线段上，且使得平面与平面夹角的余弦值为，求.
（1）证明：在中，，
在中，，
.
又平面平面，平面平面平面，
平面.
（2）解：如图，过点作，则两两互相垂直，
以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设，则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量，
平面与平面夹角的余弦值为，
，
解得，
.
17. 已知双曲线的焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点的直线与双曲线交于两点，的面积为，求直线的方程.
解：（1）抛物线的焦点坐标为，
所以双曲线中，
双曲线的离心率为，即
双曲线方程为
（2）显然直线斜率不能为0，设直线的方程为，
所以原点到直线的距离，
联立，得，
所以且，
所以，且，
所以，
所以，
所以，
解得，所以，
所以直线的方程为或.
18. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求函数在的最小值.
解：（1）由题意知的定义域为，，
①若，恒成立，所以在上单调递减.
②若，由，得，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，在单调递减，在单调递增.
①当，即时，在单调递减，
当时，有最小值；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增.
当时，有最小值；
③当，即时，在上单调递增，
当时，有最小值；
综上：.
19. 新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，有多个选项符合题目要求，由于正确选项有4个的概率极低，可视作0，因此我们可以认为多项选择题至少有2个正确选项，至多有3个正确选项.多项选择题题目要求：“在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.”其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分.
（1）已知某道多选题的正确答案是BD，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少1个选项，至多3个选项，且每种选择是等可能的.请根据已知材料，分析该生可能的得分情况与所得分值的相应概率，并求该生得分的期望
（2）已知某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率相等，一考生只能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，试列举出该生所有可能的符合实际的答题方案，并以各方案得分的期望作为判断依据，帮该考生选出最优方案.
解：（1）由题意，该考生的所有选择结果：
，共14个样本点.
该生所有可能的得分情况为0分、3分、6分.
设事件“该考生得0分”，含11个样本点，事件“该考生得3分”，含2个样本点，事件“该考生得6分”，含1个样本点，
则，，，
从而得分期望.
（2）通过已知信息，从合理性角度看，该生必选A.
根据其他选项的选取情况分析，有下三种答题方案：
①选择A选项，且不再选其他选项；
②选择A选项的同时随机选择一个其他选项；
③选择A选项的同时随机选择两个其他选项；
设三个不同方案的得分分别为X，Y，
对于①，X的所有可能取值为2、3，
且，，
则；
对于②，Y的所有可能取值为0、4、6，
，，，
则.
对于③，Z的所有可能取值为0、6，
，，
则.
综上，，所以该考生选择方案①，只选择A选项.