湖北省孝感市2026届高三上学期一模数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖北省孝感市2026届高三上学期一模数学试卷（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．下列选项中，与复数（i为虚数单位）相等的复数是（ ）
A．B．C．D．
2．设全集，集合，则中元素个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．已知点在抛物线上，则点到抛物线的焦点的距离为（ ）
A．2B．C．4D．6
4．设数列满足，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
5．若点是函数的图象的一个对称中心，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边上的中线长为（ ）
A．B．C．6D．10
7．已知正实数x，y满足，则的最小值是（ ）
A．6B．8C．12D．16
8．已知圆，直线，直线，，则下列说法正确的是（ ）
A．存在，使得
B．存在，使得与圆C相切
C．，且，都与圆C相交，但被圆C截得的两条弦长不可能相等
D．设圆心到，的距离分别为，，则为定值
二、多选题
9．关于定义域为的函数，下列说法正确的有（ ）
A．存在函数，使得恒成立
B．存在函数，使得恒成立
C．存在函数，使得恒成立
D．存在函数，使得恒成立
10．若三棱锥的所有棱长均为1，M，N分别为棱，的中点，则（ ）
A．B．该三棱锥的表面积为
C．该三棱锥外接球的体积为D．异面直线，所成角的余弦值为
11．曲线，，下列说法正确的是（ ）
A．若点在曲线C上，则点也一定在曲线C上
B．若曲线C表示双曲线，则其离心率
C．若，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆
D．不论为何值，直线与曲线C恒有两个交点
三、填空题
12．函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，则 ．
13．已知数列为等比数列，，公比，是数列的前n项积．若，则n的最小值为 ．
14．某商场举办抽奖活动，在一个不透明的抽奖箱中有六个相同的小球，编号分别为1、2、3、4、5、6．活动规则如下：每位顾客连续有放回地抽取三次，若三次抽到的小球编号之和为5的倍数，则视为中奖．现甲、乙、丙三位顾客依次参加抽奖活动，且每人是否中奖相互独立．记中奖人数为X，则X的数学期望为 ．
四、解答题
15．已知函数（），且．
(1)求在点处的切线方程；
(2)将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，求函数在上的值域．
16．2025年8月30日晚，以“知音湖北，与‘篮’共舞”为主题的湖北省全国百强县篮球联赛八支球队分别在汉川、仙桃、潜江、枝江同时开战．湖北省以体育赛事为纽带，推动文体旅深度融合，为县域经济高质量发展注入新动能．组委会对其中5个参赛县的宣传费用（万元）与现场观众人数（百人）进行统计，数据如下：
(1)从这5个参赛县中随机抽取3个，记现场观众人数不少于24百人的县的个数为，求随机变量的分布列及数学期望；
(2)利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测宣传费用为8万元时的现场观众人数．
附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，．
17．如图①，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．点在的延长线上，且．当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合．）

(1)求曲线的方程；
(2)矩形中，，．分别是矩形的四条边的中点．
（ⅰ）如图②，已知点是线段上靠近原点的4等分点，直线与曲线交于两点，与圆交于两点，求的值；
（ⅱ）如图③，已知点是线段的等分点，点是线段的等分点．证明：直线与（）的交点L在曲线上．
18．已知长方体中，，，点M在棱上，点N在棱上，且，，P为棱中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)平面把长方体分割成两部分，求较小部分几何体的体积．
19．已知定义在上的函数满足以下条件：
①；
②当时，；
③对，均有，且．
(1)用表示；
(2)判断的单调性，并证明你的结论；
(3)已知数列满足，求数列的前n项和．
参考答案
1．A
【详解】．
故选：A
2．C
【详解】由且，解得全集，则，共有6个元素.
故选：C.
3．C
【详解】因为代入，得，故准线为，
点到抛物线的焦点的距离等于点到准线的距离，所以，
故选：C
4．A
【详解】因为，且，
所以 ，，
所以数列的周期为2，故
故选：A
5．D
【详解】因为点是函数的图象的一个对称中心，
所以，，即，，
所以，所以.
故选：D
6．B
【详解】中，由余弦定理得，
又，所以，所以，记边上的中点为M，
因为，所以，所以.
故选：B
7．B
【详解】因为，所以，所以，即，
所以，
当且仅当时取等．
故选：B
8．D
【详解】对于A：若，则，即，无解，所以A错误；
对于B：直线，令则，
所以直线过定点，又因为，即在圆C内，
所以直线与圆C相交，所以B错误;
对于C：若两弦长相等，则，
所以，所以或，
所以或，所以C错误
对于D：直线，令，则，
所以直线也过定点，因为，所以为定值，所以D正确.
故选：D
9．BC
【详解】对于定义域为的函数，函数与的定义域均为，
因,
故为偶函数，为奇函数，
而为奇函数，为偶函数，故AD错误，
令，可得，
，故BC正确.
故选：BC
10．ACD
【详解】由题意三棱锥为棱长为1的正四面体，
对于A：因为在正四面体中，M为中点，
所以，，又，平面，
所以平面，平面，所以，所以A正确；
对于B：因为正四面体每个面都是边长为1的正三角形，
所以此正四面体的表面积为，所以B错误；
对于C：把该正四面体放在正方体中，如下图所示：

设该正方体的棱长为，则有，
所以该正方体的对角线长为，
所以该正方体外接球的半径为，即该正四面体外接球的半径为，
所以该正四面体外接球的体积为，所以C正确；
对于D：因为，
所以
，又，
所以异面直线，所成角的余弦值为，所以D正确.
故选：ACD
11．ABD
【详解】A：将点代入方程左边：
由于在曲线上，故原式等于1，所以也在曲线上，该曲线C关于原点对称，所以A正确.
B：曲线方程可改写为：，当时，即，
此时方程为：，
即标准双曲线形式：，
其中，，
双曲线离心率公式：，
所以B正确.
C：因为，所以，
方程为：，
是椭圆标准形式，可得：，，
因为，所以，故，焦点在y轴上，
所以C错误.
D：将直线代入曲线方程：
，展开：，
整理成关于的二次方程：
，
根据判别式：，
化简得：，因为，所以恒成立,
方程恒有两个不同实根，直线与曲线恒有两个交点.
所以D正确
故选：ABD
12．
【详解】根据题意可知，
则可得，令，即，
解之可得或，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以可知，，所以.
故答案为：
13．26
【详解】由题意，
所以，
由，可得，则有，解得或，
又n为正整数，所以n的最小值是26．
故答案为：26
14．
【详解】由题意，三次抽奖的所有情况共有种，和为5的倍数的情况有：
①三个编号均不相同1，3，6；1，4，5；2，3，5；4，5，6共种；
②恰有两个编号相同1，1，3；2，2，1；2，2，6；3，3，4；4，4，2；6，6，3共种，
③三个编号都相同5，5，5共1种，所以中奖的概率，
由题意，所以X的数学期望．
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为且，所以，所以，
所以，所以，
所以切线方程为，即为；
（2）由条件可知，，
因为，令，
因为在上单调递增，在上单调递减，
且，所以，
所以函数在上的值域为.
16．(1)分布列见解析，
(2)，预测宣传费用8万元时的现场观众人数为33.2百人
【详解】（1）因为观众不少于24百人的县共有3个，所以的可能取值为1，2，3，
，，，
所以分布列如下：
所以；
（2）由题意，，
，
，
所以，
，
所以y关于x的线性回归方程为，
当时，（百人），
故预测宣传费用为8万元时现场观众人数为33.2百人．
17．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【详解】（1）设点M的坐标为，点的坐标为，则点I的坐标为
由得，，所以，
因为点在圆上，所以，把，代入得：，即曲线的方程是：
（2）（ⅰ）由题意，点，，，
所以直线方程为
由得所以
由得所以
由相似得
（ⅱ）证明：由题知：，，，
，
直线方程：
直线方程：
联立直线方程和直线方程，得，所以
代入直线方程得
所以
所以
所以，点L在椭圆上.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）取中点Q，连接，，则，
因为，，所以四边形为平行四边形，所以，
则， 又平面，平面，
所以平面；
（2）以D为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
由， ，
又平面的一个法向量为 ，
平面与平面夹角为，
则 ，
即平面与平面夹角的余弦值为 ；
（3）取中点R，由（1）知，所以B，M，N，R四点共面，
所以四边形为梯形，
设，则平面，平面，
所以平面平面，
所以直线，所以直线，直线，直线共点S，
所以为三棱台，显然为体积较小部分，
因为，，高，
所以其体积为：
.
19．(1)
(2)是上的单调递增函数，证明见解析
(3)
【详解】（1）对③式，令，，则，
即，又∵，∴，
对③式，令，则，
又∵，即，∴.
（2）是上的单调递增函数，
证明：，且，则
，
∵，∴，
又∵时，，∴，
∵当时，，则，∴，
又∵时，，而，∴，
∴，∴，
∴，即，
∴是上的单调递增函数.
（3）对③式，令，则，
∴
，
又∵是上的单调递增函数，∴，
∴，
设，①
则 ，②
得：，参赛县
A
B
C
D
E
宣传费用x（万元）
2
3
4
5
6
现场观众人数y（百人）
19
22
24
27
28
1
2
3
P