2024-2025学年贵州省遵义市高二上学期1月期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年贵州省遵义市高二上学期1月期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合P={−1,0,1,2}，Q=[0,2]，则P∩Q=( )
A. [0,2]B. {0,1,2}C. {1,2}D. {1}
2.已知直线l经过点A(2,−3),B(−3,4)，则l的斜率为( )
A. 75B. −57C. −75D. 57
3.已知z=2−3i，则z的虚部是( )
A. 3B. 3iC. −3D. 2
4.已知向量a=3,2,b=λ,4,c=1,λ+1，若a+2b//c，则正数λ=( )
A. 12B. 72C. 1D. 27
5.已知角α满足csα=19，则cs2α=( )
A. 79B. −79C. 7981D. −7981
6.已知点M(1,1)在直线4mx−y+n=0(m>0,n>0)上，则4m+1n的最小值为( )
A. 52B. 5C. 25D. 254
7.已知抛物线C:y2=32x的焦点为F，点H4,2，P是抛物线C上的一个动点，则PF+PH的最小值为( )
A. 8B. 10C. 12D. 16
8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0，f(−x+1)=−f(x+1)，f12=1，则f12+f32+f52+⋯+f292=( )
A. −1B. 1C. 2D. 0
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线C:x29+y2m=1的两个焦点为F1，F2，P为曲线C上不与F1，F2共线的点，则下列说法正确的是( )
A. 若m=1，则|PF1|+|PF2|=6B. 若m=−1，则||PF1|−|PF2||=6
C. 若m=8，则▵PF1F2的周长为7D. 若m=−8，则C的离心率为 173
10.如图，在边长为6的等边▵ABC中，CD=2DB,AE=ED，点P在以AB为直径的半圆上(不含点A,B)，则下列结论正确的是( )
A. AB⋅AC=18B. PA⋅PB=0
C. BE=13AB+16ACD. AD在AB上的投影向量为56AB
11.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，E为A1D1的中点，动点P在长方体ABCD−A1B1C1D1内(含表面)，且满足AP=λAC+μAE，记动点P的轨迹为Ω，则( )
A. Ω的面积为3 338
B. 平面A1BC1与Ω所在平面平行
C. 当λ=12时，存在点P，使得A1P⊥BD1
D. 当μ=1时，三棱锥P−ABC的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数fx=x2+m−1x是偶函数，则m=
13.《九章算术·商功》中将正四面形棱台(即正四棱台)建筑物称为方亭．现有一方亭ABCD−A1B1C1D1，已知AB=1，且该方亭的高为6，体积为26，则A1B1= ．
14.已知函数f(x)=sin2ωx− 3cs2ωx(ω>0).若方程f(x)=0在区间0,π4内无解，则ω的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin2A=sinA．
(1)求角A的大小；
(2)已知a= 19，c=3，求▵ABC的面积．
16.(本小题12分)
为了了解高二年级学生的数学学习情况，某学校对高二年级学生的日均数学自主学习时间进行了调查，随机抽取200名学生的日均数学自主学习时间(单位：分钟)作为样本，经统计发现这200名学生的日均数学自主学习时间均在[45,105]内，绘制的频率分布表如下表所示：
(1)试估计这200名学生的日均数学自主学习时间的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)试估计这200名学生的日均数学自主学习时间的第30百分位数；
(3)现采用分层随机抽样从日均数学自主学习时间在[85,95)与[95,105]内的学生中抽取5名学生进行个案分析，再从这被抽取的5名学生中随机抽取3名学生提供个性化指导方案，求被抽取的3名学生中至少有2名学生的日均数学自主学习时间在[85,95)内的概率．
17.(本小题12分)
已知圆C的圆心在直线2x−3y=0上，且经过点(2,2)和点(3,1)．
(1)求圆C的标准方程；
(2)一条光线从点A(−2,3)射出，经x轴反射后，与圆C相切，求反射后的光线所在直线的方程．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD⊥AB，CD//AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AD=CD=2，AB=4．
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD．
(2)若平面PBC与平面ABCD的夹角为π6，求点C到平面PAB的距离．
19.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P(x,y)，总存在一点Qx′,y′满足关系式φ:x′=λxy′=μy(λ>0,μ>0)，则称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．
(1)在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换φ1，使得圆x2+y2=1变换为椭圆9x2+4y2=1．
(2)在同一直角坐标系中，椭圆x216+y2=1经平面直角坐标系中的伸缩变换φ:x′=12xy′=3y得到曲线C．
①求曲线C的方程；
②已知A(−2,0)，B(−2,3)，过点B的直线交C于E，F两点，直线AE，AF与y轴的交点分别为P，Q，证明：线段PQ的中点为定点．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.C
5.D
6.C
7.C
8.A
9.ABD
10.ABD
11.ACD
12.1
13.3
14.0,23
15.解：(1)由sin2A=sinA，可得2sinAcsA=sinA，
又00)代入9x′2+4y′2=1，
得到9λ1x2+4μ1y2=1，
将上式与x2+y2=1比较，得9λ12=1,4μ12=1，
解得λ1=13，μ1=12，
所以所求的伸缩变换φ1为x′=13xy′=12y；
(2)由φ:x′=12xy′=3y，可得x=2x′y=13y′,
代入x216+y2=1，可得2x′216+13y′2=1，
则x′24+y′29=1，
所以曲线C的方程为x24+y29=1；
②证明：由题意可知，直线EF的斜率存在，
设EF的方程为y=k(x+2)+3，Ex1,y1，Fx2,y2，
联立方程y=kx+2+3y29+x24=1,
消去y得4k2+9x2+8k(2k+3)x+16k2+3k=0，
则Δ=64k22k+32−644k2+9k2+3k=−1728k>0，
解得k