广东东莞市2025-2026学年度第一学期教学质量自查高二数学试题与解析

这是一份广东东莞市2025-2026学年度第一学期教学质量自查高二数学试题与解析，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知直线经过和两点，则直线的倾斜角为
A.B.C.D.
【答案】C
2. 在正项等比数列中，，，则公比为
A.2B.C.3D.
【答案】A
3.已知向量，，若，则的取值为
A.±1B.C.1D.
【答案】B
4.已知抛物线，上一点到焦点距离为6，则点的纵坐标为
A.1B.2C.3D.4
【答案】D
5.记为等差数列的前项和，已知，，则
A.B.C.D.
【答案】C
6.已知圆与圆，若圆完全覆盖圆，，则圆的半径的最小值为
A.3B.C.2D.
【答案】B
7.数列是严格递增的整数数列，且，，则的最大值为
A.9B.10C.11D.12
【答案】C
8.如图，三棱锥中，，，，为的中点，点满足，则异面直线与所成的角的大小为
A.30°B.45C.60°D.75°
【答案】A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.直线的一个方向向量为，若，则平面的法向量可以是
A.B.C.D.
【答案】AC
10.已知等差数列的前项和为，且，，，则
A.数列是递增数列B.
C.当时，最大D.当时，的最大值为8
【答案】BCD
11.现有一款制作芝士蛋糕的模具，其“模具口”呈椭圆形，并嵌于正方形网格中（如图1）.以正方形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系（如图2），得到“模具口”椭圆图形的方程，其两焦点分别为，，设为上一动点，则
A.的长轴长为B.的离心率为
C.不可能大于D.正方形网格中单个正方形的面积为30
【答案】BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知等轴双曲线过点，则双曲线的标准方程为________.
【答案】
13.如图，在正方体中，点是棱的中点，则与平面所成角的正弦值_____.
【答案】
14.现有一种构造新数列的方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的等差中项，得到一个新的数列；再将新得到的数列按照上述方法构造，又得到一个新的数列；重复以上操作.现将数列1，3按照上述方法进行构造，第一次得到的新数列为1，2，3；第二次得到的新数列为1，，，，；第三次得到的新数列为1，，，，2，，，，3；⋯，记第次得到的新数列为1，，，，⋯，，3，且.当时，_____，________.
【答案】15；2026
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知圆经过点和，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若过点的直线被圆所截得弦长为6，求该直线的方程 .
【解析】（1）法一：因为，且的中点为（3，0），……2分
所以的垂直平分线方程为，即，……3分
联立，解得，
故圆心的坐标为，……5分
所以圆的半径，……6分
所以圆的标准方程为.……7分
法二：设圆的方程为.……1分
由已知得，……4分
解得，……6分
所以圆的标准方程为.……7分
法三：设圆的一般方程为，……1分
由已知得，……4分
解得，……6分
所以圆的一般方程为，
化为标准方程，即.……7分
（2）设圆心到直线的距离为，
由弦长公式得，故，……8分
①当直线的斜率不存在时，
，此时圆心到直线的距离为1，符合题意.……9分
②当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，即，……10分
则，……11分
整理得，
解得，……12分
此时直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或 .
16.已知等差数列前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，记数列的前项和，求使的最小的正整数的值.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由题意知，，
即，……3分
整理得，
所以，，……5分
所以.……6分
（2）法一：由（1）得，……7分
则，
所以，……8分
两式相减得，……9分
整理得，……10分
所以，……11分
因为在上恒成立，……12分
所以单调递增，……13分
当时，，
当时，，……14分
所以使的最小的正整数的值为8.……15分
17.如图，在四边形中，，，，，点在线段上，且，.将三角形沿翻折至四边形，使得平面与平面所成的二面角的大小为.
（1）证明：；
（2）动点在线段上运动，当到平面的距离为时，求平面与平面的夹角的余弦值.
【解析】由题意得，，……1分
因为，，平面，所以平面，……2分
所以是二面角的平面角，所以，……3分
由题意得，，所以，
因为，所以，……4分
取中点，连接，
因为，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，所以平面，……5分
以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，……6分
（1）所以，，
所以，……7分
所以……8分
（2）设，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，……10分
所以点到平面的距离，……11分
解得，此时，……12分
设平面的法向量为，
则，即，令，则，……13分
所以，……14分
所以平面与平面夹角的余弦值为.……15分
18.已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最短距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过右焦点的直线与椭圆交于，两点，
①若，求直线的方程；
②点为椭圆的中心，点是椭圆上异于左、右顶点的一点，且，求证：为定值.
【解析】（1）由题意得，……2分
解得，……3分
故，……4分
所以椭圆的标准方程为.……5分
（2）由（1）得，……6分
法一：当直线的斜率为0时，或，不合题意；……7分
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，，
联立，消去得，
所以恒成立，
由韦达定理得①，②，……8分
由，得③，……9分
由①③得，，带入②得，……10分
所以直线的方程为或……11分
法二：当直线的斜率不存在时，，不合题意；……7分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立，消去得，
所以恒成立，
由韦达定理得①，②，……8分
由，得，整理得③，……9分
由①③得，，代入②得，……10分
所以直线的方程为或……11分
（3）①当直线的斜率不存在时，为椭圆的短半轴，此时，
为椭圆的通径，所以，
所以；……11分
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
故直线的方程为，代入椭圆的方程得，解得，
所以，……13分
由（2）得，，
所以
，……15分
所以……16分
综上所述，为定值……17分
19.如图1，已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点分别作直线与，
其中与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点.
（1）若，求的最小值；
（2）证明：直线与的交点在准线上；
（3）以为折痕将平面图形翻折为二面角大小为的空间图形（图2），其中点翻折至点，
点翻折至点.证明：.
【解析】（1）由题意得焦点为，……1分
因为，易知，与坐标轴不平行，设，，，，
联立，消去得，……2分
所以恒成立，
由韦达定理得，，……3分
因为弦是焦点弦，且，所以，……4分
由得的斜率为，所以，……5分
所以，当且仅当时，取得最小值16.……6分
（2）由（1）知，，则，
因为，异号，所以，
设，，则，，，……7分
因为
由点斜式得，即，……8分
同理，……9分
代入，得，……10分
联立，两式相减得，解得，
所以直线与的交点在准线上.……11分
（3）由于直线与的任意性，要证明，即证明为定值.……12分
如图建立空间直角坐标系，设直线的倾斜角为，
由题意得
，……13分
当时，，，……14分
当时，在平面直角坐标系中，
由（1）得，因为，所以，……15分
所以
，……16分
综上所述，三棱锥的体积为定值，所以.……17分