【数学】贵州省遵义市红花岗区2024-2025学年高二上学期期末考试试卷（学生版+解析版）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 过点，斜率为2的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知向量，满足，，则（ ）
A. -2B. C. D. 2
4. 设是平面内的一个动点，，，点到，的距离之和为6，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 设函数是奇函数，则实数值为（ ）
A. B. C. 2D. 4
6. 已知，，，则有（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知点是抛物线上任意一点，若点到直线的最短距离为，则抛物线方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 设，是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线右支于，两点，若的平分线垂直于，且交轴于点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 函数的定义域为
C. 已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为
D. 记的内角，，的对边分别为，，，且，则
10. 已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的图象关于点对称
C. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象
D. 若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是
11. 设点是正四棱柱内一动点，，，，，如图所示，则下列正确的是（ ）
A. 当时，三棱锥的体积为
B. 当时，的最小值为
C. 当时，的最小值为
D. 当时，四面体外接球的半径的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.
12. 若复数满足（为虚数单位），则_____.
13. 已知直线被圆所截得的弦长为，则_____.
14. 早在南北朝时期，我国数学家祖冲之的儿子祖暅提出了几何体体积的计算原理：幂势既同，则积不容异.也就是说，如果两个等高的几何体在任意同高处的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等.如图3所示是底面积和高都相等的两个几何体，左边是半球右边是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，用平行于半球与圆柱底面的平面去截这两个几何体，利用祖暅原理就可以推出球的体积公式.已知半球半径为2，若平行于半球与圆柱底面的平面过球半径的中点，则半球中底面与截面之间的几何体的体积_____.
四、解答题：本题共5小题，共计77分；请考生根据要求作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的顶点的坐标为，直线的方程为，边上的中线的方程为.
（1）求直线的方程；
（2）求边上的高线的方程.
16. 如图，底面为矩形的四棱锥中，底面，，，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
17. 已知圆经过点，，且圆心直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点、分别作圆切线，，且与的交点为，求四边形的面积.
18. 如图所示，已知菱形的边长为2，，沿对角线翻折成三棱锥，使二面角的余弦值为.
（1）设为棱上一点，且，用过点的平面去截三棱锥，与棱，交于，两点，且截面平面，请在图（2）画出截面（保留痕迹，不写作法）；
（2）求三棱锥的表面积；
（3）求二面角的正切值.
19. 已知椭圆的中心在坐标原点，点在椭圆上，右焦点，点的坐标为，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点.
①为弦的中点，求点的轨迹方程；
②设，直线和的斜率分别为，，当点，在轴的上方时，求的取值范围.