湖北省鄂东南教育联盟2026届高三上学期期中暨一模考试数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据并集运算求集合.
【详解】，则.
故选：C.
2. 已知复数（其中为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的代数运算及模长的公式计算即可.
【详解】.
故选：B.
3. 已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，则（ ）
A. 0B. 1C. 0或D. 0或1
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂函数概念与性质列式求解.
【详解】由题意或1.
故选：D.
4. 已知，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量平行的坐标表示求出，进而由向量的坐标运算求出结果.
【详解】∵，，
∴，
∴.
故选：A.
5. 已知，则是的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】令，此时满足，但不满足，
说明是的不充分条件；
若，假设，则：，
这与矛盾，
故假设不成立，成立，说明，
所以是的必要条件，
是的必要不充分条件.
故选：B.
6. 在等比数列中，是方程的两个根，则（ ）
A. B. 6C. 36D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用韦达定理及等比数列的性质求解.
【详解】∵是方程的两个根，
∴，
由，
∴由.
故选：D.
7. 函数零点的个数为（ ）
A. 4B. 5C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由题意或，利用三角函数的性质解；
设，利用导数研究的性质，进而可判断方程无实数解.
【详解】或，
或
或，
，或或或；
设，则，
，，，
所以函数在单调递增，在单调递减，
可得，当且仅当取等号，
，与不符，方程无实数解.
故函数只有4个零点.
故选：A.
8. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数可判断函数在单调递增.
解法一：构造函数，可证得在单调递减，则，进而可得答案；
解法二：先证明对数糖水不等式：，可推出，进而可得答案；
解法三：利用对数换底公式结合基本不等式可得，，进而可得答案.
【详解】，
当时，，
故函数在单调递增.
解法一：构造函数，
，
故函数在单调递减，
则.
解法二：对数糖水不等式：.
先证明糖水不等式：，
理由：，
故
.
解法三：，
，
.
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，且的面积为，则（ ）
A. 在上单调递增
B. 对称中心是
C. 点的纵坐标为
D. 的解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先根据周期求得，利用面积公式求得判断C；进而利用求得解析式，利用整体法求得单调递增区间判断A；求得对称中心判断B；解不等式判断D.
【详解】最小正周期，故选项C正确；
由，
令，
当时，单调递增且，此时单调递增，
在上单调递增，故选项A正确；
，
所以函数的对称中心为，故选项B错误；
，故选项D正确.
故选：ACD.
10. 已知函数，，则（ ）
A. 当时，在上单调递增
B. 当时，有两个极值
C. 若有三个不同零点，则
D. 过点且与曲线相切的直线恰有3条，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】解法一：当时，可得恒成立，即可判断A；但时，恒成立，即可判断B；设函数展开整理可判断C；利用导数的几何意义求得切线方程，代入点得，则与图象有3个不同的交点，利用导数研究的性质，即可判断D.
解法二：当时，可得恒成立，即可判断A；但时，恒成立，即可判断B；利用一元三次方程的韦达定理可判断C；根据三次函数切线问题的结论可判断D.
【详解】解法一：
当时，恒成立，
则函数在上单调递增，故选项A正确；
有2个极值，
但时，恒成立，
此时函数在上单调递增，无极值，故选项B错误；
设函数
，故选项C正确；
设切点，
则切线方程为：，
代入点得：，
过点且与曲线相切的直线恰有3条与图象有3个不同的交点，
，或，
函数在单调递减，上单调递增，且，
，故选项D正确.
故选：ACD.
解法二：
当时，恒成立，
则函数在上单调递增，故选项A正确；
有2个极值，
但时，恒成立，
此时函数在上单调递增，无极值，故选项B错误；
一元三次方程，
韦达定理：，故，选项C正确；
三次函数切线问题：过三次函数对称中心作切线（有且仅有一条），
则坐标平面被该条切线和三次函数图象分为4个区域：
过①③区域内的点（不含边界）作切线有且仅有3条；
过②④区域内的点（不含边界）作切线有且仅有1条；
过切线或三次函数上的点（除去对称中心）作切线有且仅有2条；
，
所以函数的对称中心为，
过该点的切线方程为：恒过，
而函数恒过，
故只有时，点落在①③区域内，符合题意，故D正确.
故选：ACD.
11. 定义.若函数，在区间上的值域为，则的可能取值为（ ）
A. 1B. 2C. 6D. 5
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数的解析式作出图象，结合图象分析值域为时定义域的情况，由此确定出的取值情况.
【详解】，图象开口向下，对称轴为.
当时，由或；
由时，由，
依题意：观察函数与函数的图象，谁的图象在上方就是函数的图象（包含边界），
如图所示：，
当时，，符合题意，
，，
当，符合题意，
而，故选项BD正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则在方向上的投影向量的坐标为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的概念求解.
【详解】由题意，在方向上投影向量的坐标为.
故答案为：.
13. 记等差数列的前项和为，若，则___________.
【答案】9
【解析】
【分析】根据下标和性质求出，再根据等差数列求和公式及下标和性质计算可得.
【详解】因为，所以，所以.
故答案为：
14. 已知，函数，若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】首先求出进而得到，原方程转化为，分和，当时，需要分和进行讨论.
【详解】由题意可得，所以，所以原方程即
，且满足，
当时，，此时符合题意；
当时，或，
若，此时符合题意；
若，则或，
综上所述： .
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的首项，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求满足条件的最大整数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解法一：利用累乘法求解；
解法二：利用构造法求解；
（2）利用裂项相消法求出，进而可得答案．
【小问1详解】
解法一：累乘法
依题意：，
当时，；
当时，符合，故
解法二：构造法
依题意：，则数列为常数数列，
则.
【小问2详解】
，
故，
由题意，，
故满足条件最大整数的值为8.
16. 已知向量，函数.
（1）求函数的单调增区间及对称中心；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，最后使图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象，若存在使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用数量积的坐标运算及三角恒等变换化简函数的解析式，利用整体法结合正弦函数的性质求解单调增区间和对称中心；
（2）根据三角函数图象的变换规律求得，利用整体法结合正弦函数的性质求解的最值，结合条件可求得答案．
【小问1详解】
.
由，
故函数的单调增区间为
由，
故函数的对称中心为.
【小问2详解】
将函数的图象向右平移个单位长度，
得的图象，
然后再向下平移1个单位长度，得的图象，
最后使图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，
得到函数，即.
.
所以.
17. 为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同.若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：为常数），若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰.（注：4小时内意思是小于或等于4小时）
（1）若，求4小时内，小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？
（2）若使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4，求实数的取值范围.
【答案】（1）时，最大值
（2）
【解析】
【分析】（1）求得，进而得小白鼠血液中药物的浓度，根据二次函数的性质与基本不等式求出最大值；
（2）由题意，分段讨论，根据函数的单调性及二次函数的性质求解.
【小问1详解】
时，，
则小白鼠血液中药物的浓度，
当时，，
当即时，；
当时，，
当即时，，
由于，故小白鼠在时，浓度最高，达到.
【小问2详解】
.
当时，可得，
在时单调递减，
则；
当时，可得，
，
则当，即时，，
又，.
18. 如图，中，，点在线段上，点与点位于直线的异侧且为等边三角形.
（1）若，，求线段的长度；
（2）若，求线段的最大值；
（3）若为的平分线，求与内切圆半径之比的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意，然后根据数量积的运算求出；
（2）解法一：由题意，不妨设，可得，根据三角函数的性质可得最大值；
解法二：建立平面直角坐标系，不妨设，根据向量的坐标运算可得，根据三角函数的性质可得最大值；
（3）解法一：由角平分线定理知：，可推得与内切圆半径之比，根据余弦定理可得，从而得的表达式，根据单调性可求得答案；
解法二：不妨设，可推得与内切圆半径之比，由余弦定理得，由得，可得的表达式，利用换元法，结合单调性可得结果.
【小问1详解】
已知，为等边三角形，
若，，
则，
又，则
.
即线段的长度.
【小问2详解】
解法一：是线段中点，
不妨设，
则
，
当时，，
即线段的最大值为.
解法二：以线段中点为坐标原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系，
不妨设，则，
，
当时，，
即线段的最大值为.
【小问3详解】
解法一：已知，为的平分线，
由角平分线定理知：，
不妨设，，
要构成，则.
不妨设与内切圆半径分别为、，
，
，
则，在上单调递增，
所以，即与内切圆半径之比的取值范围为.
解法二：不妨设，
不妨设与内切圆半径分别为，
，
在中，由余弦定理得：，
，
令，
则，在时单调递减，
所以，即与内切圆半径之比的取值范围为.
19. 已知函数.
（1）当时，证明：在上单调递减；
（2）若有两个极值点，满足且，求的取值范围；
（3）将函数的图象绕原点逆时针旋转后，得到的曲线仍是函数图象，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用导数证明函数单调性；
（2）对函数求导，根据分类讨论，判断函数单调性，结合函数的极值点的取值范围计算得到的取值范围；
（3）方法一：先根据函数旋转后得到得到的曲线仍是函数图象，得到单调函数，分析函数的单调性，进而得到参数的取值范围；方法二：根据题意转化为交点个数问题，进而得到函数的单调性计算得到参数的取值范围；
【小问1详解】
证明：若，则，
令
故在单调递增，在单调递减，，
即在上恒成立，在上单调递减
【小问2详解】
，令，
①若，则在上恒成立，在上单调递增，在上最多一个极值点，不符合题意
②若
故在单调递增，在单调递减，

且
且.
依题意：且
，，
，
恒成立，
故在单调递增，.
构造函数：
故在单调递增，在单调递减，
综合：.
【小问3详解】
方法一：《教材必修二第53面11题》在函数图象上任取一点，
绕原点逆时针旋转角得到点，其中.
若，则
要使旋转后，得到的曲线仍是函数图象，
即对定义域内任意一个的值，都有唯一的与之对应是单调函数，
否则可能出现一个，会求出至少两个，导致至少两个与之对应，与函数定义不符合.
，
故函数只能单调递增，在上恒成立
令，
故单调递增，单调递减，
.函数旋转后得到得到的曲线仍是函数图象
方法二：函数的图象绕原点逆时针旋转后，得到的曲线仍是函数图象，
与函数至多有一个交点.
若，则与至多有一个交点与
至多有一个交点是单调函数，
，
故函数只能单调递减，在上恒成立，
令
，
故在单调递增，单调递减，
.